【名师一号】2020-2021学年北师大版高中数学必修2双基限时练3

双基限时练(三)一、选择题1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中两条线段结论错误的是()A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点解析斜二测画法保平行，保相交，保平行线段的比，但不保垂直．答案B2．如图所示的直观图中A′B′∥y′轴，B′C′∥A′D′∥x′轴，且B′C′≠A′D′.其对应的平面图形ABCD是()A．任意梯形 B．直角梯形C．任意四边形 D．平行四边形解析由直观图的画法，可知原四边形ABCD为直角梯形．答案B3．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，如图若O′B′＝1，那么原△ABO的面积是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D．2eq\r(2)解析由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2O′A′＝2eq\r(2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(2)＝eq\r(2).答案C4.如图所示为等腰直角三角形，其中AB＝AC＝2，则△ABC的直观图的面积为()A．2 B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2) D．2eq\r(2)解析△ABC的直观图如图所示，则S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×2×1×sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案C5．已知△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，如图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A．AB B．ADC．BC D．AC解析由斜二测画法，可知原三角形ABC为直角三角形，AC为斜边，D为BC的中点，故AC>AD，故最长的线段为AC，故答案为D.答案D6．已知等边三角形的边长为2，那么它的直观图的面积为()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(6),2)解析如图①②分别为平面图与直观图，由②可知，A′B′＝2，h′＝C′O′sin45°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6),4)，S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),4)×2＝eq\f(\r(6),4).答案C二、填空题7．在一等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，DC＝2，AD＝eq\r(2)，建立如图所示的直角坐标系，其中O为AB的中点，则其直观图的面积为________．解析由图可知AB＝DC＋2ADcos45°＝4，EO＝eq\r(2)sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A′B′＝4，C′D′＝2，高h′＝E′O′.sin45°＝eq\f(\r(2),4)，∴SA′B′C′D′＝eq\f(2＋4×\f(\r(2),4),2)＝eq\f(3\r(2),4).答案eq\f(3\r(2),4)8．一个水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．解析由斜二测画法，知△ABC为直角三角形，AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(9＋16)＝5，∴AB边上的中线为eq\f(5,2).答案eq\f(5,2)9．如图所示，ABCD为边长为2的正方形，其中B(2,2)，则在斜二测画法中，直观图A′B′C′D′中B′点到x′轴的距离为________．解析在直观图中，A′B′C′D′是有一个角为45°的平行四边形，B′到x′轴的距离为d＝1×sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案eq\f(\r(2),2)三、解答题10．把下图水平放置的直观图P′Q′R′S′还原为真实图形．若S′R′＝2，P′Q′＝4，S′P′＝2，S′R′∥P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，试求其真实图形PQRS的面积．解由斜二测画法，知P′Q′∥O′x′，P′S′∥O′y′，R′S′∥O′x′.故PQ∥Ox，PS∥Oy，RS∥Ox，且PS＝2P′S′，PQ＝P′Q′，RS＝R′S′.故真实图形如图所示．由上知PQ＝P′Q′＝4，SR＝S′R′＝2，SP＝2S′P′＝4，且四边形PQRS是直角梯形，其面积S＝eq\f(1,2)(SR＋PQ)·SP＝eq\f(1,2) (2＋4)×4＝12.11．已知正△ABC的边长为a，求△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积．解由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在图②中，作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a，所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.12．画出长为5，宽为4，高为5的长方体的直观图．解(1)画出x轴，y轴，z轴三轴相交于O点，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.(2)在x轴上取OA＝5，OC＝2，过A作AB∥OC，过C作CB∥OA，则四边形OABC为下底面．(3)在z轴上取OO′＝5，过O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′，重复(2)的步骤作出上底面O′A′B′C′.(4)连接AA′，BB′，CC′，OO′，即得到长方体OABC－O′A′B′C′的直观图．思维探究13．已知水平放置的三角形ABC是正三角形，其直观图的面积为eq\f(\r(6),4)a2，求△ABC的周长．解图△ABC是△A′B′C′的原图形，设△ABC的边长为x，由斜二测画法，知A′B′＝AB＝x，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)x，作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，∵∠C′O′D′＝45°，∴C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),4)x＝eq\f(\r(6),