中考数学总复习《三角函数》专项检测卷含答案

第第页中考数学总复习《三角函数》专项检测卷含答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．（2024·江苏南京·一模）如图所示是一种户外景观灯，它是由灯杆和灯管支架两部分构成，现测得灯管支架与灯杆的夹角，同学们想知道灯管支架的长度，借助相关仪器进行测量后结果如下表：测量项目测量数据从D处测得灯杆顶部B处仰角α从E处测得灯杆支架C处仰角β两次测量之间的水平距离灯杆的高度求灯管支架的长度．（参考数据：，，，）

2．（2024·江苏南京·一模）如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足．现有一架斜靠在墙上的梯子，为了能够安全使用，该梯子前后移动的最大距离为．使用这架梯子最高可以攀上多高的墙？（参考数据：，，，，，

3．（2024·江苏南京·一模）为测量某建筑物的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角为，沿着倾斜角为的斜坡前行到达D处，此时测得顶端C的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据：

4．（2024·江苏南京·一模）如图，一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作.无人机悬停在P处，测得前方水平地面上大树的顶端B的俯角为，同时还测得前方某建筑物的顶端D的俯角为．已知点A，B，C，D，P在同一平面内，大树的高度为，建筑物的高度为，大树与建筑物的距离为，求无人机在P处时离地面的高度（参考数据：，）．5．（2023·江苏南京·一模）利用无人机可以测量建筑物的高度．如图，一架无人机在M处悬停，测得建筑物顶端A的仰角为，底端B的俯角为.然后，在同一平面内，该无人机以的速度沿着与水平线夹角为方向斜向上匀速飞行，飞行至N处悬停，测得顶端A的仰角为，求建筑物的高度．（参考数据：）

6．（2023·江苏南京·一模）如图，甲楼AB和乙楼高度相等，甲楼顶部有一竖直广告牌．从乙楼顶部处测得的仰角为，从与点相距的处测得，的仰角分别为60°，．求广告牌的高度．（参考数据：，，）7．（2022·江苏南京·一模）如图是一个亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高AB所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上C点测得亭子顶端A的仰角为35°，此时地面上C点、亭檐上E点、亭顶上A点三点恰好共线，继续向亭子方向走8m到达点D时，又测得亭檐E点的仰角为60°，亭子的顶层横梁EF＝12m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．求亭子的高AB（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）8．（2022·江苏南京·一模）图①是一只消毒液喷雾瓶的实物图，其示意图如图②，，，，．求点到的距离．（参考数据：，，，．）9．（2022·江苏南京·一模）如图，为了测量小河对岸大树BC的高度，小明在点A处测得大树顶端B的仰角为37°，再从点A出发沿倾斜角为30°的斜坡AF走4m到达斜坡上点D，在此处测得树顶端B的仰角为26.7°．求大树BC的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan37°≈0.75，tan26.7°≈0.5，≈1.73.）10．（2022·江苏南京·二模）如图，山顶的正上方有一塔，为了测量塔的高度，在距山脚一定距离的处测得塔尖顶部的仰角，测得塔底部的仰角，然后沿方向前进到达处，此时测得塔尖仰角(，，三点在同一直线上)，求塔的高度．(参考数据：，）11．（2022·江苏南京·一模）图①是2022年北京冬季奥运会自由式滑雪大跳台和单板滑雪大跳台的比赛场馆，别名“雪飞天”．我们画出一个与它类似的示意图②，其中出发区EF、起跳区CD都与地面AB平行．助滑坡DE与着陆坡AC的长度之和为80m．已知EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍，∠A＝30°，M为CD延长线上一点，∠EDM＝37°．求EF到AB的距离．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．)12．（2022·江苏南京·一模）如图，AB是一条笔直的长为500m的滑雪坡道，某运动员从坡顶A滑出，沿直线滑向坡底B，她的滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）的部分对应值如下表．x01234…y04.51428.548…(1)用所学过的函数知识猜想y是x的什么函数，并求出y与x之间的函数表达式；(2)一架无人机在AB上空距水平地面292m的P处悬停，此时在A处测得无人机的仰角为53°．无人机和该运动员同时开始运动，无人机以6.3m/s的速度匀速水平飞行拍摄，离A处越来越远．已知无人机（看成一个点）与AB（看成一条线段）所确定的平面始终垂直于地面，AB与地面MN的夹角为26°．求该运动员滑行多久时，她恰在无人机的正下方．（参考数据：tan53°≈，sin26≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49．）13．（2022·江苏南京·一模）如图，某渔轮在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，测出该渔轮在海军舰艇的北偏东45°、距离为海里的C处，并测得该渔轮正沿南偏东53°的方向行进．海军舰艇立即沿北偏东67.4°的方向前去营救，与渔轮在B处相遇，求渔轮的航程BC和海军舰艇的航程AB．（参考数据：sin53°＝cos37°≈0.80，cos53°＝sin37°≈0.60，tan67.4°≈2.4）14．（2022·江苏南京·二模）如图，宝塔底座BC的高度为m米，小明在D处测得底座最高点C的仰角为，沿着DB方向前进n米到达测量点E处，测得宝塔顶端A的仰角为，求宝塔AB的高度（用含，，m，n的式子表示）．15．（2024·江苏南京·二模）如图，处的一艘货轮位于处的一艘护卫舰的北偏东方向，此时两船之间的距离为26海里．两船同时沿着正北方向航行，护卫舰航行40海里到达处，此时货轮到达处，测得货轮位于护卫舰的北偏东方向．求货轮航行的路程．（参考数据：，，，，，）16．（2024·江苏南京·二模）如图，为了测量大楼AB的高度，小明在点测得大楼顶端的仰角为，从点沿倾斜角为的斜坡走到点，再水平向左走达到点，在此处测得大楼顶端的仰角为，同时测得大楼底端的俯角为，求大楼AB的高度．(参考数据：，．)17．（2022·江苏南京·二模）如图，一条宽为的河的两岸，互相平行，河上有两座垂直于河岸的桥，．测得公路的长为，公路，与河岸的夹角分别为，，公路，与河岸的夹角分别为，．(1)求两座桥，之间的距离（精确到）；(2)比较路径①：和路径②：的长短，则较短路径为（填序号），两路径相差km（精确到）．（参考数据：，，，．）18．（2023·江苏南京·二模）学校无人机兴趣小组进行测量活动．如图，甲楼与乙楼之间的距离为72米．无人机升空后，在点处测得甲楼顶部与乙楼顶部的俯角分别为和，点距地面的高度为50米．无人机沿水平方向由点飞行40米到达点，测得点的俯角为（结果保留整数）．点均在同一竖直平面内．求乙楼的高度．（参考数据：，，．）

