66定积分的几何应用1教学教案

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6.6定积分的几何应用6.5.1定积分的微元法用定积分表示的量U必须具备三个特征:一.能用定积分表示的量所必须具备的特征(3)部分量的近似值可表示为二.微元分析法

则U相应地分成许多部分量;用定积分表示量U的基本步骤:(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;(2)U对于区间[a,b]具有可加性.即如果把区间[a,b]分成许多部分区间,根据问题的具体情况,选取一个变量(2)在区间[a,b]内任取一个小区间,求出相应于这个小区间的部分量的近似值.

在处的值与的乘积,就把称为量U的微元且记作,即如果能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b];（2）一般图形以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为如果函数在[a,b]上连续,且则介于两条曲线

注意:根据具体的图形特点,也可以选择y作为积分变量或者利用图形的对称性简化计算.例1（6.5.3）求椭圆的面积(如图).解由对称性,椭圆的面积其中为椭圆在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx则图形的面积为则例6.5.1

求由所围图形面积.解两抛物线的交点为(0,0)及(1,1).取x为积分变量,其变化区间为[0,1].由前面讨论可知:(1,1)oyx例6.5.2

求由所围图形面积.解两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为[-2,4].yx(2,-2)(8,4)图形的面积微元为:从而可得图形面积2.参数方程情形

当曲边梯形的曲边为参数方x=(t),y=(t),且

()=a,()=b,在[,]上(t)有连续导数,(t)连续,则曲边梯形面积面积为在例1中,若采用椭圆的参数方程则补充知识——极坐标：xoP(r,q)qryxy(x,y)Ox轴——极轴；q

——极角；r——极径；直角坐标与极坐标之间的关系：（x=0而y0时，规定

q=p/2）一些曲线方程的直角坐标形式与极坐标形式3平面图形面积的极坐标情形（1）曲边扇形其中r()在[,]上连续,且r()0.相应于[,+d]的面积微元为则图形面积为o

r=r()设图形由曲线r=r()及射线

=,=所围成.取

为积分变量,其变化区间为[,],（2）一般图形及射线

=,=所围图形的面积微元为则面积为o相应于从0到2的一段弧与极轴所围图形的面积.

解如图,可视为

=0,=2及r=a

围成的曲边扇形.则其面积为o

由曲线

例4

求阿基米德螺线r=a(a>0)上NoM例5

求r=1与r=1+cos

所围公共面积.解

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