【同步辅导】2021高中数学北师大版必修四导学案：《两角和与差的正切》

第3课时两角和与差的正切1.能够依据两角和与差的正弦公式和余弦公式导出两角和与差的正切公式,了解各个公式之间的内在联系.2.能够利用和差角的三角函数公式进行简洁的三角恒等变换.同学们好,上节课我们学习了两角差的余弦公式,并知道将公式进行适当的变形或变换后,可得到两角和与差的正弦、余弦公式.这节课我们将连续学习这种技巧,并由此推导出两角和与差的正切公式,以及正切公式的变形和有关的角度变换.问题1:在下列空白处填写适当的式子:cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ,①sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ.②当时,②①得tan(α+β)=sin(α当时,分子分母同时除以,得:tan(α+β)=;

在上式中,以代换得:tan(α-β)=.

问题2:在公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ中在公式tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ中,问题3:你能写出两角和与差的三角函数的6个公式的规律联系框图吗?问题4:由公式tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ(1)tanα+tanβ=tan(α+β)·;

(2)tanα-tanβ=tan(α-β)·;

(3)tan(α+β)-(tanα+tanβ)=;

(4)tan(α-β)-(tanα-tanβ)=.

1.不查表,求3-tan15°1+3A.1 B.6+24 C.322.tanθ=2,则tan(θ-π6)的值是()A.53-811 B.8-53 C.533.若tan(α+π4)=25,则tanα=4.求tan15°,tan75°的值.直接利用两角和与差的正切公式进行化简或求值求tan(π6-θ)+tan(π6+θ)+3tan(π6-θ)tan(π6已知角的某种三角函数值求角已知tan(π4+α)=2,tanβ=1(1)求tanα的值;(2)求sin(α两角和与差的正切公式的综合运用方程x2+3ax+3a+1=0(a>2)的两根为tanA,tanB,且A,B∈(-π2,π2),则A+B=求值:(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan45°).已知0<α<π2<β<π,tanα=43,cos(β-α)=(1)求sinα的值;(2)求β的值.已知角A是△ABC的一个内角,若sinA+cosA=713,则tan(A+π4)等于(A.-717 B.717 C.-7121.已知sinx=55,x∈(π2,3π2),则tan(x-π4)A.0 B.12 C.-3 D.-2.若cos(α+β)=15,cos(α-β)=35,则tanαtanβ=(A.12 B.-12 C.323.已知tan(α+β)=25,tan(β-π4)=14,那么tan(α+π44.求下列各式的值:(1)1+tan75°(2)tan17°+tan28°+tan17°tan28°.(2010年·新课标全国Ⅰ卷)已知α为第三象限的角,cos2α=-35,则tan(π4+2α)=考题变式(我来改编):

答案第3课时两角和与差的正切学问体系梳理问题1:cos(α+β)≠0cosαcosβ≠0cosαcosβtanα+tan问题2:kπ+π2,k∈Zkπ+π2,k问题3:-ββ诱导公式-ββ诱导公式相除-ββ相除问题4:(1-tanαtanβ)(1+tanαtanβ)tan(α+β)tanαtanβ-tan(α-β)tanαtanβ基础学习沟通1.A3-tan15°1+3tan15°=tan60°-tan15°1+tan602.C∵tanθ=2,∴tan(θ-π6)=tanθ-tanπ61+tanθ·tan3.-37tan(α+π4)=tanα+11-tanα=25,∴5tanα+5=2-2tanα,∴4.解:tan15°=tan(45°-30°)=1-331+33=3-tan75°=tan(45°+30°)=1+331-33=3+3重点难点探究探究一:【解析】原式=tan[(π6-θ)+(π6+θ)][1-tan(π6-θ)·tan(π6+θ)]+3tan(π6-θ)tan(π【小结】在三角函数求值的问题中,要留意“三看”口诀,即(1)看角,把角尽量转化为特殊角或可计算的角,合理拆角,化异为同;(2)看名称,把算式尽量化成同一名称或相近的名称,例如把全部的切都转化为弦,或把全部的弦都转化为切;(3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.假如满足则直接使用,假如不满足则需转化一下角或转换一下名称.探究二:【解析】(1)由tan(π4+α)=2,得1+tanα1-tanα=2,即1+tanα=2-2tanα,(2)sin=sin=-(sinα=-tan(α-β)=-tan=-13-1【小结】对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”,使“所求角”变为“已知角”,若角所在象限没有确定,则应分类争辩.留意公式的机敏运用,把握其结构特征,学会拆角、拼角等技巧.探究三:【解析】由题意知tanA+tanB=-3a,tanA·tanB=3a+1,∴tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=-3a1-(3a+1)=1,∵A,B∈(-π2,[问题]A+B=π4成立吗[结论]∵tanA+tanB=-3a<-6,tanA·tanB=3a+1>7,∴tanA<0,tanB<0,又∵A,B∈(-π2,π2),∴A,B∈(-π2,0),∴A+B∈(-π,于是,正确解答如下:由题意知tanA+tanB=-3a<-6,tanA·tanB=3a+1>7,∴tanA<0,tanB<0,∵A,B∈(-π2,π2),∴A,B∈(-π2,0),∴A+B∈(-π,0),tan(A+B)=tanA+tan∵A+B∈(-π,0),∴A+B=-3π【答案】-3【小结】涉及三角函数值是二次方程的根,除了要考虑二次方程有根的条件,还要留意依据根的符号和三角函数的意义确定角的范围.思维拓展应用应用一:若α+β=45°,则1=tan45°=tan(α+β)=tanα∴tanα+tanβ+tanα·tanβ=1,即(1+tanα)(1+tanβ)=2,∴(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=…=(1+tan22°)(1+tan23°)=2,∴原式=222(1+tan45°)=222×2=223.应用二:(1)∵0<α<π2,tanα=43,∴sinα=(2)∵0<α<π2,sinα=45,∴cosα=35.又0<α<π2<β<π,∴由cos(β-α)=210,得sin(β-α)=7∴sinβ=sin[(β-α)+α]=sin(β-α)cosα+cos(β-α)sinα=7210×35+210×45由π2<β<π,得β=34π(或求cosβ=-22或tanβ=-1,得β=3应用三:A由sin得sinA=1213,∴tanA=-125,∴tan(A+π4)=1+tanA1-tanA基础智能检测1.C∵sinx=55,x∈(π2,3π2),∴cosx=-1-sin2x=-255,∴tanx=-12.∴tan(2.A由已知,得cosαcosβ-sinαsinβ=15,cosαcosβ+sinαsinβ=35,则有cosαcosβ=25,sinαsinβ=15,所以sinαsinβcosα3.322tan(α+π4)=tan[(α+β)-(β-π4)]=tan4.解:(1)原式=tan45°+tan75°1-tan45°tan75°=tan((2)∵tan(17°+28°)=tan17°∴tan17°+tan28°=tan(17°+28°)(1-tan17°tan28°)=1-tan17°tan28°,∴原式=