【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修5双基限时练15

双基限时练(十五)一、选择题1．在△ABC中，sin2A·sin2B＝1，则△ABCA．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．直角三角形解析在△ABC中，由sin2A·sin2B＝1，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2A＝1，,sin2B＝1.))又A、B为△ABC的内角，∴A＝B＝45°.∴△ABC为等腰直角三角形，故选B.答案B2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A．30° B．60°C．120° D．150°解析由正弦定理，可知a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，可知A＝120°.答案C3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径是()A．4eq\r(3) B．5C．5eq\r(2) D．6eq\r(2)解析∵S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝2，∴c＝4eq\r(2).又b2＝a2＋c2－2ac·cos＝1＋32－2×1×4eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝25，∴b＝5，又2R＝eq\f(b,sinB)＝5eq\r(2).答案C4．在△ABC中，AB＝3，BC＝eq\r(13)，AC＝4，则AC边上的高为()A.eq\f(3,2)eq\r(2) B.eq\f(3,2)eq\r(3)C.eq\f(3,2) D．3eq\r(3)解析由余弦定理可知13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝eq\f(1,2)，又A为三角形的内角，∴A＝eq\f(π,3)，∴h＝AB·sinA＝eq\f(3\r(3),2).答案B5．在△ABC中，A＝60°，且最大边的长和最小边的长是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为()A．2 B．3C．4 D．5解析设最大的边长为x，最小的边长为y.由韦达定理eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝7,xy＝11))，A＝60°，∴y≤a≤x，由余弦定理，得a2＝x2＋y2－2xycos60°＝(x＋y)2－3xy＝49－33＝16，故a＝4.答案C6．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围是()A．1<c<3 B．2<c<3C.eq\r(5)<c<3 D．2eq\r(2)<c<3解析由cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0得c2>a2＋b2＝5.∴c>eq\r(5).又c<a＋b，∴eq\r(5)<c<3.答案C二、填空题7．在△ABC中，sinA＝2cosBsinC，则三角形为____________．解析由已知得sinBcosC＋cosBsinC＝2cosBsinC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.答案等腰三角形8．在△ABC中，若m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝sin2C，则角C解析∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，得cosC＝eq\f(1,2)，又C为△ABC的内角，∴C＝eq\f(π,3).答案eq\f(π,3)9．在△ABC中，AB＝12，∠ACB的平分线CD把三角形面积分成32两部分，则cosA＝________.解析∵CD是∠ACB的平分线，∴eq\f(S△ACD,S△BCD)＝eq\f(\f(1,2)AC·CD·sin\f(∠ACB,2),\f(1,2)BC·CD·sin\f(∠ACB,2))＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(3,2).又B＝2A，∴eq\f(2sinAcosA,sinA)＝eq\f(3,2)，∴cosA＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)三、解答题10．在△ABC中，sinA＋cosA＝eq\f(\r(2),2)，AC＝2，AB＝3，求tanA的值和△ABC的面积．解∵sinA＋cosA＝eq\r(2)cos(A－45°)＝eq\f(\r(2),2)，∴cos(A－45°)＝eq\f(1,2).又0°<A<180°，∴A－45°＝60°，∴A＝105°，tanA＝tan(45°＋60°)＝eq\f(1＋\r(3),1－\r(3))＝－2－eq\r(3)，sinA＝sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·AB·sinA＝eq\f(1,2)×2×3×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝eq\f(3,4)(eq\r(2)＋eq\r(6))．11．△ABC中，D为BC上的一点，BD＝33，sinB＝eq\f(5,13)，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，求AD.解由cos∠ADC＝eq\f(3,5)>0，知B<eq\f(π,2).由已知得cosB＝eq\f(12,13)，知sin∠ADC＝eq\f(4,5)，从而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADC·cosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(12,13)－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(33,65).由正弦定理，得eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD).∴AD＝eq\f(BD·sinB,sin∠BAD)＝eq\f(33×\f(5,13),\f(33,65))＝25.12．已知锐角△ABC中，bsinB－asinA＝(b－c)sinC，其中a、b、c分别为内角A、B、C的对边．(1)求角A的大小；(2)求eq\r(3)cosC－sinB的取值范围．解(1)由正弦定理得b2－a2＝(b－c)·c.即b2＋c2－a2＝bc.∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).又∵A为三角形内角，∴A＝eq\f(π,3).(2)∵B＋C＝eq\f(2,3)π，∴C＝eq\f(2,3)π－B.∵△ABC为锐角三角形，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<B<\f(π,2)，,0<\f(2,3)π－B<\f(π,2).))∴eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2).又∵eq\r(3)cosC－sinB＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－B))－sinB＝－eq\f(\r(3),2)cosB＋eq\f(1,2)sinB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,3)))，∵eq\f(π,6)<B<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)<B－eq\f(π,3)<eq\f(π,6).∴－eq\f(1,2)<sin(B－eq\f(π,3))<eq\f(1,2).即eq\r(3)cosC－sinB的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).思维探究13．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝eq\f(3,5)，且eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.解(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－21，∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝21.∴eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|·cosB＝accosB＝21.∴ac＝35，∵cosB＝eq\f(3,5)，∴sinB＝eq\f(4,5).∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×35×eq\f(4,5)＝