中考数学总复习《圆的计算与证明》专项检测卷含答案

第页中考数学总复习《圆的计算与证明》专项检测卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、解答题1.（2024·广东深圳·统考中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．（1）求证：；（2）若，，求的半径．2.（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线，且（点C在A的上方）；②连接，交于点D；③连接，与交于点E．（1）求证：为的切线；（2）求的长度．3.（2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．（1）的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；（3）点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则（填“”或“”或“”）4.（2024·广东深圳·盐田区一模）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．5.（2024·广东深圳·福田区三模）如图1，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作交于点E，连接．（1）证明：．（2）如图2，过点D作的切线交的延长线于点F，若，且，求的长．6.（2024·广东深圳·33校联考二模）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，，求四边形的面积．7.（2024·广东深圳·33校联考一模）如图，是的外接圆，直径与交于点，点在的延长线上，连接，．（1）求证：是的切线；（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使成立，并说明理由；①；②；③；你选的条件是：______．8.（2024·广东深圳·南山区一模）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．9.（2024·广东深圳·宝安区二模）如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧，已知和遮阳棚杆子在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知长为．（1）求遮阳棚半径的长度．（2）如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点正下方E点的F点处有一株高为的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由．（3）如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子．10.（2024·广东深圳·宝安区三模）如图，是的外接圆，连接交于点．（1）求证：与互余；（2）若，，，求的半径．11.（2024·广东深圳·福田区二模）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：；（3）在（1）的条件下，，，求⊙O的半径．12.（2024·广东深圳·光明区二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接．（1）求证：是的切线：（2）若，求切线的长．13.（2024·广东深圳·33校三模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线．（1）求证：；（2）若，，求的半径．14.（2024·广东深圳·龙华区二模）如图，以为直径的⊙交于点D，，垂足为E．（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：______，使直线为⊙的切线，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若，，求⊙的半径．15.（2024·广东深圳·罗湖区二模）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，．（1）求证：；（2）若，求的半径．16.（2024·广东深圳·罗湖区三模）如图，是的直径，点在上；按下列步完成作图，并回答问题：①作的平分线交于点，②过点作直线的垂线，交的延长线于点，③连接，（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．17.（2024·广东深圳·南山区三模）如图，以等腰的腰为直径作，交底边于点D，过点D作，垂足为E．（1）求证：为的切线；（2）若，求的半径．18.（2024·广东深圳·南山区二模）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为3，求的长．19.（2024·广东深圳·九下期中）家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，电阻(单位：)随温度t(单位：)(在一定范围内)变化而变化，通电后该表记录了发热材料温度从上升到的过程中，发现电阻与温度有如下关系：（1）根据表中的数据，在图中描出实数对的对应点，猜测并确定与之间的函数解析式并画出其图象；（2）当时，与的函数解析式为．在图中画出该函数图象；（3）根据以上信息，家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内发热材料的电阻不超过？20.（2024·广东深圳·红岭中学模拟）如图，在中，，点是边上一点，以为直径的与边交于点，连接，．（1）求证：是的切线；（2）若，的直径为4，求的长．参考答案一、解答题1.（2024·广东深圳·统考中考真题）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点E．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：（1）连接并延长，交于点，连接，易证垂直平分，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；（2）由（1）可知，勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可．