【2022届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第8章-第7节-圆锥曲线的综合问题

第八章第七节一、选择题1．(文)(2022·云南部分名校联考)P是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其焦点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，若△F1PF2的面积是9，a＋b＝7，则双曲线的离心率为()A.eq\f(7,4) B.eq\f(\r(7),2)C.eq\f(\r(5),2) D．eq\f(5,4)[答案]D[解析]由eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0得∠F1PF2＝90°，在△F1PF2中有|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|＝4c2.由双曲线定义知||PF1|－|PF2||＝2a，且|PF1||PF2|＝18，代入得b＝3，∴a＝4，c＝5，则离心率为eq\f(5,4).(理)(2022·湖北荆门调研)已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是()A．(1，eq\r(2)) B．(eq\r(2)，eq\r(3))C．(eq\r(3)，2) D．(2，＋∞)[答案]D[解析]过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线y＝－eq\f(b,a)(x－c)，与y＝eq\f(b,a)x联立，解得M(eq\f(c,2)，eq\f(bc,2a))．由点M在以线段F1F2为直径的圆外，得(eq\f(c,2))2＋(eq\f(bc,2a))2>c2，∴1＋eq\f(b2,a2)>4，∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))>2.2．(2022·北京石景山统一测试)已知动点P(x，y)在椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足|eq\o(MF,\s\up6(→))|＝1且eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MF,\s\up6(→))＝0，则|eq\o(PM,\s\up6(→))|的最小值为()A.eq\r(3) B．3C.eq\f(12,5) D．1[答案]A[解析]在椭圆C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中，a＝5，b＝4，c＝3，M在以F为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，所以PF最小时，切线长最小．设P(x0，y0)，则|PM|2＝|PF|2－1＝(x0－3)2＋yeq\o\al(2,0)－1＝(x0－3)2＋16－eq\f(16x\o\al(2,0),25)－1＝eq\f(9,25)xeq\o\al(2,0)－6x0＋24＝eq\f(9,25)(x0－eq\f(25,3))2－1，∵－5≤x0≤5，∴当x0＝5时，|PM|2取到最小值3，∴|PM|min＝eq\r(3)..3．(文)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则eq\f(|AF|,|BF|)的值为()A．5 B．4C．3 D．2[答案]C[解析]由题意设直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－eq\f(p,2))，即x＝eq\f(y,\r(3))＋eq\f(p,2)，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得eq\r(3)y2－2py－eq\r(3)p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝eq\r(3)p，yB＝－eq\f(\r(3),3)p，所以eq\f(|AF|,|BF|)＝|eq\f(yA,yB)|＝3.(理)已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线eq\f(x2,a)－y2＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是()A.eq\f(1,25) B．eq\f(1,9)C.eq\f(1,5) D．eq\f(1,3)[答案]B[解析]∵M(1，m)到焦点距离为5，∴M到准线距离为5，又xM＝1，∴eq\f(p,2)＝4，∴p＝8，∴y2＝16x，当x＝1时，y＝±4，∵m>0，∴m＝4，即M(1,4)，双曲线左顶点A(－eq\r(a)，0)，∴kMA＝eq\f(4,1＋\r(a))，又双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(1,\r(a))x，由题意知eq\f(4,1＋\r(a))＝eq\f(1,\r(a))，∴a＝eq\f(1,9).4．(2022·辽宁省协作校三模)抛物线y2＝4x的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB＝eq\f(2,3)π，弦AB中点M在准线l上的射影为M′，则eq\f(|MM′|,|AB|)的最大值为()A.eq\f(4\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2\r(3),3) D．eq\r(3)[答案]B[解析]如图，由抛物线定义及条件知，|MM′|＝eq\f(1,2)(AA′＋BB′)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)．∴(eq\f(|MM′|,|AB|))2＝eq\f(\f(|AF|＋|BF|,2)2,|AB|2)＝eq\f(\f(1,4)|AF|2＋|BF|2＋2|AF|·|BF|,|AF|2＋|BF|2＋|AF|·|BF|)＝eq\f(1,4)(1＋eq\f(|AF|·|BF|,|AF|2＋|BF|2＋|AF|·|BF|))≤eq\f(1,4)(1＋eq\f(|AF||BF|,3|AF|·|BF|))＝eq\f(1,3)，∴eq\f(|MM′|,AB|)≤eq\f(\r(3),3)，等号成立时，|AF|＝|BF|.5．(文)(2021·唐山一中、湖南师大附中月考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1 B．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1[答案]D[解析]双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1的渐近线方程为y＝±x，由e＝eq\f(\r(3),2)可得a＝2b，∴椭圆方程为eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，而渐近线y＝±x与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，设在第一象限的小正方形边长为m，则m2＝4⇒m＝2，从而点(2,2)在椭圆上，即：eq\f(22,4b2)＋eq\f(22,b2)＝1⇒b2＝5，于是a2＝20，椭圆方程为eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝1，应选D.