3-1-2-椭圆的简单几何性质(第2课时)(导学案)-(原卷版)

班级：姓名：日期：3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时导学案地位：本节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆学习目标：1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养．2.会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题，培养数学运算的核心素养.学习重难点：重点：直线与椭圆的位置关系难点：直线与椭圆的位置关系的应用自主预习：本节所处教材的第页.复习——椭圆的方程：椭圆的几何性质：预习——点与椭圆的位置关系：直线与椭圆的位置关系：新课导学学习探究（一）新知导入一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口

ABC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位另一个焦点F2上，由椭圆一个焦点F1（二）椭圆的简单几何性质知识点一点与椭圆的位置关系【探究1】根据点与圆的位置关系，你能得出点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置关系有哪些？怎样判断？◆点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置关系：(1)点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；(2)点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＜1；(3)点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＞1.【做一做1】点与椭圆的位置关系为（）A．在椭圆上 B．在椭圆内 C．在椭圆外 D．不能确定【做一做2】若点A(a,1)在椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的内部，则a的取值范围是________.知识点二直线与椭圆的位置关系【探究2】类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？◆直线与椭圆的位置关系(直线斜率存在时)直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置关系判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1))，消y得一个关于x的一元二次方程.位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ)相交2个2解Δ＞0相切1个1解Δ＝0相离0个0解Δ＜0斜率不存在时，观察可得．【做一做1】直线y＝x＋1与椭圆x2＋eq\f(y2,2)＝1的位置关系是()A．相离 B．相切C．相交 D．无法确定【做一做2】(教材P114练习2改编)椭圆eq\f(x2,3)＋y2＝1被直线x－y＋1＝0所截得的弦长|AB|＝________.（三）典型例题1.直线与椭圆的位置关系例1.已知直线y＝x＋m与椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m的取值范围．【类题通法】代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．【巩固练习1】(1)若直线y＝kx＋2与椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1相切，则斜率k的值是()A.eq\f(\r(6),3) B．－eq\f(\r(6),3)C．±eq\f(\r(6),3) D．±eq\f(\r(3),3)(2)直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是________．2.弦长问题例2.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．【类题通法】1.求直线被椭圆截得弦长的方法：法一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；法二是用弦长公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|，其中k为直线AB的斜率，A(x1，y1)，B(x2，y2)．2．有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．【巩固练习2】已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，F为其左焦点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当|AB|＝eq\f(18,5)时，求直线l的方程．3.中点弦问题例3.过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1内一点P(2,1)作一条直线交椭圆于A，B两点，使线段AB被P点平分，求此直线的方程．【类题通法】关于中点弦问题，一般采用两种方法解决(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．(2)利用“点差法”即若椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦AB的中点为M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，②))①－②：a2(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＋b2(xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2))＝0，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·eq\f(x,y).这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决．【巩固练习3】已知椭圆方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，求以A(1,1)为中点的弦MN所在的直线方程．（四）操作演练素养提升1.若点P(a,1)在椭圆eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1的外部，则a的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))2.直线y＝kx－k＋1与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．不确定3.直线y＝x＋1被椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1所截得的弦的中点坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(7,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,2)，\f(17,2)))4.椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为eq\f(\r(2),2)，则eq\f(m,n)的值是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(9\r(2),2) D.eq\f(2\r(3),27)课堂小结通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？学习评价【自我评价】你完成本节导学案的情况为（）A.很好B.较好C.一般D.较差【导学案评价】本节导学案难度如何（）A.很好