【名师一号】2022届高三数学一轮总复习基础练习：第七章-立体几何7-7-1-

第一课时证明平行与垂直时间：45分钟分值：100分eq\x(基)eq\x(础)eq\x(必)eq\x(做)一、选择题1．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量是b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a·b＝0，则x＋y的值是()A．－3或1 B．3或－1C．－3 D．1解析由题意知|a|＝eq\r(22＋42＋x2)＝6，得x＝±4，由a·b＝4＋4y＋2x＝0得x＝－2y－2，当x＝4时，y＝－3，所以x＋y＝1.当x＝－4时，y＝1，所以x＋y＝－3，综上x＋y＝－3或1.答案A2．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交 B．平行C．在平面内 D．平行或在平面内解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案D3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)三点，向量n＝(1,1,1)，则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是()A．垂直 B．不垂直C．平行 D．以上都有可能解析易知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·n＝－1×1＋1×1＋0＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·n＝0，则eq\o(AB,\s\up6(→))⊥n，eq\o(AC,\s\up6(→))⊥n，即AB⊥l，AC⊥l，又AB与AC是平面ABC内两相交直线，∴l⊥平面ABC.答案A4．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq\r(3)，AD＝2eq\r(2)，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，C(0，2,0)，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)．所以eq\o(PM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(0,1，eq\r(3))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，2,0)－(2eq\r(2)，0,0)＝(－eq\r(2)，2,0)，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，即eq\o(PM,\s\up6(→))⊥eq\o(AM,\s\up6(→))，所以AM⊥PM.答案C5．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝eq\f(2,3)A1D，AF＝eq\f(1,3)AC，则()A．EF至多与A1D，AC之一垂直B．EF⊥A1D，EF⊥ACC．EF与BD1相交D．EF与BD1异面解析以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，0，\f(1,3)))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(1,3)，0))，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，eq\o(A1D,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，－\f(1,3)))，eq\o(BD1,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(BD1,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝0，从而EF∥BD1，EF⊥A1D，EF⊥AC.故选B.答案B6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面相互垂直，AB＝eq\r(2)，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为()A．(1,1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，\f(\r(2),3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，1))解析设AC与BD相交于O，连接OE，由AM∥平面BDE，且AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO.又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点．在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(eq\r(2)，eq\r(2)，1)．由中点坐标公式，知点M的坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).答案C二、填空题7．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．解析设平面ABC的法向量为a＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,a·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋2y＋z＝0，①,4x＋5y＋3z＝0，②))①×3－②得2x＋y＝0，令x＝1，则y＝－2，z＝2，此时a＝(1，－2,2)，|a|＝eq\r(1＋－22＋22)＝3，所以平面ABC的单位法向量为±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3))).答案±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，假如eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正确的是________．解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0.∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．又eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))不平行，∴eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，则③正确．由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3,4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(AP,\s\up6(→))不平行，故④错误．答案①②③9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，假如B1E⊥平面ABF，那么CE与DF解析以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，则易知E(x,1,1)，B1(1，1,0)，所以eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(x－1,0,1)，又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(1,1，y)，由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，只需eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(B1E,\s\up6(→))＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.答案1三、解答题10．如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：PB∥平面EFG.证明∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)．∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝(0，－1,0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，设eq\o(PB,\s\up6(→))＝seq\o(FE,\s\up6(→))＋teq\o(FG,\s\up6(→))，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝2，,t－s＝0，,－t＝－2，))解得s＝t＝2.∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FG,\s\up6(→)).又∵eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(FG,\s\up6(→))不共线，∴eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))与eq\o(FG,\s\up6(→))共面．∵PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.11.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点．(1)求证：PB∥平面EFH；(2)求证：PD⊥平面AHF；(3)求二面角H－EF－A的大小．解建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0，0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．(1)证明：∵eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(EH,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(EH,\s\up6(→))，∴PB∥EH.∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)证明：eq\o(PD,\s\up6(→))＝(0,2，－2)，eq\o(AH,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AH,\s\up6(→))＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，∴PD⊥AF，PD⊥AH，又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.(3)设平面HEF的法向量为n＝(x，y，z)，∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(EH,\s\up6(→))＝(1,0，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝y＝0，,n·\o(EH,\s\up6(→))＝x－z＝0，))取n＝(1,0,1)．又∵平面AEF的法向量为m＝(1,0,0)，∴cos〈m，n〉＝eq\f(m·n,|m||n|)＝eq\f(1＋0＋0,\r(2)×1)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，∴〈m，n〉＝45°，∴二面角H－EF－A的大小为45°.eq\x(培)eq\x(优)eq\x(演)eq\x(练)1．已知平面ABC，点M是空间任意一点，点M满足条件eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up6(→))，则直线AM()A．与平面ABC平行B．是平面ABC的斜线C．是平面ABC的垂线D．在平面ABC内解析由已知得M、A、B、C四点共面，所以AM在平面ABC内，选D.答案D2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC①A1M∥D1P②A1M∥B1Q③A1M∥平面DCC1D1④A1M∥平面D1PQB1以上正确说法的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析eq\o(A1M,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(D1P,\s\up6(→))＝eq\o(D1D,\s\up6(→))＋eq\o(DP,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(A1M,\s\up6(→))∥eq\o(D1P,\s\up6(→))，∴A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确．答案C3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP相互平分，则满足eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(MN,\s\up6(→))的实数λ有________个．解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，∴OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)，\f(y＋1,2)，1))，又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.答案24．(2021·北京模拟)如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA＝AD＝2.四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1.点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且eq\f(PE,PB)＝eq\f(PF,PC)＝λ.(1)求证：EF∥平面PAD.(2)是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．解(1)证明：由已知，eq\f(PE,PB)＝eq\f(PF,PC)＝λ，所以EF∥BC.由于BC∥AD，所以EF∥AD.而EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)由于平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，且PA⊥AC，所以PA⊥平面ABCD.所以PA⊥AB，PA⊥AD.又由于AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直．如图所示，建立空间直角坐标系，由于AB＝BC＝1，PA＝AD＝2，所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,