【小问1详解】证明：连接并延长，交于点，连接，∵，，∴垂直平分，∴，，∵为的切线，∴，∵为的直径，∴，∴四边形为矩形，∴；【小问2详解】由（1）知四边形为矩形，，，∴，∴，设的半径为，则：，在中，由勾股定理，得：，解得：；即：的半径为．2.（2023·广东深圳·统考中考真题）如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：①过点A作切线，且（点C在A的上方）；②连接，交于点D；③连接，与交于点E．（1）求证：为的切线；（2）求的长度．【答案】（1）画图见解析，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线；（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可．【小问1详解】如图所示，∵是的切线，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵点D在上，∴为的切线；【小问2详解】∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴解得．【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3.（2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．（1）的值为；（2）在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；（3）点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则（填“”或“”或“”）【答案】（1）（2）图见解析，和（3）或【解析】【分析】（1）把点代入即可求解．（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，进而可求解．【小问1详解】解：当时，，∴．【小问2详解】平移后的图象如图所示：由题意得：，解得，当时，，则交点坐标为：，当时，，则交点坐标为：，综上所述：与的交点坐标分别为和．【小问3详解】由平移后的二次函数可得：对称轴，，∴当时，随x的增大而减小，当时，随x的增大而增大，∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若，则，当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若，则，综上所述：点在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若，则或，故答案为：或．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．4.（2024·广东深圳·盐田区一模）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且．（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角函数的定义，熟练掌握各种性质是解题的关键．（1）连接，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明结论；（2）作于点，利用已知条件证明，利用比例式求出线段长．【小问1详解】证明：连接，是的直径，，，，，，，，即，直线是的切线；小问2详解】解：作于点，在中，，，，，，在中，，，，，，，，，，解得．5.（2024·广东深圳·福田区三模）如图1，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点C作交于点E，连接．（1）证明：．（2）如图2，过点D作的切线交的延长线于点F，若，且，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧与弦，圆心角，圆周角之间的关系，等腰直角三角的性质与判定，勾股定理等等：（1）由直径所对的圆周角是直角得到，由平行线的性质得到，证明，得到，再证明，即可证明；（2）如图所示，连接，先求出，则，进而得到，由平行线的性质得到，则可证明是等腰直角三角形，可得，则；∵是的切线，再证明，得到，则．【小问1详解】证明：设交于G，∵为的直径，∴，∵，∴，∴，∵点D为的中点，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴；【小问2详解】解：如图所示，连接，∵，∴，∴，∴，∵，∴，由（1）可得，∴，∴是等腰直角三角形，∵∵点D为的中点，∴，∴，∴；∵是的切线，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．6.（2024·广东深圳·33校联考二模）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，，求四边形的面积．【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）25．【解析】【分析】本题考查了菱形的性质与判定、等腰三角形的性质、解直角三角的相关计算、菱形的面积计算，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键．第一问，由等腰三角形三线合一，结合平行线的性质，可证，得到，推出四边形是平行四边形，再结合邻边相等，得证；第二问，由，得到和的比，再利用勾股定理得到和的长度，最后由菱形的面积公式得出答案．【小问1详解】四边形是菱形，理由如下，，平分，，，，，，，四边形是平行四边形，．，四边形是菱形．【小问2详解】，O是的中点，∴，∴，，，，，设,则，由得,，,即，四边形是菱形，，，．故答案为：25．7.（2024·广东深圳·33校联考一模）如图，是的外接圆，直径与交于点，点在的延长线上，连接，．（1）求证：是的切线；（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使成立，并说明理由；①；②；③；你选的条件是：______．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，理解并掌握相关图形的性质定理是解决问题的关键．