数学-2025年1月广西高三调研考全科试卷和答案（12地级市）

2025年1月广西高三调研考试卷数学参考答案1.C【解析】本题考查集合的交集,考查数学运算的核心素养.因为A={1,2,3,4},B={父|父≥2},所以A∩B={2,3,4}.2.C【解析】本题考查复数的四则运算与实部,考查数学运算的核心素养.3.D【解析】本题考查平面向量的垂直与夹角公式,考查数学运算的核心素养.由丄a,得.a=a2—3a.b=0,即a.b=,所以c0s 224.A【解析】本题考查三角恒等变换,考查数学运算的核心素养.因为c0s2α=1—2sin2α=1—,所以tan2β=5.B【解析】本题考查圆台体积的实际应用,考查直观想象的核心素养与应用意识.当杯子盛满水时,设杯内水的高度为hcm,则杯子的容积为h(32十3×6十62)=21hπ=252π,解得h=12,所以该杯子的高度为12十1=13cm.6.D【解析】本题考查对数函数与导数的综合,考查逻辑推理的核心素养.0<c<a=l0g32<1,b=l0g0.253=—l0g43∈(—1,0).fI(父)=3父2—3,当父∈(—1,1)时,fI(父)<0,f(父)单调递减,因为—1<b<c<a<1,所以f(a)<f(c)<f(b).7.A【解析】本题考查三角函数图象的变换与三角函数的性质,考查逻辑推理的核心素养.依题意可得=sin因为曲线y=g(父)关于直线父对称,所以 十=kπ十,解得w=—6k—2.又w>0,所以w的最小值为4,所以g(父)的最小正周期的最大值为【高三数学●参考答案第18.D【解析】本题考查指数函数、分段函数与零点的综合,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.当父≤1时,f(父)=3父十1∈(1,4],且f(父)单调递增.当父>1时,f(父)=2|(父—3)2—1|.作出f(父)的大致图象,如图所示.令g(父)=f(父)—m=0,得f(父)=m,因为g(父)=f(父)—m零点的个数为3或4,所以直线y=m与f(父)的图象有3个或4个交点,由图可知,m的取值范围是(0,1]u[2,4].YAO13z4-29.AC【解析】本题考查点、直线与圆的位置关系,考查逻辑推理与直观想象的核心素养.4-2因为3(4m十3)十4(—3m—4)=—7,所以点P在直线3父十4y十7=0上,A正确.因为圆C的圆心C(1,0)到直线3父十4y十7=0的距离=2>1,所以直线3父十4y十7=0与圆C相离,B错误.|PQ|的最小值为d—1=1,则圆C上只有1个点与点P的距离为1,C正确,D错误.10.ABC【解析】本题考查二项分布、正态分布与统计,考查数据处理能力与逻辑推理的核心素养.若随机变量X~B(10,0.2),则D(X)=10×0.2×(1—0.2)=1.6,A正确.若随机变量X~N(1,4),则P(X<0)=P(X>2),B正确.若父1,父2,父3,父4,父5分别为1,2,3,4,5,这组数据的中位数为3,极差为4,则父1十1,父2十1,父3—1,父4十1,父5十1分别为2,3,2,5,6,这组数据的中位数为3,极差为4,C正确,D错误.11.ABD【解析】本题考查函数、不等式与导数的综合,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为f(—父)=f(父)(父∈R),所以f(父)为偶函数,A正确.f=父2十2=错误=2父—,则fI=—2,B正确.设函数g(父)=e父ln父,则gI(父)=e(1十父ln父),易证g(父)在(0,上单调递减,在上单调递增,则g(父)min=g=—1,又f=父2十,所以f十e父ln父≥2\—1>2×1.4—1=1.8,D正确.12.2【解析】本题考查双曲线的性质,考查数学运算的核心素养.依题意可得7十9=m十m十8,解得m=4,则N的离心率为13.(或150。)【解析】本题考查解三角形,考查数学运算的核心素养.由asinA十bsinB=CsinC—\bsinA及正弦定理,得a2十b2=C2—\ab,则c0sC=【高三数学●参考答案第214.240;【解析】本题考查五进制、古典概型与计数原理,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.若由数字1,2,3,4组成的五位五进制数,要求1,2,3,4每个数字都要出现,则需要先从1,2,3,4这4个数字中选取1个数字作为重复出现的数字,再将不重复出现的3个数字从5个位置中选3个进行排列,最后剩余2个位置排重复数字,故所求不同的五位五进制数共有CA=240个.数字2,3,4组成的三位五进制数总共有33=27个.设这个三位五进制数从左到右的数字分别为a,b,c,转化成十进制后此数为52a十5b十c=25a十5b十c=24a十3b十(a十2b十c),此数能被3整除等价于a十2b十c能被3整除.因为a十2b十c∈[8,16],所以能被3整除的只有9,12,15三种情况.若a十2b十c=9,则(a,b,c)的取值有(2,2,3),(3,2,2)这2种;若a十2b十c=12,则(a,b,c)的取值有(2,4,2),(2,3,4),(4,3,2),(3,3,3),(4,2,4)这5种;若a十2b十c=15,则(a,b,c)的取值有(4,4,3),(3,4,4)这2种.故能被3整除的数共有2十5十2=9个,所求概率为91273. 273.15.解:(1)设甲生产线的A,B,C流程优秀分别记为事件E,F,G,甲生产线的三个流程中至少有一个优秀为事件H,则P(E)=P(F)=0.9,P(G)=0.8,则P(H)=1P(EFG)=1P(E)P(F)P(G)=1(10.9)2×(10.8)=0.998.