19．（2023·江苏南京·二模）规定：，．据此(1)判断下列等式成立的是（填序号）．；；．(2)利用上面的规定求；．20．（2023·江苏南京·二模）如图，避风港在岛礁正东方向上．一艘渔船正以40海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在北偏东方向上，继续航行1.8小时后到达处时测得岛礁在北偏东方向，避风港在北偏东方向上．求此时渔船离避风港的距离．（参考数据：，）

21．（2023·江苏南京·二模）如图，一艘潜艇在海面下沿水平方向保持同一深度航行，其潜望镜的最高点距海面．潜艇水手在航程为（即）的两个位置分别透过潜望镜观测正前方岸上凸起的崖壁，测量到入射光线的，与海面的夹角分别是，折射光线，与海面的夹角分别是．求崖壁到海面的距离．（说明：图中点，，，，在同一平面内，参考数据：，，．）

22．（2022·江苏南京·二模）如图①，某儿童医院门诊大厅收费处正上方的“蜘蛛侠”雕塑有效缓解了就医小朋友的紧张情绪．为了测量图②中“蜘蛛侠”BE的长度，小莉在地面上F处测得B处、E处的仰角分别为37°、56.31°．已知，F到收费处OA的水平距离FC约为16m，且F与BE确定的平面与地面垂直．求“蜘蛛侠”BE的长度．（参考数据：，，，）参考答案1．【分析】本题考查的知识点是解直角三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握解直角三角形的相关知识；作，垂足为，延长，作，垂足为，设，利用解三角形可得：，，再利用列方程求解．【详解】解：作，垂足为，延长，作，垂足为．

∵，∴．设，则在中，，．在中，，由题意得，∵，∴，在中，，，解得；答：灯管支架的长度是．2．使用这架梯子最高可以攀上高约为的墙【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题意可得：，，设，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．【详解】解：由题意得：，，设米，在中，，，在中，，，，，解得：，，在中，，使用这架梯子最高可以攀上高约为的墙．3．建筑物的高度约为【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再设，则，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，

由题意得：，在中，，，，，设，，在中，，，在中，，，，，解得：，，∴建筑物的高度约为．4．无人机在处时离地面的高度【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，过点作，过点作，过点作，得，，，，设，则，，利用锐角三角函数的定义表示出，的长，最后列出关于x的方程进行计算，即可解答．【详解】解：过点作，过点作，过点作，则四边形，四边形均为矩形，∴，，，，由题意可知，，，设，则，，在中，，在中，，则，解得：，即：无人机在处时离地面的高度．5．【分析】过点N作，垂足为C，过点M作，垂足为D，过点N作，垂足为E，可得四边形是矩形，利用锐角三角函数依次解、、、，即可求出建筑物的高度．【详解】解:如图，过点N作，垂足为C，过点M作，垂足为D，过点N作，垂足为E，可知，可得四边形是矩形，从而，．

