【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第8章-第2节-简单几何体的面积与体积

第八章其次节一、选择题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．eq\f(28,3)π B．eq\f(16,3)πC．eq\f(4,3)π＋8 D．12π[答案]A[解析]由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，分别计算其体积相加得π×22×2＋eq\f(4,3)π＝eq\f(28,3)π.2．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8、高为5的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为()A．24 B．80C．64 D．240[答案]B[解析]结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V＝eq\f(1,3)×8×6×5＝80，故选B．3．(文)(2022·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．72cm3 B．90cm3C．108cm3 D．138cm3[答案]B[解析]本题考查三视图与几何体的体积计算．考查空间想象力气与计算力气．该几何体的直观图为左边是一个横放的棱柱，右边是一个长方体．V＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×6×3＝18＋72＝90(cm3)对三视图的想象还原关键是“长对正、高平齐、宽相等”．(理)(2022·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A．90cm2 B．129cm2C．132cm2 D．138cm2[答案]D[解析]本题考查三视图及几何体表面积公式，由三视图还原后表面积S＝2×4×6＋2×3×4＋3×6＋3×3＋3×4＋3×5＋2×eq\f(1,2)×3×4＝138，选D．留意利用三视图还原后几何体的外形是关键．表面是全面积而不是侧面积．4．正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D－GAC与三棱锥P－GAC体积之比为()A．11 B．12C．21 D．32[答案]C[解析]考查三棱锥体积的求法及等积法的运用．VD－GAC＝VG－ACD，∵G为PB中点，∴VP－GAC＝VB－GAC＝VG－ABC，又S△ABCS△ACD＝12.∴VD－GACVP－GAC＝VG－ACDVG－ABC＝S△ACDS△ABC＝21.5．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8[答案]B[解析]由正视图知四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2，又由于侧棱长相等，所以棱锥是正四棱锥，斜高h′＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，侧面积S＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5)，体积V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3).6．(2021·济南模拟)如图所示，在正三棱锥S－ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝2eq\r(3)，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是()A．12π B．32πC．36π D．48π[答案]C[解析]在正三棱锥S－ABC中，易证SB⊥AC，又MN綊eq\f(1,2)BS，∴MN⊥AC，∵MN⊥AM，∴MN⊥平面ACM，∴MN⊥SC，∴∠CSB＝∠CMN＝90°，即侧面为直角三角形，底面边长为2eq\r(6).此棱锥的高为2，设外接球半径为R，则(2－R)2＋(2eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3))2＝R2，∴R＝3.∴外接球的表面积是36π.故选C．二、填空题7．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．[答案]eq\r(3)[解析]依题意有，三棱锥P－ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·|PA|＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×22×3＝eq\r(3).8．(文)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3[答案]6[解析]本题考查长方体及四棱锥体积等学问，考查空间想象力气．连接AC交BD于O点，∵AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，∴AO⊥BD．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1B⊥面ABCD又AO面ABCD，∴B1B⊥AO.又B1B∩BD＝B，∴AO⊥面B1BDD1，即AO长为四棱锥A－B1BDD1的高，∴AO＝eq\f(AC,2)＝eq\f(3\r(2),2)，S矩B1BDD1＝BB1×BD＝3eq\r(2)×2＝6eq\r(2).∴VA－BB1D1D＝eq\f(1,3)S矩BB1D1D×AD＝eq\f(1,3)×6eq\r(2)×eq\f(3\r(2),2)＝6.