【三维设计】2021-2022学年新课标A版数学选修1-2习题-阶段质量推理与证明检测(二)

推理与证明一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观看下列各等式：eq\f(2,2－4)＋eq\f(6,6－4)＝2，eq\f(5,5－4)＋eq\f(3,3－4)＝2，eq\f(7,7－4)＋eq\f(1,1－4)＝2，eq\f(10,10－4)＋eq\f(－2,－2－4)＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为()A.eq\f(n,n－4)＋eq\f(8－n,8－n－4)＝2B.eq\f(n＋1,n＋1－4)＋eq\f(n＋1＋5,n＋1－4)＝2C.eq\f(n,n－4)＋eq\f(n＋4,n＋4－4)＝2D.eq\f(n＋1,n＋1－4)＋eq\f(n＋5,n＋5－4)＝2解析：选A观看分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8.2．下列三句话按“三段论”模式排列挨次正确的是()①y＝cosx(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cosx(x∈R)是周期函数．A．①②③ B．②①③C．②③① D．③②①解析：选B按三段论的模式，排列挨次正确的是②①③.3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四周体的内切球切于四个面________．”()A．各正三角形内一点 B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心 D．各正三角形外的某点解析：选C正三角形的边对应正四周体的面，边的中点对应正四周体的面正三角形的中心．4．已知a∈(0，＋∞)，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推广为x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，则a的值为()A．2n B．n2C．22(n－1) D．nn解析：选D将四个答案分别用n＝1,2,3检验即可，故选D.5．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是()A．指数函数 B．对数函数C．一次函数 D．余弦函数解析：选A当函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)时，对任意的x>0，y>0，有[f(x)]y＝(ax)y＝axy＝f(xy)，即指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足[f(x)]y＝f(xy)，可以检验，B，C，D选项均不满足要求．6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：依据上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为()A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2.7．将平面对量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：()①a·b＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④由a·b＝a·c(a≠0)可得b＝c.则正确的结论有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选B平面对量的数量积的运算满足交换律和支配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b＝a·c(a≠0)得a·(b－c)＝0，从而b－c＝0或a⊥(b－c)，故④错误．8．观看下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为()A．76 B．80C．86 D．92解析：选B通过观看可以发觉|x|＋|y|的值为1,2,3时，对应的(x，y)的不同整数解的个数为4,8,12，可推出当|x|＋|y|＝n时，对应的不同整数解(x，y)的个数为4n，所以|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为80.9．观看下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199解析：选C记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观看不难发觉f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.10．数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，则a2013等于()A.eq\f(1,2) B.－1C．2 D．3解析：选C∵a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，∴a2＝1－eq\f(1,a1)＝－1，a3＝1－eq\f(1,a2)＝2，a4＝1－eq\f(1,a3)＝eq\f(1,2)，a5＝1－eq\f(1,a4)＝－1，a6＝1－eq\f(1,a5)＝2，∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*)∴a2013＝a3＋3×670＝a3＝2.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．已知圆的方程是x2＋y2＝r2，则经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.类比上述性质，可以得到椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1类似的性质为________________．解析：圆的性质中，经过圆上一点M(x0，y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0，y0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1类似的性质为：过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.答案：经过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1上一点P(x0，y0)的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝112．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b均为实数)，请推想a＝________，b＝________.解析：由前面三个等式，推想归纳被平方数的整数与分数的关系，发觉规律，由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推想eq\r(6＋\f(a,b))中：a＝6，b＝62－1＝35，即a＝6，b＝35.答案：63513．若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn，总满足eq\f(1,n)[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，称函数f(x)为D上的凸函数；现已知f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数，则△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：由于f(x)＝sinx在(0，π)上是凸函数(小前提)，所以eq\f(1,3)(sinA＋sinB＋sinC)≤sineq\f(A＋B＋C,3)(结论)，即sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).因此，sinA＋sinB＋sinC的最大值是eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)14．观看下图：12343456745678910……则第________行的各数之和等于20132.解析：观看知，图中的第n行各数构成一个首项为n，公差为1，共2n－1项的等差数列，其各项和为Sn＝(2n－1)n＋eq\f(2n－12n－2,2)＝(2n－1)n＋(2n－1)(n－1)＝(2n－1)2，令(2n－1)2＝20132，得2n－1＝2013，解得n＝1007.答案：1007三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤．)15．(本小题满分12分)(本小题满分12分)观看①sin210°＋cos240°＋sin10°·cos40°＝eq\f(3,4)；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝eq\f(3,4).由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝eq\f(3,4).证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1＋cos60°＋2α,2)＋eq\f(1,2)[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)]＝1＋eq\f(cos60°＋2α－cos2α,2)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)[cos60°·cos2α－sin60°sin2α－cos2α]＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos2α＋\f(\r(3),2)sin2α))＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＋eq\f(1,2)sin(2α＋30°)＝eq\f(3,4)，即sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)＝eq\f(3,4).16．(本小题满分12分)(本小题满分12分)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列．(1)比较eq\r(\f(b,a))与eq\r(\f(c,b))的大小，并证明你的结论；(2)求证：角B不行能是钝角．解：(1)eq\r(\f(b,a))＜eq\r(\f(c,b)).证明如下：要证eq\r(\f(b,a))＜eq\r(\f(c,b))，只需证eq\f(b,a)＜eq\f(c,b).∵a，b，c＞0，∴只需证b2＜ac.∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差数列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))，∴b2≤ac.又a，b，c均不相等，∴b2＜ac.故所得大小关系正确．(2)证明：法一：假设角B是钝角，则cosB＜0.由余弦定理得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq\f(2ac－b2,2ac)＞eq\f(ac－b2,2ac)＞0，这与cosB＜0冲突，故假设不成立．所以角B不行能是钝角．法二：假设角B是钝角，则角B的对边b为最大边，即b＞a，b＞c，所以eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)＞0，eq\f(1,c)＞eq\f(1,b)＞0，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＞eq\f(1,b)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2,b)，这与eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(2,b)冲突，故假设不成立．所以角B不行能是钝角．17．(本小题满分12分)(本小题满分12分)我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？(1)类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义．(2)若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式．解：(1)假如一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积．(2)由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的全部奇数项都等于2，偶数项都等于3，因此{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n为奇数，,3，n为偶数.))其前n项和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5n,2)，n为偶数，,\f(5n－1,2)＋2＝\f(5n－1,2)，n为奇数.))18．(本小题满分14分)将数列{an}中的全部项按每一行比上一行多一项的规章排成如下数表：a1a2aa4a5a7a8a9…记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1.Sn为数列{bn}的前n项和，且满足eq\f(2bn,bnSn－S\o\al(2,n))＝1(n≥2)．(1)证明数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))成等差数列，并求数列{bn}的通项公式；(2)上面数表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的挨次均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝－eq\f(4,91)时，求上表中第k(k≥3)行全部项的和．解：(1)由已知，当n≥2时，eq\f(2bn,bnSn－S\o\al(2,