【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练19

双基限时练(十九)1．在空间直角坐标系O－xyz中，下列说法中正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐标与点B的坐标相同B．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐标与点A的坐标相同C．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐标与向量eq\o(OB,\s\up16(→))的坐标相同D．向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐标与eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))的坐标相同解析在空间直角坐标系中，从原点动身的向量的坐标等于终点的坐标，不从原点动身的向量eq\o(AB,\s\up16(→))的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)).答案D2．以下四个命题中正确的是()A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底C.△ABC为直角三角形的充要条件是eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底答案B3．下列说法不正确的是()A．只要空间的三个基本向量的模为1，那么它们就是空间的一个单位正交基底B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面C．纵坐标为0的向量都共面D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直答案A4．从空间一点动身的三个不共线的向量a，b，c确定的平面个数是()A．1 B．2C．3 D．1或3解析当三个向量共面时，可确定一个平面，当三个向量不共面时，可以确定三个平面．答案D5．正方体ABCD－A′B′C′D′，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′，的中点，以{eq\o(AO1,\s\up16(→))，eq\o(AO2,\s\up16(→))，eq\o(AO3,\s\up16(→))}的基底，eq\o(AC′,\s\up16(→))＝xeq\o(AO1,\s\up16(→))＋yeq\o(AO2,\s\up16(→))＋zeq\o(AO3,\s\up16(→))，则x，y，z的值是()A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝eq\f(1,2)C．x＝y＝z＝eq\f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2解析eq\o(AC′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BB′,\s\up16(→))＋eq\o(B′C′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD′,\s\up16(→))＝eq\o(AO1,\s\up16(→))＋eq\o(AO2,\s\up16(→))＋eq\o(AO3,\s\up16(→)).对比eq\o(AC′,\s\up16(→))＝xeq\o(AO1,\s\up16(→))＋yeq\o(AO2,\s\up16(→))＋zeq\o(AO3,\s\up16(→))，知x＝y＝z＝1.答案A6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－2e1＋4e2＋2e3，则向量a，b的坐标分别是________．答案a＝(3,2，－1)，b＝(－2,4,2)7．若{a，b，c}构成空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是__________．解析∵{a，b，c}构成空间的一个基底，∴a，b，c都是非零向量．由0＝xa＋yb＋zc知，x＝y＝z＝0.答案x＝y＝z＝08．在四周体O－ABC中，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，eq\o(OC,\s\up16(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up16(→))＝__________(用a，b，c表示)．解析eq\o(OE,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)·eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋eq\f(1,4)(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c9．已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，PM＝2MC，N为PD的中点，求满足eq\o(MN,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋yeq\o(AD,\s\up16(→))＋zeq\o(AP,\s\up16(→))的实数x，y，z的值．解如图所示，取PC的中点E，连接NE，则eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(EN,\s\up16(→))－eq\o(EM,\s\up16(→)).由题意易知eq\o(EN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(EM,\s\up16(→))＝eq\o(PM,\s\up16(→))－eq\o(PE,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up16(→))，连接AC，则eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AP,\s\up16(→)).∴eq\o(MN,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,6)eq\o(PC,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AP,\s\up16(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up16(→)).∴x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).10．如图所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1N:NC(1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标；(2)若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标．解(1)正方形ABCD中，AB＝6，∴AC＝BD＝6eq\r(2)，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3eq\r(2).∴各点坐标分别为A(3eq\r(2)，0,0)，B(0,3eq\r(2)，0)，C(－3eq\r(2)，0,0)，D(0，－3eq\r(2)，0)，O(0,0,0)，O1(0,0,4)，A1(3eq\r(2)，0,4)，B1(0,3eq\r(2)，4)，G1(－3eq\r(2)，0,4)，D1(0，－3eq\r(2)，4)，M(0,3eq\r(2)，2)，N(－3eq\r(2)，0,3)．(2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0)，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)，O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6,6,2)，N(0,6,3)．11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up16(→))＝c作为基底．(1)求eq\o(BD1,\s\up16(→))；(2)若M，N分别为边AD，CC1的中点，求eq\o(MN,\s\up16(→)).解(1)eq\o(BD1,\s\up16(→))＝eq\o(AD1,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DD1,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA1,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝b＋c－a.(2)eq\o(MN,\s\up16(→))＝eq\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CC1,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up16(→))＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.12．如图所示，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝1，OB＝2，OC＝3，E，F分别为AC，BC的中点，建立以eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))方向上的单位向量为正交基底的空间坐标系O－xyz.求EF中点P的坐标．解令Ox，Oy，Oz轴方向上的单位向量分别为i，j，k.∵eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\o(OE,\s\up16(→))＋eq\o(EP,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(EF,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→)))＋eq\f