在中，，，∵，，∴，．设，则，在中，，∵，∴．在中，，∵，∴．又∵，∴，∴．∴．在中，，，∴，∴．∵，∴．∴建筑物的高是．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过添加辅助线构造直角三角形．6．广告牌的高度约为米【分析】依题意，，设，在，中分别表示出，则，进而在中，，建立方程，解方程即可求解．【详解】解：依题意，，设，在中，，在中，，∵，∴，∴，在中，，∵，即，解得：，答：广告牌的高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．7．亭子的高AB约为【分析】根据题意得到AG⊥EF，在Rt△AGE中，EG＝EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，根据三角函数的定义求出AG，再过E作EH⊥CB于H，设EH＝x，在Rt△EDH中，由三角函数的定义得到DH＝，在Rt△ECH中，由三角函数的定义得到CH＝，由CH﹣DH＝CD＝8，可求得x，即可求得AB．【详解】∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，∴AG⊥EF，，∠AEG＝∠ACB＝35°，在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6，∴AG≈6×0.7＝4.2（m），过E作EH⊥CB于H，则可得四边形BGEH是矩形，∴BG=EH．设EH＝BG=x，在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，∵tan∠EDH＝，∴DH＝，在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，∵tan∠ECH＝，∴CH＝，∵CH﹣DH＝CD＝8m，∴﹣＝8，解得：x≈9.52，∴AB＝AG+BG＝13.72≈13.7(m），答：亭子的高AB约为13.7m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．8．点A到CD的距离越为6.002cm【分析】如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥AE于F，过点C作CG⊥BF于G，则四边形CEFG是矩形，然后求出∠BAE的度数，从而求出∠CBG的度数，最后解直角三角形即可【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥AE于F，过点C作CG⊥BF于G，则四边形CEFG是矩形，∴EF=CG，∠AFB=∠BGC=∠AEC=90°，∵∠ABC=85°，∠BCD=120°，∴∠BAE=360°-∠ABC-∠BCD-∠AEC=65°，∴∠ABF=90°-∠BAF=25°，∴∠CBG=∠ABC-∠ABF=60°，在Rt△ABF中，，在Rt△BCG中，，∴，∴，∴点A到CD的距离越为6.002cm．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质与判定，四边形内角和定理，直角三角形两锐角互余，点到直线的距离等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．9．11.2m【分析】过点D分别作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H．根据三角函数求出DG＝AD·sin30°＝2．AG＝AD·cos30°＝2．在Rt△ABC中，利用锐角正切三角函数求出BC＝tan37°·AC．，然后列方程BC－2＝tan26.7°(AC＋2)．代入数据计算即可．【详解】解：如图，过点D分别作DG⊥AC，DH⊥BC，垂足分别为G，H．∴∠DGC=∠DHC=∠HCG=90°，∴四边形DGCH为矩形，∴DG=CH，DH=CG，在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，AD=4m，∵sin30°＝，cos30°＝，

