【全程复习方略】2020-2021学年高中数学(北师大版)必修二课时作业-1.6.1垂直关系的判定

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(九)垂直关系的判定一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2022·淮北高一检测)三棱锥的四个面中直角三角形最多有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选D.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选取顶点D1，D，A，B构成三棱锥D1-2.下列说法中正确的个数是()①假如直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②假如直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③假如直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④假如直线l不垂直于α，则α内也可以有很多条直线与l垂直.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【解析】选D.由直线和平面垂直的定理知①对，由直线与平面垂直的定义知②正确，当l与α不垂直时，l可能与α内的很多条直线垂直，故③不对，④正确.3.(2022·辽宁高考)已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m⊥α，nα，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥α D.若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解析】选B.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1直线AA1，AB1分别与平面CC1D1D平行，但是直线AA1，AB1相交，故选项A错误；依据线面垂直的定义，一条直线垂直一个平面，则该直线垂直于平面内的任一条直线，可见选项B正确；直线AA1⊥平面ABCD，AA1⊥BC，但直线BC平面ABCD，故选项C错误；直线AA1∥平面CC1D1D，AA1⊥CD，但直线CD平面CC1D1D，故选项D错误.4.(2022·泰安高一检测)三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA=PB=PC，则下列说法正确的是()A.平面PAC⊥平面ABC B.平面PAB⊥平面PBCC.PB⊥平面ABC D.BC⊥平面PAB【解析】选A.如图，由于∠ABC=90°，PA=PB=PC，所以点P在底面的射影落在△ABC的斜边的中点O处，连接OB，OP，则PO⊥OB，又PA=PC，所以PO⊥AC，且AC∩OB=O，所以PO⊥平面ABC，又PO平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.5.在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是()A.5 B.2 C.35 D.45【解析】选D.如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD，由于PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，PD∩PA=P，所以CB⊥平面PAD，所以AD⊥BC.由于AB=AC，所以CD=BD=3.在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，所以AD=4，在Rt△PAD中，PA=8，AD=4，所以PD=82+46.(2021·兰州高一检测)长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=23，CC1=2，则二面角C1-BD-C的大小为A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选A.由于ABCD-A1B1C1D1所以CC1⊥平面ABCD，所以BD⊥CC1.由于ABCD是矩形，且AB=AD，所以ABCD是正方形，所以BD⊥AC.又AC∩CC1=C，所以BD⊥平面AA1C所以∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角，Rt△CC1O中∠C1CO=90°，CC1=2，OC=22BC=22×23=所以tan∠COC1=CC1OC=2所以∠COC1=30°.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2022·杭州高二检测)四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=2a，则PC=________.【解析】连接AC，由于PA=AB=a，PB=2a，所以PA2+AB2=PB2，所以PA⊥AB，同理可证PA⊥AD，又AB∩AD=A，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AC，故PC=PA2+AC2答案：3a8.(2022·西安高一检测)平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P在□ABCD所在平面外，且PA=PC，PD=PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________.【解析】由于AO=CO，PA=PC，所以PO⊥AC，由于BO=DO，PD=PB，所以PO⊥BD.又AC∩BD=O，所以PO⊥平面ABCD.答案：PO⊥平面ABCD9.如图，正四棱锥P-ABCD中，PO⊥底面ABCD，O为正方形ABCD的中心，PO=1，AB=2，则二面角P-AB-D的大小为________.【解题指南】先找二面角的平面角，然后放在直角三角形中求解.【解析】如图所示，取AB中点E，连接PE，OE.由O为正方形ABCD的中心知AB⊥EO.由PA=PB，E为AB中点，知AB⊥EP，所以∠PEO为二面角P-AB-D的平面角，在Rt△PEO中，tan∠PEO=POOE=PO12AB=答案：45°三、解答题(每小题10分，共20分)10.如图，在锥体P-ABCD中，ABCD是菱形，且∠DAB=60°，PA=PD，E，F分别是BC，PC的中点.证明：AD⊥平面DEF.【证明】取AD的中点G，连接PG，BG，由于PA=PD，所以AD⊥PG.设菱形ABCD边长为1，在△ABG中，由于∠GAB=60°，AG=12所以∠AGB=90°，即AD⊥GB.又PG∩GB=G，所以AD⊥平面PGB，所以AD⊥PB.由于E，F分别是BC，PC的中点，所以EF∥PB，AD⊥EF，又DE∥GB，AD⊥GB，所以AD⊥DE，又DE∩EF=E，所以AD⊥平面DEF.11.(2022·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)直线A1F∥【解题指南】(1)关键在平面ADE与平面BCC1B1中的一个平面上找一条直线与另一个平面垂直.(2)关键在平面ADE内找一条直线与直线A1F【证明】(1)D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，又因三棱柱ABC-A1B1C1所以有BB1⊥平面ADC，即有AD⊥BB1.又在平面BCC1B1内BB1与DE必相交，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1A1B1=A1C1又由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以AD⊥BC，所以D为边BC上的中点，连接DF，得AA1FD为平行四边形，故A1F∥AD，又AD平面ADE，A1F⊈平面ADE，所以直线A1F【拓展延长】利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧证明线面垂直时要留意分析几何图形，查找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等，等腰三角形、梯形底边的中线、高，菱形、正方形的对角线，三角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.