（1）由直径所对圆周角为直角可知，结合圆周定理可知，由，可知，进而可知，即可证明结论；（2）若选②，由等弧所对圆周角相等可知，结合（1）证，由圆周角定理可知，证得，进而可得结论；若选③由同弧所对圆周角相等可知，结合，可知，得，同②，可证．【小问1详解】证明：∵是的直径，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，则，∴，∴是的切线；【小问2详解】若选②；∵，∴，由（1）可知：，∴，由圆周角定理可知，∴，∴；若选③；∵，∴，∵，∴，∴，同②，可知；8.（2024·广东深圳·南山区一模）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A相切于点G，求的值．【答案】（1）作图见解析（2）【解析】【分析】（1）先过点A作BD的垂线，进而找出半径，即可作出图形；（2）根据题意，作出图形，设，⊙A的半径为r，先判断出BE＝DE，进而得出四边形AEFG是正方形，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理建立方程求解，再判定，根据，，在Rt△ADE中，利用，得到，求解得到tan∠ADB的值为．【小问1详解】解：如图所示，⊙A即为所求作：【小问2详解】解：根据题意，作出图形如下：设，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又，∴四边形AEFG是正方形，∴，在Rt△AEB和Rt△DAB中，，，∴，在Rt△ABE中，，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴，AB＝CD，∴，又，∴，∴，∴，在Rt△ADE中，，即，∴，即，∵，∴，即tan∠ADB的值为．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了尺规作图，切线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，利用三角函数得出线段长建立方程是解决问题的关键．9.（2024·广东深圳·宝安区二模）如图（1）是某餐馆外的伸缩遮阳棚，其轮廓全部展开后可近似看成一个圆，即弧，已知和遮阳棚杆子在同一条直线上，且与地面垂直，当上午某一时刻太阳光从东边照射，光线与地面呈角时，光线恰好能照到杆子底部D点，已知长为．（1）求遮阳棚半径的长度．（2）如图（2）当下午某一时刻太阳光从西边照射，光线与地面呈角，在遮阳棚外，距离遮阳棚外檐C点正下方E点的F点处有一株高为的植物，请问植物顶端能否会被阳光照射？请说明理由．（3）如图（3）为扩大遮阳面积，餐馆更换了遮阳棚，新遮阳棚轮廓可近似看成抛物线的一部分，已知新遮阳棚上最高点仍为A点，且外檐点到的距离为、到的距离为．现需过遮阳棚上一点P为其搭设架子，架子由线段、线段两部分组成，其中与地面垂直，若要保证从遮阳棚上的任意一点P（不含A点）都能按照上述要求搭设架子，则至少需要准备______m的钢材搭设架子．【答案】（1）（2）植物顶端不能被太阳照射，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）解直角三角形，求得结果；（2）连接，延长交于，可证得，从而得出，，从而求得的值，进而得出，从而得出，进一步得出结果；（3）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，可求得抛物线的解析式为，从而可设设，从而表示出，进一步得出结果．【小问1详解】解：如图1，，，，，，，；【小问2详解】如图2，植物顶端不能被太阳照射，理由如下：连接，延长交于，与相切，，，，，，，，，，，植物顶端不能被太阳照射；【小问3详解】解：如图3，以所在直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，，，设抛物线的解析式为：，，，，设，，当时，有最大值为，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，圆的切线的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是理解题意，列出函数关系式．10.（2024·广东深圳·宝安区三模）如图，是的外接圆，连接交于点．（1）求证：与互余；（2）若，，，求的半径．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）延长交于点，连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，利用互余及圆周角定理代换即可得证；（2）由题中条件得到，利用相似比，代值求解得到即可确定答案．【小问1详解】证明：延长交于点，连接，如图所示：∵是的直径，∴，∴，∵，∴；【小问2详解】解：∵，，∴，∴，∵，，，∴，解得，∴．【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、互余、相似三角形的判定与性质、圆的性质等知识，熟练掌握圆的性质及三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．11.（2024·广东深圳·福田区二模）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作．（1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（2）在（1）的条件下，求证：；（3）在（1）的条件下，，，求⊙O的半径．【答案】（1）画图见解析（2）证明见解析（3）⊙O的半径为．【解析】【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解；（2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证．（3）由（2）得：，，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可.【小问1详解】解：方法不唯一，如图所示．.【小问2详解】∵，∴．又∵，∴，∴．∵点在以为直径的圆上，∴，∴．又∵为的切线，∴．∵，∴，∴，∴．∵在和中，∴．∴．【小问3详解】由（2）得：，∵，∴，设，∴，∵，∴，解得：，∴⊙O的半径为．【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．12.