2022届《创新设计》数学一轮课时作业(文科)(浙江专用)-第四章-三角函数、解三角形-4-4

第4讲平面对量的应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－4,2)，则该四边形的面积为()A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C．5 D．10解析∵eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BD,\s\up8(→))，∴四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up8(→))|·|eq\o(BD,\s\up8(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×2eq\r(5)＝5.答案C2．在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→)))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|2，则△ABC的外形确定是()A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形解析由(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→)))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|2，得eq\o(AC,\s\up8(→))·(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＝0，即eq\o(AC,\s\up8(→))·(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→)))＝0,2eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BA,\s\up8(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BA,\s\up8(→))，∴A＝90°.又依据已知条件不能得到|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|，故△ABC确定是直角三角形．答案C3．(2022·温州调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2eq\r(3)，则eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝()A．2eq\r(3) B．2C．－2eq\r(3) D．－2解析由余弦定理得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(22＋22－2\r(3)2,2×2×2)＝－eq\f(1,2)，所以eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AC,\s\up8(→))|cosA＝2×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－2，故选D.答案D4．已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实根，则向量a与b的夹角是()A．－eq\f(π,6) B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)解析由已知可得Δ＝|a|2＋4a·b即4|b|2＋4×2|b|2cosθ＝0，∴cosθ＝－eq\f(1,2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).答案D5．(2021·杭州质量检测)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))，则∠BAC的度数等于()A．30° B．45°C．60° D．90°解析取BC的中点D，连接AD，则eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→)).由题意得3eq\o(AO,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→))，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°，故选C.答案C二、填空题6．(2021·广州综合测试)在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝2，则边AB的长等于________．解析由题意知eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝4，即eq\o(AB,\s\up8(→))·(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CB,\s\up8(→)))＝4，即eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝4，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝2.答案27．(2022·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则eq\o(EC,\s\up8(→))·eq\o(EM,\s\up8(→))的最大值为________．解析以点A为坐标原点，AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则C(1,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，设E(x,0)，x∈[0,1]，则eq\o(EC,\s\up8(→))·eq\o(EM,\s\up8(→))＝(1－x,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))＝(1－x)2＋eq\f(1,2)，x∈[0,1]单调递减，当x＝0时，eq\o(EC,\s\up8(→))·eq\o(EM,\s\up8(→))取得最大值eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)8．(2021·太原模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(eq\r(3)，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．解析由题意可得a·b＝eq\r(3)cosθ－sinθ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，则|2a－b|＝eq\r(2a－b2)＝eq\r(4|a|2＋|b|2－4a·b)＝eq\r(8－8cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6))))∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.答案4三、解答题9．(2021·杭州其次中学模拟)已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx，\f(3,2)))，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求tan2x的值；(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))上的值域．解(1)∵a∥b，∴sinx·(－1)－eq\f(3,2)·cosx＝0，即sinx＋eq\f(3,2)cosx＝0，tanx＝－eq\f(3,2)，∴tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(12,5).(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2＝sinxcosx－eq\f(3,2)＋cos2x＋1＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＋1＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).∵－eq\f(π,2)≤x≤0，∴－π≤2x≤0，－eq\f(3π,4)≤2x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(\r(2),2)≤eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))≤eq\f(1,2)，∴f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(1,2))).10．(2022·陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上，且eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋neq\o(AC,\s\up8(→))(m，n∈R)．(1)若m＝n＝eq\f(2,3)，求|eq\o(OP,\s\up8(→))|；(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．解(1)∵m＝n＝eq\f(2,3)，eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2,1)，∴eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(1,2)＋eq\f(2,3)(2,1)＝(2,2)，∴|eq\o(OP,\s\up8(→))|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).(2)∵eq\o(OP,\s\up8(→))＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))两式相减，得m－n＝y－x.令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.力气提升题组(建议用时：35分钟)11．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且eq\o(OM,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))＝0(O为坐标原点)，则A等于()A.eq\f(π,6) B.eq\f(\r(7),12)πC.eq\f(\r(7),6)π D.eq\f(\r(7),3)π解析由题意知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，A))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)π，－A))，又eq\o(OM,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))＝eq\f(π,12)×eq\f(7,12)π－A2＝0，∴A＝eq\f(\r(7),12)π.答案B12．(2021·舟山联考)已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0≤eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(OM,\s\up8(→))≤1,0≤eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))≤1，则z＝eq\o(OQ,\s\up8(→))·eq\o(OP,\s\up8(→))的最大值为________．解析eq\o(OP,\s\up8(→))＝(x，y)，eq\o(OM,\s\up8(→))＝(1,1)，eq\o(ON,\s\up8(→))＝(0,1)，∴eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(OM,\s\up8(→))＝x＋y，eq\o(OP,\s\up8(→))·eq\o(ON,\s\up8(→))＝y，即在eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＋y≤1，,0≤y≤1))条件下，求z＝2x＋3y的最大值，由线性规划学问，当x＝0，y＝1时，zmax＝3.答案313．在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足eq\o(AP,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AQ,\s\up8(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))，λ∈R.若eq\o(BQ,\s\up8(→))·eq\o(CP,\s\up8(→))＝－2，则λ＝________.解析∵eq\o(BQ,\s\up8(→))＝eq\o(AQ,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(CP,\s\up8(→))＝eq\o(AP,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝λeq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(BQ,\s\up8(→))·eq\o(CP,\s\up8(→))＝－2⇒[(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))]·[λeq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))]＝－2，化简得(1－λ)λeq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))－(1－λ)eq\o(AC,\s\up8(→))2－λeq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝－2，又由于eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0，eq\o(AC,\s\up8(→))2＝4，eq\o(AB,\s\up8(→))2＝1，所以解得λ＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)14．(2021·绍兴五校联考)已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)sin\f(x,4)，1))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,4)，cos2\f(x,4))).(1)若m·n＝1，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A解m·n＝eq\r(3)sineq\f(x,4)coseq\f(x,4)＋cos2eq\f(x,4)＝eq\f(\r(3),2)sineq\f(x,2)＋eq\f(1,2)×coseq\f(x,2)＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2).(1)∵m·n＝1，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,2).(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA，且sinA≠0，∴cosB＝eq\f(1,2)，B＝eq\f(π,3).∴0＜A＜eq\f(2π,3).∴eq\f(π,6)＜eq\f(A,2)＋eq\f(π,6)＜eq\f(π,2)，eq\f(1,2)＜sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(π,6)))＜1.又∵f(x)＝m·n＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴f(A)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A,2)＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，故1＜f(A)＜eq\f(3,2).故函数f(A)的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).15．如图所示，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的一动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且eq\o(QP,\s\up8(→))·eq\o(QF,\s\up8(→))＝eq\o(FP,\s\up8(→))·eq\o(FQ,\s\up8(→)).(1)求动点P的轨