∴DG＝AD·sin30°＝2．AG＝AD·cos30°＝2．在Rt△ABC中，∵tan37°＝，∴BC＝tan37°·AC．在Rt△BDH中，∵tan26.7°＝，∴∴BC－2＝tan26.7°(AC＋2)．∴tan37°·AC－2＝tan26.7°(AC＋2)．即0.75AC－2≈0.5(AC＋2)．∴AC＝4＋8．∴BC＝0.75×(4＋8)＝3＋6≈11.2m．答：大树BC的高度为11.2m．【点睛】本题考查解直角三角形，矩形判定与性质，熟练掌握锐角三角函数定义，以及矩形的判定方法与性质是解题关键．10．塔的高度为【分析】延长交于点，则，在和中，根据锐角三角函数的概念，得到，，借助构造方程关系式，求出，在中，根据锐角三角函数的概念，得出的长，然后依据，算出塔高的长进而得解．【详解】如图，延长交于点，则．在中，，∵，∴．在中，，∵，∴．∵，,,∴．∴．∴．在中，，∵，∴．∴．∴塔的高度为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用和仰角的概念，熟练掌握锐角三角函数和仰角的概念是解本题的关键．11．EF到AB的距离为45米【分析】过点C作，交AB于点G，设AC的长度为x米，则DE的长度为（80-x）米，根据直角三角形的性质得，根据三角函数得，根据EF到AB的距离是CD到AB的距离的3倍得，解得，即AC=10，则，即可得．【详解】解：如图所示，过点C作，交AB于点G，设AC的长度为x米，则DE的长度为（80-x）米，由题意得，，，则，x=30，∴AC=30，∴，∴EF到AB的距离为：（米）．【点睛】本题考查了三角函数，直角三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握三角函数和直角三角形的性质．12．(1)函数的解析式为y=2.5x2+2x；(2)该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方．【分析】（1）观察表格中的数据，y应该是x的二次函数，利用待定系数法求解即可；（2）作出如图的辅助线，设运动员滑行了ts，恰好在无人机的正下方，则AC=2.5t2+2t，利用三角函数分别用t表示出PE、AE的长，在Rt△APE中，利用正切函数列出方程，解方程即可求解．【详解】（1）解：观察表格中的数据，y应该是x的二次函数，且经过原点(0，0)，设此函数的解析式为，把(1，4.5)，(2，14)，代入得，解得，∴函数的解析式为y=2.5x2+2x，当x=3时，y=2.5x2+2x=28.5，当x=4时，y=2.5x2+2x=48，∴函数的解析式y=2.5x2+2x符合题意；（2）解：设运动员滑行了ts，恰好在无人机的正下方，此时运动员滑行了(2.5t2+2t)m，无人机飞行了6.3tm到达点P1，过点P1作P1D⊥MN交AB于点C，此时运动员滑行到达点C，BC=AB-AC=500-(2.5t2+2t)，过点A作AF⊥MN于点F，过点A作AG⊥P1D于点G，过点P作PE⊥AG于点E，∴四边形AFDG和四边形PEGP1都是矩形，∵AB=500，∠ABF=26°，∴AF=GD=AB•sin26°220(m)，∠GAC=∠ABF=26°，∵无人机在AB上空距地面292m的P处悬停，∴PE=P1G=292-AF=72(m)，∴AG=AC•cos26°2.25t2+1.8t，∴AE=AG-EG=2.25t2+1.8t-6.3t=2.25t2-4.5t，在Rt△APE中，∵tan53°=，∴3×72=4(2.25t2-4.5t)，整理得：t2-2t-24=0，解得：t1=6，t2=-4(舍去)，∴该运动员滑行6s时，她恰在无人机的正下方．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解直角三角形的应用，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．13．BC=10海里，AB=26海里；【分析】设BC=x海里，解Rt△ADC，Rt△COB求得边AE和BE的表达式，根据∠ABE的正切值列方程求得x，最后由勾股定理求得AB的长；【详解】解：分别过A、B、C延长方向线，交点如图所示设BC=x海里，Rt△ADC中，AC=海里，∠DAC=45°，则CD=AD=16海里，Rt△COB中，∠OCB=53°，则，OC=xcos53°，OB=xsin53°，Rt△AEB中，∠ABE=∠DAB=67.4°，AE=AF+EF=DC+OB=16+xsin53°（海里），BE=AD-OC=16-xcos53°（海里），∴16+xsin53°=（16-xcos53°）tan67.4°，16+0.8x=（16-0.6x）×2.4，解得：x=10，∴AE=16+8=24海里，BE=16-6=10海里，AB==26海里，∴BC=10海里，AB=26海里；【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，方位角的概念，掌握三角函数的定义是是解题关键．14．【分析】设，在中，根据直角三角形正切值即可，同理在中即可求解．【详解】解：设，在中，，，，，，解得，，在中，，，，，．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握直角三角形的锐角三角函数求解．15．货轮航行的路程为23.5海里【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，由题意得：，，在中，海里，，（海里），（海里），海里，在中，，（海里），海里，（海里），货轮航行的路程约为23.5海里．16．大楼AB的高度为．【分析】本题考查了解直角三角形的应用；延长DE交AB于点，过点作，垂足为．设为．解，，进而根据，建立方程，解方程，即可求解．【详解】解：延长DE交AB于点，过点作，垂足为．设为．在中，，．在中，．

．在中，，．在中，．

，即．

，解得x=2．

答：大楼AB的高度为．17．(1)两座桥，之间的距离约为(2)①，0.5【分析】（1）过点A作，垂足为G，在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算可求出的长，即可解答；（2）过点B作，垂足为Q，根据题意得：，根据三角形的外角可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再在中，利用勾股定理求出的长，最后分别计算出路径①和路径②的长，即可解答．【详解】（1）解：过点A作，垂足为G，在中，，，∴，，在中，，∴，∴，∴两座桥，之间的距离约为；（2）解：过点B作，垂足为Q，由题意得：，∵是的一个外角，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，在中，，∴路径①的长，路径②的长，，∴较短路径为：①，两路径相差，故答案为：①，0.5．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18．29米【分析】延长，分别交所在直线于点．过点作，垂足为点，设为米，在中，，由可得，在中，，由可得，由可求出的值，最后根据矩形的性质和解直角三角形即可得到答案．【详解】解：延长，分别交所在直线于点．过点作，垂足为点，设为米，

在中，，∵，∴，在中，，∵，∴，∵，∴，解得，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，在中，，∵，∴，∵四边形MHDF是矩形，∴，∴．答：乙楼的高度为29米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—俯角仰角问题，掌握俯角仰角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．19．(1)；(2)；．【分析】（）根据