2021高考数学(文-江苏专用)二轮复习-专题一-第二讲-平面向量、解三角形4-【要点导学】

正弦定理、余弦定理的简洁应用例1(2022·苏州、无锡、常州、镇江一模)设函数f(x)=6cos2x-2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期和值域;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(B)=0且b=2,cosA=,求a和sinC的值.【分析】(1)把函数f(x)化为Asin(ωx+φ)+B的形式,求出最小正周期及值域;(2)由f(B)=0,可求得B,再结合正弦定理、三角函数的和差公式求a和sinC的值.【解答】(1)f(x)=6×-sin2x=3cos2x+3-sin2x=2cos+3,所以f(x)的最小正周期T==π,值域为[3-2,3+2].(2)由f(B)=0,得cos=-.由于B为锐角,所以<2B+<,所以2B+=,所以B=.由于cosA=,A∈,所以sinA==.在△ABC中,由正弦定理得a===.所以sinC=sin(π-A-B)=sin=cosA+sinA=.【点评】本题考查倍角公式,正、余弦定理,求三角函数的值域,先把函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,通过求ωx+φ的范围,得函数f(x)的值域是最常用的方法.变式(2022·南京学情调研)在锐角三角形ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知向量m=,n=,且m⊥n.(1)求角A的大小;(2)若a=7,b=8,求△ABC的面积.【解答】(1)由于m·n=0,所以sinA-cosA=0.由于0°<A<90°,所以cosA≠0,则tanA=,所以A=60°.(2)方法一:由正弦定理得=.又a=7,b=8,A=60°,则sinB=sin60°=.由于△ABC为锐角三角形,所以cosB=.由于sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,所以S△ABC=absinC=10.方法二:由于a=7,b=8,A=60°,所以由余弦定理可知,49=64+c2-2×8c×,即c2-8c+15=0,解得c=3或c=5.当c=3时,c2+a2-b2=9+49-64<0,所以cosB<0,不符合题意;当c=5时,c2+a2-b2=25+49-64>0,所以cosB>0,符合题意.所以S△ABC=bcsinA=10.正、余弦定理与三角函数的综合应用例2(2022·湖南卷)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(例2)(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.【分析】(1)已知△ACD的三条边,利用∠CAD的余弦定理即可得到该角的余弦值.(2)利用(1)问得到的∠CAD的余弦值,结合正、余弦之间的关系即可求得该角的正弦值,再利用正、余弦之间的关系即可得到sin∠BAD,而∠CAD与∠BAD之差即为∠BAC,则利用正弦的和差公式即可得到角∠BAC的正弦值,再利用△ABC的正弦定理即可求得边BC的长.【解答】(1)已知△DAC的三边,依据余弦定理可得cos∠CAD===,所以cos∠CAD=.(2)由于∠BAD为平面四边形ABCD的内角,所以sin∠BAD>0且sin∠CAD>0,sin∠BAD==且sin∠CAD==,再由正弦的和差公式可得sin∠BAC=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-sin∠CADcos∠BAD=×-×=+=,再由△ABC的正弦定理可得=⇒BC=×=3.正、余弦定理与向量的综合应用例3(2022·南通二调)在△ABC中,已知·=9,·=-16.求:(1)AB的值;(2)的值.【分析】(1)依据已知条件,将两式相减可求得AB,也可依据向量数量积公式,结合余弦定理,求出AB.(2)依据正弦的和差公式,再利用正弦定理、余弦定理求得结果.【解答】(1)方法一:由于·=9,·=-16,所以·-·=9+16=25,即·(+)=25,即||2=25,故AB=5.方法二:设角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由条件得bccosA=9,accosB=16.两式相加得c(bcosA+acosB)=9+16=25,即c2=25,故AB=c=5.方法三:设角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由条件得bccosA=9,accosB=16.由余弦定理得(b2+c2-a2)=9,(c2+a2-b2)=16,两式相加得c2=25,故AB=c=5.(2)=,由正弦定理得====.【点评】本题考查向量的加法及向量的数量积公式,考查正弦定理,余弦定理,两角和与差的三角函数.在三角形中的向量问题,可利用向量的数量积公式,转化为解三角形问题.变式(2022·徐州三检)在△ABC中,C=,向量m=(sinA,1),n=(1,cosB),且m⊥n.(1)求角A的大小;(2)若点D在边BC上,且3=,AD=,求△ABC的面积.【解答】(1)由题意知m·n=sinA+cosB=0,又C=,A+B+C=π,所以sinA+cos=0,即sinA-cosA+sinA=0,即sin=0,又0<A<,所以A-∈,所以A-=0,即A=.(2)设||=x,由3