(理)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[答案]92[解析]本题考查了三视图及直四棱柱的表面积．该几何体的底面是直角梯形，高为4的直四棱柱，几何体的表面积是：S＝2×eq\f(1,2)×(2＋5)×4＋(2＋5＋4＋eq\r(42＋5－22))×4＝92.9．(文)(2022·山东高考)一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．[答案]12[解析]本题考查六棱锥的体积、侧面积的基本运算．如图所示．由体积V＝eq\f(1,3)×6×eq\f(\r(3),4)×4·h＝2eq\r(3)求得高h＝1.取AB中点G，连结OG、PG.∵OA＝OB，∴AB⊥GO.又PO⊥AB，PO∩GO＝O，∴AB⊥平面PGO，∴AB⊥PG.又PO＝1，GO＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，∴PG＝2.∴S侧＝6×eq\f(1,2)×AB·PG＝3×2×2＝12.(理)(2022·山东高考)三棱锥P－ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D－ABE的体积为V1，P－ABC的体积为V2，则eq\f(V1,V2)＝________.[答案]eq\f(1,4)[解析]本题考查棱锥的体积计算．如图所示VP－ABC＝VC－PAB设三棱锥C－PAB的高为h1VD－ABE＝VE－ABD，设三棱锥E－ABD的高为h2∴eq\f(h2,h1)＝eq\f(ED,BC)＝eq\f(1,2)，又S△PAB＝2S△ABD∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S△ABD·h2,\f(1,3)S△PAB·h1)＝eq\f(1,4).三、解答题10．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，∠CAB＝eq\f(π,2).(1)证明：CB1⊥BA1；(2)已知AB＝2，BC＝eq\r(5)，求三棱锥C1－ABA1的体积．[解析](1)如图，连接AB1，∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∠CAB＝eq\f(π,2)，∴AC⊥平面ABB1A1，故AC⊥BA1又∵AB＝AA1，∴四边形ABB1A1∴BA1⊥AB1，又CA∩AB1＝A，∴BA1⊥平面CAB1，故CB1⊥BA1.(2)∵AB＝AA1＝2，BC＝eq\r(5)，∴AC＝A1C1＝1，由(1)知，A1C1⊥平面ABA1∴VC1－ABA1＝eq\f(1,3)S△ABA1·A1C1＝eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).一、选择题1．(2021·大连模拟)矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四周体A－BCD的外接球的体积为()A．eq\f(125,12)π B．eq\f(125,9)πC．eq\f(125,6)π D．eq\f(125,3)π[答案]C[解析]外接球直径为AC，∴半径为eq\f(5,2).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\f(5,2))3＝eq\f(125,6)π.2．已知三棱锥O－ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x＋y＝4，则三棱锥体积的最大值是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．1 D．eq\f(4,3)[答案]B[解析]由条件可知V三棱锥O—ABC＝eq\f(1,6)OA·OB·OC＝eq\f(1,6)xy≤eq\f(1,6)(eq\f(x＋y,2))2＝eq\f(2,3)，当x＝y＝2时，取得最大值eq\f(2,3).二、填空题3．(2021·金华模拟)四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD中投影恰好是A，其三视图如图，则四棱锥P－ABCD的体积为________．[答案]eq\f(1,3)a3[解析]易知该四棱锥中，PA⊥底面ABCD，PA＝a，底面是边长为a的正方形，故体积V＝eq\f(1,3)a2×a＝eq\f(1,3)a3.4．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.[答案]24[解析]本题考查了三视图及几何体的体积问题．由几何体的三视图可知该几何体的图形为三棱柱去掉一个三棱锥，故V＝V三棱柱－V三棱锥＝eq\f(1,2)×4×3×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝24.三、解答题5．在底面直径和高均为2R的圆锥内作一内接圆柱，当圆柱的底面半径和高分别为多少时，它的体积最大？[解析]依据题意作如图所示的截面．设圆柱的高为h，底面半径为r(0<r<R)，体积为V，则eq\f(h,2R)＝eq\f(R－r,R)，∴h＝2(R－r)，∴V＝πr2h＝2πr2(R－r)＝2πRr2－2πr3.∴V′＝4πRr－6πr2，由V′＝0得r＝eq\f(2,3)R，当r＝eq\f(2,3)R时，圆柱的体积V取得最大值，此时圆柱的高h＝2(R－eq\f(2,3)R)＝eq\f(2,3)R.6．某高速大路收费站入口处的平安标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图2、图3分别是该标识墩的主(正)视图和俯视图．(1)请画出该平安标识墩的左(侧)视图；(2)求该平安标识墩的体积；(3)证明：直线BD⊥平面PEG.[解析](1)该平安标识墩左(侧)视图如图所示．(2)该平安标识墩的体积V＝VP－E