中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题20 锐角三角函数（解析版）

专题20锐角三角函数中考命题解读中考命题解读1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.考标要求考标要求1、理解锐角三角函数的定义，并熟练记忆特殊角的三角函数值.

2、会用锐角三角函数值解决实际问题。考点精讲考点精讲考点1：锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．

锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.同理；；．考点2：特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°考点3：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.注意：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点4：解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，注意：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点5：解直角三角形的应用（1）坡度坡角在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：

(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.（2）仰角俯角问题仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.

（3）方位角问题方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.

(2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

注意：

1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.

2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.

3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.母题精讲母题精讲【典例1】（2022•柳州）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为m．【答案】50【解答】解：∵sinα＝，堤坝高BC＝30m，∴sinα＝＝＝，解得：AB＝50．故答案为：50．【典例2】（2022•连云港）如图，在6×6正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝．【答案】【解答】解：设每个小正方形的边长为a，作CD⊥AB于点D，由图可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案为：．【典例3】（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m【答案】A【解答】解：设AD＝x米，∵AB＝16米，∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD•tan45°＝x（米），在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x＝24﹣8，经检验：x＝24﹣8是原方程的根，∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米，故选：A．【典例4】（2022•河池）如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，∴AE＝CE•tan33°≈36×0.65≈23.4（m），∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），答：居民楼AB的高度约为59m．【典例5】（2022•郴州）如图是某水库大坝的横截面，坝高CD＝20m，背水坡BC的坡度为i1＝1：1．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为i2＝1：，求背水坡新起点A与原起点B之间的距离．（参考数据：≈1.41，≈1.73．结果精确到0.1m）【解答】解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度为i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度为i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起点A与原起点B之间的距离约为14.6米．【典例6】（2022•朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7）【解答】解：延长DF交AB于点G，由题意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，设AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝＝x（m），∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝4+4，经检验：x＝4+4是原方程的根，∴AB＝AG+BG≈12（m），∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m．真题精选真题精选命题点1锐角三角函数命题点1锐角三角函数1．（2021•天津）tan30°的值等于（）A． B． C．1 D．2【答案】A【解答】解：tan30°＝．故选：A．2．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．3．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（）A． B． C．60 D．80【答案】D【解答】解：∵AC＝100，sinA＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，故选：D．4．（2021•宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：法一、如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故选：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故选：B．5．（2021•玉林）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（）A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能【答案】A【解答】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故选：A．命题点2锐角三角函数的实际应用命题点2锐角三角函数的实际应用模型一：单个直角三角形8．（2021•福建）如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于（）A．2km B．3km C．km D．4km【答案】D【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4（km）．故选：D．9．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米【答案】A【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα＝＝，∴DC＝2cosα（米），∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．故选：A．模型二：背靠背型10.（2022•甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．【解答】解：由已知，得∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，CD＝90米，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A＝∠ECA＝30°，∠B＝∠FCB＝60°．在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，∴AD＝＝90×＝90（米）．在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，tanB＝，∴DB＝＝30（米）．∴AB＝AD+BD＝90+30＝120（米）．答：建筑物A、B间的距离为120米．11.（2021•镇江）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠EAB＝30°，AE∥BF，∴∠FBA＝30°，又∠FBC＝75°，∴∠ABD＝45°，又AB＝60（海里），∴AD＝BD＝30（海里），∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝75°，∠ABC＝45°，∴∠C＝60°，在Rt△ACD中，∠C＝60°，AD＝30（海里），则tanC＝，∴CD＝＝10（海里），∴BC＝（30+10）海里，故该船与B港口之间的距离CB的长为（30+10）海里．12.（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：则∠PCA＝∠PCB＝90°，由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，∴PC＝PA＝60海里，在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，∴PB＝＝＝60（海里），答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），∵3＞2，∴救助船B先到达．模型三：母子型13．（2022•济南）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为（）（精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m【答案】C【解答】解：由题意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°＝，∴BD＝≈（m），在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+）m，∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），解得：AB≈37m，答：该建筑物AB的高度约为37m．故选：C．14．（2022•平定县模拟）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕．北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量．图1，图2分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED与斜坡AB垂直，大腿EF与斜坡AB平行，G为头部，假设G，E，D三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离EM长为0.9m，该运动员大腿EF长为0.4m，且其上半身GF长为0.8m，∠EMD＝35°．（1）求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角∠GFE的度数；（2）求此刻运动员头部G到斜坡AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，）【解答】解：（1）连接GE，∵EF∥AB，ED⊥AB，G，E，D三点共线，∴∠GEF＝∠EDM＝90°，∵EF＝0.4m，GF＝0.8m，∴cos∠GFE＝＝，∴∠GFE＝60°；（2）由（1）得∠GFE＝60°，在Rt△GFE中，GE＝GF•sin∠GFE＝×＝≈0.69（m），在Rt△EDM中，∠EMD＝35°，EM＝0.9m，∴ED＝EM•sin∠EMD＝0.9×sin35°≈0.51（m），∴GD＝GE+ED≈0.69+0.51＝1.2（m），答：此刻运动员头部G到斜坡AB的高度约为1.2m．15．（2022•宜宾）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：≈1.7，≈1.4）【解答】解：由已知可得，tan∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，设BF＝7a米，AF＝24a米，∴（7a）2+（24a）2＝252，解得a＝1，∴AF＝24米，BF＝7米，∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，∴∠DAC＝∠ADC＝45°，∴AC＝DC，设DE＝x米，则DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，∵tan∠DBE＝＝，∴tan60°＝，解得x≈41，答：东楼的高度DE约为41米．模型三：母子型16．（2022•澄迈县模拟）如图，某教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶部A在地面上的影子F与墙角C的距离为18m（B、F、C在同一直线上）．求教学楼AB的高；（结果保留整数）（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，则四边形BCEG是矩形，∴BC＝EG，BG＝CE＝2m设教学楼AB的高为xm，∵∠AFB＝45°，∴∠FAB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴EG＝BC＝（x+1