【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修1双基限时练13-简单的幂函数

双基限时练(十三)简洁的幂函数基础强化1．下列函数中，不是幂函数的是()A.y＝eq\r(x) B.y＝x3C.y＝3x D.y＝x－1解析由幂函数的定义可得．答案C2．若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值为()A.3 B.2C.3或－2 D.k≠3且k≠－2解析由幂函数的概念可知k2－k－5＝1，即k2－k－6＝0，得k＝－2，或k＝3.答案C3．函数y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))的图像是()解析函数y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))是幂函数，幂函数在第一象限内的图像恒定过定点(1,1)，排解A、D.当x>1时，x>xeq\s\up15(eq\f(1,3))，故幂函数y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))图像在直线y＝x的下方，排解C.答案B4．已知函数f(x)＝x3＋eq\r(3,x)＋1，(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A.3 B.0C.－1 D.－2解析设F(x)＝f(x)－1，明显F(x)为奇函数，∴F(a)＝f(a)－1＝1，F(－a)＝－F(a)＝－1.∴f(－a)－1＝－1，∴f(－a)＝0.答案B5．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于()A.－2 B.－1C.1 D.2解析∵f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，∴(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)，得a＝1.答案C6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是削减的，且f(3)＝0，则使f(x)<0的x的取值范围为()A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(3，＋∞)C．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．(－3,3)解析由已知可得f(－3)＝f(3)＝0，结合函数的奇偶性和单调性可画出函数f(x)的大致图像(如图)．由图像可知f(x)<0时，x的取值范围是(－3,3)．答案D7．当α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))时，幂函数y＝xα的图像不行能经过第________象限．解析幂函数y＝x－1，y＝x，y＝x3的图像分布在第一、三象限，y＝xeq\f(1,2)的图像分布在第一象限，故当α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，1，3))时，幂函数y＝xα的图像不行能经过其次、四象限．答案二、四能力提升8．若函数f(x)＝ax3在[3－a,5]上是奇函数，则a＝________.解析由奇函数定义域的特点和3－a＝－5，得a＝8.答案89．已知a＝xα，b＝xeq\s\up15(eq\f(a,2))，c＝xeq\s\up15(eq\f(1,a))，x∈(0,1)，α∈(0,1)，则a，b，c的大小挨次是________．解析∵α∈(0,1)，∴eq\f(1,α)>α>eq\f(α,2)，又0<x<1依据幂函数的图像特征可知xeq\s\up15(eq\f(1,a))<xα<xeq\s\up15(eq\f(a,2)).答案c<a<b10．点(eq\r(2)，2)在幂函数f(x)的图像上，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))在幂函数g(x)的图像上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)．解设f(x)＝xα，则由题意得2＝(eq\r(2))α，∴α＝2，即f(x)＝x2.再设g(x)＝xβ，则由题意得eq\f(1,4)＝(－2)β，∴β＝－2，即g(x)＝x－2，在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图像，如图所示．由图像可知：(1)当x>1，或x<－1时，f(x)>g(x)；(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)；(3)当－1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．11．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．解(1)当x＝0时，由f(－x)＝－f(x)，得f(0)＝0.(2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)[1－(－x)]．又∵f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝(－x)(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，∴f(x)的解析式为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－x，x>0，,0，x＝0，,x1＋x，x<0.))12．已知函数f(x)＝x＋eq\f(m,x)，且f(1)＝2.(1)求m；(2)推断f(x)的奇偶性；(3)函数f(x)在(1，＋∞)内是增加的还是削减的？并说明理由．解(1)∵f(1)＝2，∴1＋m＝2，即m＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋eq\f(1,x)，明显函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)＋eq\f(1,－x)＝－x－eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝－f(x)，∴函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)是奇函数．(3)函数f(x)在(1，＋∞)内是增加的．设x1，x2是(1，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(1,x1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x1－x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝x1－x2－eq\f(x1－x2,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－1,x1x2)，当1<x1<x2时，有x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，从而f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