(理)(2021·浙江桐乡四校联考)点P是双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)与圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1、F2分别为双曲线C1的左右焦点，则双曲线C1的离心率为()A.eq\r(3)＋1 B．eq\f(\r(3)＋1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,2) D．eq\r(5)－1[答案]A[解析]∵a2＋b2＝c2，∴⊙C2以F1F2∴PF1⊥PF2，∵∠PF2F1＝2∠PF1F2，∴∠PF1∴|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，由双曲线的定义|PF1|－|PF2|＝2a，∴eq\r(3)c－c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)＋1.6．(2022·广东汕头一模)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上有一点P，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△F1PF2为直角三角形，则这样的点P有()A．3个 B．4个C．6个 D．8个[答案]C[解析]当∠PF1F2为直角时，依据椭圆的对称性知，这样的点P有2个；同理，当∠PF2F1为直角时，这样的点P有2个；当P点为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2最大，且为直角，此时这样的点P有2个．故符合要求的点P二、填空题7．(文)(2021·唐山一中月考)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)的右焦点F，若过F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．[答案][2，＋∞)[解析]由条件知eq\f(b,a)≥tan60°＝eq\r(3)，∴eq\f(c2－a2,a2)≥3，∴e≥2.(理)已知过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________．[答案](1，eq\r(2))[解析]由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即eq\f(b,a)<1，∴eq\f(c2－a2,a2)<1，∴eq\f(c2,a2)<2，即e2<2，∵e>1，∴1<e<eq\r(2).8．已知以F1(－2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋eq\r(3)y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．[答案]2eq\r(7)[解析]依据题意设椭圆方程为eq\f(x2,b2＋4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，则将x＝－eq\r(3)y－4代入椭圆方程得，4(b2＋1)y2＋8eq\r(3)b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋eq\r(3)y＋4＝0有且仅有一个公共点，∴Δ＝(8eq\r(3)b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2eq\r(b2＋4)＝2eq\r(7).9．(2022·山东文)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．[答案]y＝±x[解析]抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－eq\f(p,2)，与双曲线的方程联立得x2＝a2(1＋eq\f(p2,4b2))，依据已知得a2(1＋eq\f(p2,4b2))＝c2①.由|AF|＝c，得eq\f(p2,4)＋a2＝c2②.由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求双曲线的渐近线方程是y＝±x.三、解答题10．(文)(2022·唐山一模)P为圆A：(x＋1)2＋y2＝8上的动点，点B(1,0)．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P在第一象限，且cos∠BAP＝eq\f(2\r(2),3)时，求点M的坐标．[解析](1)圆A的圆心为A(－1,0)，半径等于2eq\r(2).由已知|MB|＝|MP|，于是|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MP|＝2eq\r(2)，故曲线Γ是以A，B为焦点，以2eq\r(2)为长轴长的椭圆，a＝eq\r(2)，c＝1，b＝1，曲线Γ的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由cos∠BAP＝eq\f(2\r(2),3)，|AP|＝2eq\r(2)，得P(eq\f(5,3)，eq\f(2\r(2),3))．于是直线AP方程为y＝eq\f(\r(2),4)(x＋1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)＋y2＝1,y＝\f(\r(2),4)x＋1))，解得5x2＋2x－7＝0，x1＝1，x2＝－eq\f(7,5).由于点M在线段AP上，所以点M坐标为(1，eq\f(\r(2),2))．(理)(2021·唐山一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，eq\r(2))且斜率为k的直线l与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线？假如存在，求k值；假如不存在，请说明理由．[解析](1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋eq\r(2)，代入椭圆方程，得eq\f(x2,2)＋(kx＋eq\r(2))2＝1，整理得(eq\f(1,2)＋k2)x2＋2eq\r(2)kx＋1＝0.①由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，得Δ＝8k2－4(eq\f(1,2)＋k2)＝4k2－2＞0，解得k<－eq\f(\r(2),2)或k>eq\f(\r(2),2)，即k的取值范围为(－∞，－eq\f(\r(2),2))∪(eq\f(\r(2),2)，＋∞)．(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)．由方程①，知x1＋x2＝－eq\f(4\r(2)k,1＋2k2).②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),1＋2k2).③由A(eq\r(2)，0)，B(0,1)，得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－eq\r(2)，1)．