中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题17 等腰三角形与直角三角形（解析版）

专题17等腰三角形与直角三角形中考命题解读中考命题解读纵观近几年全国各地的中考试题，三角形常出现的知识点有三角形的性质和概念，以及三角形的性质与断定．今后的命题趋势仍以考察以上知识点为主，以填空题和选择题为主要考察形式，结合勾股定理等。考标要求考标要求1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的有关概念，2.掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质，掌握一个三角形是等腰三角形、等边三角形、直角三角形的条件.3.掌握勾股定理，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.考点精讲考点精讲考点1：等腰三角形的性质与判定性质等腰三角形的两个底角度数相等等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定有两条边相等的三角形的等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a是底边常，hs是底边上的高考点2：等边三角形的性质与判定性质三条边相等三个内角相等，且每个内角都等于60°等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定三条边都相等的三角形是等边三角形三个角相等的三角形是等边三角形有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长，h是任意边上的高考点3：直角三角形的性质与判定性质两锐角之和等于90°斜边上的中线等于斜边的一半30°角所对的直角边等于斜边的一半若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则判定有一个角为90°的三角形时直角三角形有两个角的和时90°的三角形是直角三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足，那么这个三角形为直角三角形。面积公式，其中a是底边常，hs是底边上的高母题精讲母题精讲【典例1】（2022•桂林）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（）A． B．1+ C．2 D．2+【答案】D【解答】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴AE＝CD＝，∴△ABC的面积＝•BC•AE＝××（2+2）＝2+．故选：D．【典例2】（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．（1）求证：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂线，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，S△ABE＝＝＝22．【典例3】（2022春•丹江口市期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门的意思）一尺，不合二，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），求门槛AB的长．【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，即门槛AB的长为101寸．真题精选真题精选命题1命题1等腰三角形的性质1．（2022•梧州）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，∴∠ADC＝90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，故选：C．2．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝5，故选：C．3．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39° B．40° C．49° D．51°【答案】A【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．命题2命题2直角三角形的性质4．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（）A．34° B．44° C．124° D．134°【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠B+∠A＝90°，∵∠B＝56°，∴∠A＝90°﹣56°＝34°，故选：A．5．（2022•遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，则点B到OC的距离为（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解答】解：作BH⊥OC于H，∵∠AOB＝30°，∠A＝90°，∴OB＝2AB＝2，在Rt△OBC中，由勾股定理得，OC＝＝，∵∠CBO＝∠BHC＝90°，∴∠CBH＝∠BOC，∴cos∠BOC＝cos∠CBH，∴，∴，∴BH＝，故选：B．6．（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．60m C．60m D．120m【答案】B【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝120m，∴AC＝＝m．故选：B7．（2022•资阳）如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，