【创新设计】2022届-数学一轮(理科)苏教版-江苏专用-第五章-平面向量-热点训练-探究课3

(建议用时：70分钟)1．(2022·扬州调研)已知函数f(x)＝sinωx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))，其中x∈R，ω＞0.(1)当ω＝1时，求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))的值；(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上取得最大值时x的值．解(1)当ω＝1时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＋coseq\f(π,2)＝eq\f(\r(3),2)＋0＝eq\f(\r(3),2).(2)f(x)＝sinωx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＝sinωx＋eq\f(\r(3),2)cosωx－eq\f(1,2)sinωx＝eq\f(1,2)sinωx＋eq\f(\r(3),2)cosωx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,3)))，∵eq\f(2π,|ω|)＝π且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))得2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，∴当2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,12)时，f(x)max＝1.2．(2021·常州监测)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a，b)，q＝(sinB，sinA)，n＝(b－2，a－2)．(1)若p∥q，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若p⊥n，边长c＝2，∠C＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积．(1)证明∵p∥q，∴asinA＝bsinB，即a·eq\f(a,2R)＝b·eq\f(b,2R)(其中R是△ABC外接圆的半径)．∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)解由p⊥n得p·n＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.又c＝2，∠C＝eq\f(π,3)，∴4＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3)，即有4＝(a＋b)2－3ab.∴(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(ab＝－1舍去)．因此S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×4×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).3．(2021·苏、锡、常、镇四市调研)设函数f(x)＝6cos2x－2eq\r(3)sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(B)＝0且b＝2，cosA＝eq\f(4,5)，求a和sinC.解(1)f(x)＝6×eq\f(1＋cos2x,2)－eq\r(3)sin2x＝3cos2x－eq\r(3)sin2x＋3＝2eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋3.所以f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π，值域为[3－2eq\r(3)，3＋2eq\r(3)]．(2)由f(B)＝0，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2).∵B为锐角，∴eq\f(π,6)＜2B＋eq\f(π,6)＜eq\f(7π,6)，2B＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，∴B＝eq\f(π,3).∵cosA＝eq\f(4,5)，A∈(0，π)，∴sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(3,5).在△ABC中，由正弦定理得a＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(2×\f(3,5),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),5).∴sinC＝sin(π－A－B)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝eq\f(\r(3),2)cosA＋eq\f(1,2)sinA＝eq\f(3＋4\r(3),10).4．(2021·天津十二区县重点中学联考)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且3cosAcosC(tanAtanC－1)＝1.(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(5π,6)))的值；(2)若a＋c＝eq\f(3\r(3),2)，b＝eq\r(3)，求△ABC的面积．解(1)由3cosAcosC(tanAtanC－1)＝1得3cosAcosCeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinAsinC,cosAcosC)－1))＝1，∴3(sinAsinC－cosAcosC)＝1，∴cos(A＋C)＝－eq\f(1,3)，∴cosB＝eq\f(1,3)，又0＜B＜π，∴sinB＝eq\f(2\r(2),3)，∴sin2B＝2sinBcosB＝eq\f(4\r(2),9)，cos2B＝1－2sin2B＝－eq\f(7,9)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(5π,6)))＝sin2Bcoseq\f(5π,6)－cos2Bsineq\f(5π,6)＝eq\f(4\r(2),9)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)))·eq\f(1,2)＝eq\f(7－4\r(6),18).(2)由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(a＋c2－2ac－b2,2ac)＝eq\f(1,3)，又a＋c＝eq\f(3\r(3),2)，b＝eq\r(3)，∴ac＝eq\f(45,32)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(15\r(2),32).5．(2021·成都诊断)设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))＋2sin2eq\f(ωx,2)(ω＞0)，已知函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中b＜c)，且f(A)＝eq\f(3,2)，△ABC的面积为S＝6eq\r(3)，a＝2eq\r(7)，求b，c的值．解(1)f(x)＝eq\f(\r(3),2)sinωx＋eq\f(1,2)cosωx＋1－cosωx＝eq\f(\r(3),2)sinωx－eq\f(1,2)cosωx＋1＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋1.∵函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为π，∴函数f(x)的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋1.(2)由f(A)＝eq\f(3,2)，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).∵S＝eq\f(1,2)bcsinA＝6eq\r(3)，∴eq\f(1,2)bcsineq\f(π,3)＝6eq\r(3)，bc＝24，由余弦定理，得a2＝(2eq\r(7))2＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,3)＝b2＋c2－24.∴b2＋c2＝52，又∵b＜c，解得b＝4，c＝6.6．(2021·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))).将角α终边绕原点按逆时针方向旋转eq\f(π,4)，交单位圆于点B(x2，y2)．(1)若x1＝eq\f(3,5)，求x2；(2)过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝eq\f(4,3)S2，求tanα的值．解(1)由于x1＝eq\f(3,5)，y1＞0，所以y1＝eq\r(1－x\o\al(2,1))＝eq\f(4,5)，所以sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5)，所以x2＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)－sinαsineq\f(π,4)＝－eq\f(\r(2),10).(2)S1＝eq\f(1,2)sinαcosα＝eq\f(1,4)sin2α.由于α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，所以S2＝－eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\f(1,4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\