所以eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))共线等价于x1＋x2＝－eq\r(2)(y1＋y2)，将②③代入，解得k＝eq\f(\r(2),2).由(1)知k＜－eq\f(\r(2),2)或k＞eq\f(\r(2),2)，故不存在符合题意的常数k.一、解答题11．(文)(2022·湖南岳阳一模)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P(－eq\r(2)，1)在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C上任一动点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．[解析](1)∵点P(－eq\r(2)，1)在椭圆上，∴eq\f(2,a2)＋eq\f(1,b2)＝1.①又∵eq\o(PM,\s\up6(→))＋eq\o(F2M,\s\up6(→))＝0，M在y轴上，∴M为PF2的中点，∴－eq\r(2)＋c＝0，c＝eq\r(2).∴a2－b2＝2，②联立①②，解得b2＝2(b2＝－1舍去)，∴a2＝4.故所求椭圆C的方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)∵点N(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为N1(x1，y1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y0－y1,x0－x1)×2＝－1，,\f(y0＋y1,2)＝2×\f(x0＋x1,2).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(4y0－3x0,5)，,y1＝\f(3y0＋4x0,5).))∴3x1－4y1＝－5x0.∵点N(x0，y0)在椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1上，∴－2≤x0≤2，∴－10≤－5x0≤10，即3x1－4y1的取值范围为[－10,10]．(理)(2022·中原名校联考)已知A(1,0)，P为圆F：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点，线段AP的垂直平分线交半径FP于点Q，当点P在圆上运动时．(1)求点Q的轨迹方程；(2)设点D(0,1)，是否存在不平行于x轴的直线l与点Q的轨迹交于不同的两点M，N，使(eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→)))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝0，若存在，求出直线l斜率的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析](1)依题意知：|QF|＋|QA|＝|PF|＝4>|FA|＝2，所以点Q的轨迹是以F，A为焦点的椭圆，∴所求椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)∵条件(eq\o(DM,\s\up6(→))＋eq\o(DN,\s\up6(→)))·eq\o(MN,\s\up6(→))＝0等价于|eq\o(DM,\s\up6(→))|＝|eq\o(DN,\s\up6(→))|，∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率确定存在，否则点D(0,1)在x轴上，冲突．∴可设直线l：y＝kx＋m(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0得4k2设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为Q(x0，y0)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)＝－eq\f(4km,3＋4k2)，y0＝kx0＋m＝eq\f(3m,3＋4k2).又∵|eq\o(DM,\s\up6(→))|＝|eq\o(DN,\s\up6(→))|，∴eq\f(y0－1,x0)＝－eq\f(1,k)，即eq\f(\f(3m,3＋4k2)－1,－\f(4km,3＋4k2))＝－eq\f(1,k)，解得：m＝－3－4k2.由4k2＋3＞m2得4k2＋3＞(3＋4k2)2，即4k2＜－2，这是不行能的．故满足条件的直线不存在．12．(文)(2021·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点F(eq\f(1,2)，0)，直线l：x＝－eq\f(1,2)，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由．[解析](1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，∴RQ是线段FP的垂直平分线．∵|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．(2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝|MA|＝eq\r(x0－12＋y\o\al(2,0))，则|TS|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(y\o\al(2,0)－2x0＋1)，由于点M在曲线C上，所以x0＝eq\f(y\o\al(2,0),2)，所以|TS|＝2eq\r(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,0)＋1)＝2，是定值．(理)(2021·山西高校附中月考)已知抛物线y2＝4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C.(1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；(2)设eq\o(MA,\s\up6(→))＝αeq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝βeq\o(BC,\s\up6(→))，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．[解析](1)证明：设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝4x))得k2x2＋(4k－4)x＋4＝0.①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－eq\f(2,k)，0)，则x1＋x2＝－eq\f(4k－4,k2)，x1·x2＝eq\f(4,k2).②∴|MA|·|MB|＝eq\r(1＋k2)|x1－0|·eq\r(1＋k2)|x2－0|＝eq\f(41＋k2,k2)，而|MC|2＝(eq\r(1＋k2)|－eq\f(2,k)－0|)2＝eq\f(41＋k2,k2)，∴|MC|2＝|MA|·|MB|≠0，即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列．