【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修1双基限时练29-实际问题的函数建模

双基限时练(二十九)实际问题的函数建模基础强化1．一辆匀速行驶的汽车90min行驶的路程为180km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是()A.y＝2t B.y＝120tC.y＝2t(t≥0) D.y＝120t(t≥0)答案D2．某种商品进货单价为40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个，若销售单价每上涨1元，则销售量就削减1个，为了获得最大利润，此种商品的最佳售价应定为每个()A．50元 B．60元C．70元 D．80元解析设售价为(50＋x)元，则利润y＝(10＋x)(50－x)＝－x2＋40x＋500，当x＝20时，y有最大值．∴为了获得最大利润，商品的最佳售价为50＋20＝70元．答案C3．某公司市场营销部的个人月收入与每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是()A.310元 B.300元C.290元 D.280元解析设y＝kx＋b，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝800，,2k＋b＝1300，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝500，,b＝300.))∴y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.答案B4．某学校开展争辩性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01现预备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()A.y＝2x－2 B.y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xC.y＝log2x D.y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析逐个检验．答案D5．某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是：y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台产品的销售价为25万元，则生产不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低销售量为()A.100台 B.120台C.150台 D.180台解析解不等式25x≥3000＋20x－0.1x2可得x≥150.答案C6．某公司聘请员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x<10，x∈N，,2x＋10，10≤x<100，x∈N，,1.5x，x≥100，x∈N，))其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60人，则该公司拟录用人数为()A．15 B．40C．25 D．130解析当1≤x<10时，y＝4x＝60，x＝15(舍去)；当10≤x<100时，y＝2x＋10＝60，x＝25；当x≥100时，y＝1.5x＝60，x＝40(舍去)．故y＝60时，x＝25，即该公司拟录用人数为25.答案C能力提升7．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，则2022年底世界人口将达到y亿，那么y与x的函数关系式为________．解析由题意得，每年人口是上一年的(1＋x%)倍，∴y＝54.8(1＋x%)22.答案y＝54.8(1＋x%)228．某种商品投放市场以来，曾经过3次降价，其价格由a元降至b元，那么该商品平均每次降价的百分数是________．解析设平均每次降价的百分数为x，则a(1－x)3＝b，解得x＝1－eq\r(3,\f(b,a)).答案1－eq\r(3,\f(b,a))9．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．解析0.568×50＋0.598×(200－50)＋0.288×50＋0.318×(100－50)＝148.4元．答案148.410．某商店有一种货，假如月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%，假如月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？解设这种货的成本费为a元，则若月初售出，到月末共获利润为：y1＝100＋(a＋100)×2.4%.若月末售出，可获利y2＝120－5＝115(元)，y1－y2＝0.024a－12.6＝0.024(a故当成本大于525元时，月初售出好；成本小于525元时，月末售出好．11．某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x－eq\f(x2,2)(万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？解(1)当x≤5时，产品能售出x百台；当x>5时，只能售出5百台，故利润函数为L(x)＝R(x)－C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(x2,2)))－0.5＋0.25x，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×5－\f(52,2)))－0.5＋0.25x，))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4.75x－\f(x2,2)－0.50≤x≤5，,12－0.25xx>5.))(2)0≤x≤5时，L(x)＝4.75x－eq\f(x2,2)－0.5，当x＝4.75时，得L(x)max＝10.78125万元．∴生产475台时利润最大．12．某跨国饮料公司在对全世界全部人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的状况的调查中发觉：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示A饮料的年人均销量，单位：升)，用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．y＝ax2＋bx，y＝kx＋b，y＝logax＋b，y＝ax＋b.(2)若人均GDP为1千美元时，A饮料的年人均销量为2升；若人均GDP为4千美元时，A饮料的年人均销量为5升，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，A饮料的年人均销量最多是多少？解(1)用函数y＝ax2＋bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关系更合适．由于函数y＝kx＋b，y＝logax＋b，y＝ax＋b在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征．(2)依题意知函数过点(1,2)和(4,5)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2，,16a＋4b＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4)，,b＝\f(9,4)，))∴y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(9,4)x(0.5≤x≤8)．∵y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(9,4)x＝－eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(9,2)))2＋eq\f(81,16)≤eq\f(81,16).∴在各地区中，当x＝eq\f(9,2)时，A饮料的年人均