【2021导与练-高校信息化课堂】高三理科数学二轮复习-专项训练高考中档题训练(四)

高考中档题训练(四)1.(2022温州一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB+bcosA=0.(1)求角A的大小;(2)若a=QUOTE,b=1,求△ABC的面积.解:(1)由asinB+bcosA=0得sinAsinB+sinBcosA=0,tanA=-1,A=QUOTE.(2)由QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,sinB=QUOTE,B=QUOTE,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE×QUOTE×1×QUOTE=QUOTE.2.(2021江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a1,1a1,2a1,3a1,4…a2,1a2,2a2,3a2,4…a3,1a3,2a3,3a3,4…a4,1a4,2a4,3a4,4………………(1)求数列{an,2}的通项公式;(2)设bn=QUOTE+(-1)na1,n(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a2,3=qa1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)⇒q2解得d=1,q=2,所以a1,2=2,an,2=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a1,n=n,所以bn=QUOTE+(-1)nn,Sn=(QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE)+[-1+2-3+…+(-1)nn],记Tn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,则QUOTETn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,两式相减得,QUOTETn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=1-QUOTE,所以Tn=2-QUOTE,所以n为偶数时,Sn=QUOTE+2-QUOTE,n为奇数时,Sn=-QUOTE+2-QUOTE.3.(2021高考广东卷)如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=QUOTE,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=QUOTE.(1)证明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值.解:(1)由题意,易得OC=3,AC=3QUOTE,AD=2QUOTE.连接OD,OE.在△OCD中,由余弦定理可得OD=QUOTE=QUOTE.由翻折不变性可知A′D=2QUOTE,所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE,又OD∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)法一(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H,连接A′H,如图.由于A′O⊥平面BCDE,所以A′H⊥CD,所以∠A′HO为二面角A′CDB的平面角.结合OC=3,∠BCD=45°,得OH=QUOTE,从而A′H=QUOTE=QUOTE.所以cos∠A′HO=QUOTE=QUOTE,所以二面角A′CDB的平面角的余弦值为QUOTE.法二(向量法)以O点为原点,建立空间直角坐标系Oxyz,如图所示,则A′(0,0,QUOTE),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以QUOTE=(0,3,QUOTE),QUOTE=(-1,2,QUOTE).设n=(x,y,z)为平面A′CD的一个法向量,则QUOTE即QUOTE解得QUOTE令x=1,得n=(1,-1,QUOTE),即n=(1,-1,QUOTE)为平面A′CD的一个法向量.由(1)知QUOTE=(0,