(2)由eq\o(MA,\s\up6(→))＝αeq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝βeq\o(BC,\s\up6(→))得(x1，y1－2)＝α(－x1－eq\f(2,k)，－y1)，(x2，y2－2)＝β(－x2－eq\f(2,k)，－y2)，即得α＝eq\f(－kx1,kx1＋2)，β＝eq\f(－kx2,kx2＋2)，则α＋β＝eq\f(－2k2x1x2－2kx1＋x2,k2x1x2＋2kx1＋x2＋4).将②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值，且定值为－1.13．(文)(2021·东北三校联考)已知点E(m,0)为抛物线y2＝4x内一个定点，过E斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点．(1)若m＝1，k1k2＝－1，求三角形EMN面积的最小值；(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．[解析](1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点，设AB方程为y＝k1(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x－1，,y2＝4x，))得k1y2－4y－4k1＝0，y1＋y2＝eq\f(4,k1)，y1y2＝－4.AB中点M(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))，∴M(eq\f(2,k\o\al(2,1))＋1，eq\f(2,k1))；同理，点N(2keq\o\al(2,1)＋1，－2k1)．∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD，∴S△EMN＝eq\f(1,2)|EM|·|EN|＝eq\f(1,2)eq\r(\f(2,k\o\al(2,1))2＋\f(2,k1)2)·eq\r(2k\o\al(2,1)2＋－2k12)＝2eq\r(k\o\al(2,1)＋\f(1,k\o\al(2,1))＋2)≥2eq\r(2＋2)＝4，当且仅当keq\o\al(2,1)＝eq\f(1,k\o\al(2,1))，即k1＝±1时，△EMN的面积取最小值4.(2)设AB方程为y＝k1(x－m)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k1x－m，,y2＝4x，))得k1y2－4y－4k1m＝0，y1＋y2＝eq\f(4,k1)，y1y2＝－4m，AB中点M(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(y1＋y2,2))，∴M(eq\f(2,k\o\al(2,1))＋m，eq\f(2,k1))；同理，点N(eq\f(2,k\o\al(2,2))＋m，eq\f(2,k2))．∵k1＋k2＝1，∴kMN＝eq\f(yM－yN,xM－xN)＝eq\f(k1k2,k1＋k2)＝k1k2，∴lMN：y－eq\f(2,k1)＝k1k2[x－(eq\f(2,k\o\al(2,1))＋m)]，即y＝k1k2(x－m)＋2，∴直线MN恒过定点(m,2)．(理)(2021·洛阳市期中)椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，其左焦点到点P(2,1)的距离为eq\r(10).(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．[解析](1)∵左焦点(－c,0)到点P(2,1)的距离为eq\r(10)，∴eq\r(2＋c2＋1)＝eq\r(10)，解得c＝1.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴所求椭圆C的方程为：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，化为3＋4k2>m∴x1＋x2＝eq\f(－8mk,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－3,3＋4k2).y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝eq\f(3m2－4k2,3＋4k2).∵以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2,0)，kAD·kBD＝－1，∴eq\f(y1,x1－2)·eq\f(y2,x2－2)＝－1，∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，∴eq\f(3m2－4k2,3＋4k2)＋eq\f(4m2－3,3＋4k2)＋eq\f(16mk,3＋4k2)＋4＝0.化为7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－eq\f(2k,7).且满足3＋4k2－m2>0.当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2,0)与已知冲突；当m＝－eq\f(2k,7)时，l：y＝k(x－eq\f(2,7))，直线过定点(eq\f(2,7)，0)．综上可知，直线l过定点(eq\f(2,7)，0)．14．(文)双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为eq\f(\r(3),2)，其中A(0，－b)，B(a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，点M为线段PQ的中点．若点M在直线x＝－2上的射影为N，满足eq\o(PN,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))＝0，且|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝10，求直线l的方程．[解析](1)依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝2，,\f(ab,\r(a2＋b2))＝\f(\r(3),2)，,a2＋b2＝c2.))解得a＝1，b＝eq\r(3)，c＝2.所以，所求双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1.(2)当直线l⊥x轴时，|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝6，不合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(y2,3)＝1x>0，,y＝kx－2，))消去y得，(3－k2)x2＋4k2x－4k2－3＝0.①由于直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k2≠0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，则x1、x2是方程①的两个正根，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(4k2,k2－3)>0，,x1x2＝\f(4k2＋3,k2－3)>0，,Δ＝4k22－43－k2－4k2－3>0，))所以k2>3.②由于eq\o(PN,\s\up6(→))·eq\o(QN,\s\up6(→))＝0，则PN⊥QN，又M为PQ的中点，|eq\o(PQ,\s\up6(→))|＝10，