中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题07 分式方程及其应用（解析版）

专题07分式方程及其应用中考命题解读中考命题解读分式方程及其应用是中考的必考内容之一,一般着重考查解分式方程及列分式方程解应用题,并要求会用增根的意义解题,考题常以解答透折考纲题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.考标要求考标要求1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.考点精讲考点精讲考点1：分式方程的解法解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.考点3：分式方程应用列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审：即审题：根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系.（2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的代数式表示相关量.（3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程.（4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值.（5）验：即验根，要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义.（6）答：即写出答案，注意答案完整.母题精讲母题精讲【典例1】（2021秋•金山区期末）下列关于x的方程中，不是分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项符合题意；C、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意；D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项不符题意．故选：B．【典例2】（2022•内蒙古）某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为xkm/h，下列方程正确的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝20 C．﹣＝ D．﹣＝【答案】D【解答】解：∵骑车学生的速度为xkm/h，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，∴汽车的速度为2xkm/h．依题意得：﹣＝，即﹣＝．故选：D【典例3】（2022•西宁）解方程：﹣＝0．【解答】解：方程两边同乘以x（x+1）（x﹣1）得：4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．去括号得：4x﹣4﹣3x﹣3＝0，移项，合并同类项得：x＝7．检验：当x＝7时，x（x+1）（x﹣1）≠0，∴x＝7是原方程的根．∴x＝7．【典例4】（2022•贵港）为了加强学生的体育锻炼，某班计划购买部分绳子和实心球．已知每条绳子的价格比每个实心球的价格少23元，且84元购买绳子的数量与360元购买实心球的数量相同．（1）绳子和实心球的单价各是多少元？（2）如果本次购买的总费用为510元，且购买绳子的数量是实心球数量的3倍，那么购买绳子和实心球的数量各是多少？【解答】解：（1）设绳子的单价为x元，则实心球的单价为（x+23）元，根据题意，得，解得x＝7，经检验可知x＝7是所列分式方程的解，且满足实际意义，∴x+23＝30，答：绳子的单价为7元，实心球的单价为30元．（2）设购买实心球的数量为m个，则购买绳子的数量为3m条，根据题意，得7×3m+30m＝510，解得m＝10，∴3m＝30，答：购买绳子的数量为30条，购买实心球的数量为10个【典例5】（2022•聊城）为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？【解答】解：（1）设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网（1+20%）x米，由题意得：﹣＝10，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意．此时，60×（1+20%）＝72（米）．答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；（2）设以后每天改造管网还要增加m米，由题意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，解得：m≥36．答：以后每天改造管网至少还要增加36米．真题精选真题精选命题1命题1分式方程的解法1．（2022•营口）分式方程＝的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣6 C．x＝6 D．x＝﹣2【答案】C【解答】解：＝，方程两边都乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝2x，解得：x＝6，检验：当x＝6时，x（x﹣2）≠0，所以x＝6是原方程的解，即原方程的解是x＝6，故选：C．2．（2022•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣＝1的解是正数，则m的取值范围是（）A．m＞4 B．m＜4 C．m＞4且m≠5 D．m＜4且m≠1【答案】C【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，解得x＝m﹣4．∵x为正数，∴m﹣4＞0，解得m＞4，∵x≠1，∴m﹣4≠1，即m≠5，∴m的取值范围是m＞4且m≠5．故选：C．3．（2022•玉林）解方程：＝．【解答】解：方程两边同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，解得：x＝﹣1，检验，当x＝﹣1时，2（x﹣1）＝﹣4≠0，所以原分式方程的解为x＝﹣1．4．（2022•梧州）解方程：1﹣＝．【解答】解：去分母得：x﹣3+2＝4，解得：x＝5，当x＝5时，x﹣3≠0，∴x＝5是分式方程的根．命题2命题2分式方程的实际应用5．（2022•阜新）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝1.2 C．﹣＝20 D．﹣＝1.2【答案】A【解答】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，∴实际每天接种1.2x万人，又∵结果提前20天完成了这项工作，∴﹣＝20．故选：A．6．（2022•朝阳）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（）A．﹣＝ B．﹣＝ C．﹣＝30 D．﹣＝30【答案】A【解答】解：设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，根据题意可得：﹣＝．故选：A．7．（2022•丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程＝﹣30，则方程中x表示（）A．足球的单价 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．篮球的数量【答案】D【解答】解：设篮球的数量为x个，足球的数量是2x个．根据题意可得：＝﹣30，故选：D．8．（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为﹣＝3．【解答】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，∴乙车间每天加工1.5x件产品，又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，∴﹣＝3．故答案为：﹣＝3．9．（2022•贵阳）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货