（2024·广东深圳·光明区二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接．（1）求证：是的切线：（2）若，求切线的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解；（2）由三角形的中位线得到，，在中，根据勾股定理，得到的长，，在中，根据正切三角函数，即可求解，【小问1详解】解：连接，13.（2024·广东深圳·33校三模）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且是的切线．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）的半径为2【解析】【分析】本题主要考查了圆的基本性质、圆周角、切线的性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．（1）连接，结合“直径所对的圆周角为直角”可得，即有，再结合切线的性质可得，进而可得，可证明，结合，易得，即可证明结论；（2）设，在中，根据勾股定理可得，代入数值并计算，即可获得答案．【小问1详解】证明：如图，连接，∵是的直径，∴，∴，∵是的切线，为半径，∴，∴，∴，∵，∴，∴；【小问2详解】解：设，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，解得，即的半径为2．∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的切线，∴，∴，∴是的切线，【小问2详解】解：∵，，∴，∴，在中，，，在中，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中位线，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键．14.（2024·广东深圳·龙华区二模）如图，以为直径的⊙交于点D，，垂足为E．（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：______，使直线为⊙的切线，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若，，求⊙的半径．【答案】（1）增加条件：，见解析（2）【解析】【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法，属于中考常考题型．（1）添加条件：（答案不唯一）．证明，推出即可；（2）解直角三角形分别求出，，再证明，得出，进而可得答案．【小问1详解】增加条件：．证明：连接，∵为的直径，，∵，，，∵，，，又∵，，即，∵为半径，为的切线；【小问2详解】在中，，，，∵，，∵，，，，，，又∵，，，，，即的半径为．15.（2024·广东深圳·罗湖区二模）如图，是的直径，弦于点E，点P在上，．（1）求证：；（2）若，求的半径．【答案】（1）证明见解析（2）9【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定：（1）根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可得，再由条件可得，然后可得；（2）设，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【小问1详解】证明：∵，，∴，∴；【小问2详解】解：如图所示，连接，设，则，在中：由勾股定理得，在中：由勾股定理得，∴，解得∴的半径为9．16.（2024·广东深圳·罗湖区三模）如图，是的直径，点在上；按下列步完成作图，并回答问题：①作的平分线交于点，②过点作直线的垂线，交的延长线于点，③连接，（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求的长．【答案】（1）作图见解析，证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取中点，作射线交于点，连接，由可得平分，延长交于格点，由中位线性质可知，取中点即可得到，由矩形对角线性质即可得到点，如图所示，按照要求作出图形后，连接，如图所示，由圆的性质、角平分线定义得到，再由平行线的判定确定，再由平行线性质即可得证；（2）过点作于，如图所示，在中，由勾股定理得到长，从而求出角度得到是等边三角形，由等腰三角形性质及勾股定理求解即可得到答案．【小问1详解】根据题意，如图所示：证明：连接，如图所示：，，平分角，，，，，，直线是的切线；【小问2详解】解：过点作于，如图所示：平分角，，，，，∴半径，在中，，，，，是等边三角形，又，，，在中，．【点睛】本题考查在网格中作图，涉及垂径定理、圆周角定理、三角形中位线性质、矩形性质、圆的性质、角平分线定义、平行线的判定与性质、圆的切线的判定、勾股定理、直角三角形性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识，根据题意，作出图形，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键．17.（2024·广东深圳·南山区三模）如图，以等腰的腰为直径作，交底边于点D，过点D作，垂足为E．（1）求证：为的切线；（2）若，求的半径．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的三线合一的性质，三角形的中位线定理，垂直的意义和平行线的性质，圆的切线的判定定理解答即可；（2）利用勾股定理求得线段的长度，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．【小问1详解】证明：连接，如图，∵为的直径，∴，∵，∴，∵，∴为的中位线，∴，∵，∴，∵为的半径，∴为的切线；【小问2详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．答：的半径为．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，三角形的中位线，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．18.（2024·广东深圳·南山区二模）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．（1）求证：是的切线；（2）若，的半径为3，求的长．【答案】（