一、选择题(每小题4分，共16分)1.下列命题正确的是()①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②假如一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平面平行；③过不在平面内的一条直线可作很多个平面与已知平面垂直；④假如两个平面相互垂直，经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.A.①③ B.②③ C.②③④ D.④【解析】选D.过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，所以①不对；若α⊥β，a⊥α，则aβ或a∥β，所以②不对；当平面外的直线是平面的垂线时，能作很多个平面与已知平面垂直，否则只能作一个，所以③也不对.2.(2022·汉中高一检测)设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，lα，则l∥β；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A.0 B.1 C.2 【解析】选C.①中α与β可能相交，②③正确.3.(2022·吉安高二检测)已知PA⊥矩形ABCD所在的平面如图所示，图中相互垂直的平面有()A.1对 B.2对C.5对 D.4对【解析】选C.由于DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA=A，所以DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，所以平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平PAD，平面PAB⊥平面PAD.4.如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=2，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四周体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90°C.△A′DC是正三角形 D.四周体A′-BCD的体积为1【解析】选B.若A′C⊥BD，又已知BD⊥CD，则BD⊥平面A′CD，即BD⊥A′D，与已知BD与A′D不垂直冲突，故A′C⊥BD不正确.由BD⊥CD，平面A′BD⊥平面BCD，我们易得CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′B，又由AB=AD=1，BD=2，可得A′B⊥A′D，又A′D∩CD=D，则A′B垂直于平面A′CD，所以∠BA′C=90°，故B正确.由CD⊥平面A′BD得CD⊥A′D，即△A′DC是直角三角形，故C错误；由于四周体A′-BCD的体积V=13×CD×S△A′BD=1二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2022·哈尔滨高一检测)四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V-AB-C的大小为________.【解析】取AB，CD的中点E，F，连接VE，VF，EF，由于底面ABCD是边长为2的正方形，侧面都是棱长为5的等腰三角形，所以VE⊥AB，EF⊥AB，所以∠VEF即为二面角V-AB-C的平面角.又EF=BC=2，VE=VA故△VEF为等边三角形，所以∠VEF=60°.答案：60°6.(2022·马鞍山高一检测)在空间四边形ABCD中，△ABD，△CBD都是边长为1的正三角形，且平面ABD⊥平面CBD，E，F，G，H为空间四边形AB，AD，CD，BC边上的中点，则四边形EFGH的面积是________.【解析】依题意，作图如下：取BD的中点为O，连接AO，CO，由于△ABD，△CBD都是边长为1的正三角形，所以AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO=O，所以BD⊥平面AOC，AC平面AOC，所以BD⊥AC.由于E，F，G，H为空间四边形AB，AD，CD，BC边上的中点，所以EFGH12BD=12，FGEH12AC，由于BD⊥AC，故EF⊥FG，即四边形EFGH为矩形.在等腰直角三角形AOC中，AC2=AO2+CO2=322+32所以AC=62，故FG=6所以四边形EFGH的面积S=EF·FG=12×64=答案：6三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2022·宿州高一检测)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1(2)假如D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1DC.【证明】(1)在△A1AC中，∠A1AC=60°，AA所以A1C=1，在△A1BC中，BC=1，A1C=1，A1B=由于BC2+A1C2=A1B2，所以BC⊥A1又AA1⊥BC，AA1∩A1C=A1所以BC⊥平面ACC1A1由于BC平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面ACC1A1(2)连接AC1，交A1C则由D为AB中点，O为AC1中点得，OD∥BC1，OD平面A1DC，BC1⊈平面A1DC，所以BC1∥平面A1DC.【变式训练】如图，已知三棱锥P-ABC，∠ACB=90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC.(2)平面PAC⊥平面ABC.【解题指南】(1)关键是依据△PDB是正三角形，D是AB的中点证明PA⊥PB.(2)关键是证明BC⊥平面PAC.【证明】(1)由于△PDB是正三角形，所以∠BPD=60°.由于D是AB的中点，所以AD=BD=PD.又∠ADP=120°，所以∠DPA=30°，所以∠DPA+∠BPD=90°，即∠APB=90°，所以PA⊥PB.又PA⊥PC，PB∩PC=P，所以PA⊥平面PBC.(2)由于PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC.由于∠ACB=90°，所以AC⊥BC.又PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC.由于BC平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC.8.(2022·武汉高二检测)如图，在四周体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1，(1)设P为AC的中点，证明：在AB上存在一点Q，使PQ⊥OA，并计算AB(2)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.【解析】(1)在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连接NC，又OA⊥OC，ON∩OC=O，所以OA⊥平面ONC.由于NC平面ONC，所以OA⊥NC，取Q为AN的中点，连接PQ.则PQ∥NC，所以PQ⊥OA.在等腰△AOB中，∠AOB=120°，所以∠OAB=∠OBA=30°.在Rt△AON中，∠OAN=30°，所以ON=12在△ONB中，∠NOB=120°-90°=30°=∠NBO，所以NB=ON=AQ，所以AB(2)连接PN，PO.由于OC⊥OA，OC⊥OB，OA∩OB=O，所以OC⊥平面OAB.又ON平面OAB，所以OC⊥ON，又由ON⊥OA，OA∩OC=O，所以ON⊥平面AO