………………5分(2)E(X1)十E(Y1)十E(Z1)=0.9×30十(1—0.9)×0十0.9×40十(1—0.9)×0十0.8×50十(1—0.8)×0=103,………………………8分E(X2)十E(Y2)十E(Z2)=0.8×30十(1—0.8)×0十0.85×40十(1—0.85)×0十0.92×50十(1—0.92)×0=104,……………………11分因为104>103,所以乙生产线更优秀.……………………13分评分细则:【1】第(1)问中,直接得出所求概率为1—(1—0.9)2×(1—0.8)=0.998,不扣分.【2】第(2)问中,也可以这样表述:E(X1)十E(Y1)十E(Z1)=0.9×30十0.9×40十0.8×50=103,………8分E(X2)十E(Y2)十E(Z2)=0.8×30十0.85×40十0.92×50=104,………………11分因为104>103,所以乙生产线更优秀.……………………13分16.解:(1)因为抛物线M:父2=4Y的焦点F的坐标为(0,1),………………1分 所以\/a2—b2=1,即a2—b2=1,…………2分又N的短轴长为2b=4,所以b=2,………3分所以a2=1十b2=5,…………4分【高三数学●参考答案第3故N的方程为十=1.…………………5分(2)依题意得l的方程为y=父十1.………6分………7分设,则Δ=82十36×16>0,父1十父2=—,父1父2=—,………8分2=\×=.……10分设线段AB的中点为,则父0=,y0=父0十1=,…………11分所以线段AB的中垂线方程为,……12分令y=0,得父=,则点E的坐标为,0).……………13分因为点E到直线l的距离所以△ABE的面积为|AB|d=.………………15分评分细则: 【2】第(2)问中,计算△ABE的面积时,也可以由|AB|●|DE|=×,得到最后的结果,所以解析过程中可以不求点E到直线l的距离.P17.(1)证明:取PA的中点M,连接ME,MF,则ME纟AD,PEM……………1分EMCDFA因为底面ABCD是菱形,F为BC的中点,所以CF纟AD,CDFAy……………2分所以ME纟FC,则四边形MECF是平行四边形,所以CEⅡMF.………3分又因为CE丈平面PAF,MFG平面PAF,所以CEⅡ平面PAF.………5分(2)解:取AD的中点H,连接PH,BH,因为PA=PD,所以PH丄AD,……………6分因为平面PAD丄平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PH丄平面ABCD.……………7分第4页(共7页)】因为底面ABCD是菱形,上DAB=所以△ABD为正三角形,所以BH丄AD.………………8分以H为坐标原点,HA,HB,HP所在直线分别为父,y,义轴建立如图所示的空间直角坐标系,设PH=a(a>0),则A(1,0,0),P(0,0,a),B(0,\,0),F(—1,\,0),…………9分→→→AF=(—2,\3,0),AP=(—1,0,a),PB=(0,\→→→设平面PAF的法向量为,则0,………………11分令父=\a,则y=2a,义=\,则n=(\a,2a,\).……12分设直线PB与平面PAF所成的角为θ,则sinθ=|c0s,……13分解得a2=1或.…………14分故PB=\.……………15分评分细则:【1】第(1)问中,未写“CE丈平面PAF,MFG平面PAF”,扣1分.【2】第(2)问中,证明“PH丄平面ABCD”时,未写“平面PAD∩平面ABCD=AD”,扣1分.18.(1)证明:因为f(—父)=e—父2十1—a父=e1—a父=2—e父1—a父,…1分所以f(—父)十f(父)=2,则曲线y=f(父)关于点(0,1)对称.…………2分(2)①解:因为f(父)为增函数,所以fI十a≥0恒成立,…3分十2≤22=,………………4分当且仅当父=0时,等号成立,则的最大值为,………………5分所以a≥,即a的取值范围是,十∞).………………6分②证明:gI(父)=a父十2—e1=e父1十a父=f(父),所以gI(父)为增函数.…………7分4a,因为<2,4a≥2,所以gI<0,……8分又gI(0)=1>0,所以gI(父)在(—4,0)上存在唯一的零点父0.…………9分当父<父0时,gI(父)<0,g(父)单调递减,当父>父0时,gI(父)>0,g(父)单调递增,………………10分【高三数学●参考答案第5所以g(父)存在唯一的极值点,且该极值点为极小值点.………………11分③解:由(1)知,曲线y=f(父)关于点(0,1)对称,所以h(父)=f(父)—1为奇函数,………………12分由f(—父e父)十f(m—2e父)<2,得f(—父e父)—1十f(m—2e父)—1<0,所以h(—父e父)十h(m—2e父)<0,……………13分即h(m—2e父)<—h(—父e父)=h(父e父).…………………14分因为f(父)为增函数,所以h(父)=f(父)—1为增函数,所以m—2e父<父e父,…………15分即m<(父十2)e父,设函数p(父)=(父十2)e父,则pI(父)=(父十3)e父.当父<—3时,pI(父)<0,p(父)单调递减,当父>—3时,pI(父)>0,p(父)单调递增.………………16分故min=p的取值范围为.…17分评分细则:222e父222e父十所以曲线y=f(父)关于点(0,1)对称.【2】第(2)问中,若a的取值范围写为a≥,m的取值范围写为m<—,均不扣分.【3】第(2)问中,可以从(—∞,—4]中任取一个实数t,均可得到gI(t)<0.19.(1)解:因为数列{bn}是(—2,3,—4)和比等差数列,所以{bn—2×3n}是公差为—4的等差数列,…………………………1分又b1=1,所以b1—2×3=—5,所以bn—2×3n=—5—4(n—1),………2分则bn=2×3n—4n—1.………………………3分(2)①解:因为a1=s1=2a1十1,所以a1=—1.…………4分当n≥2时,an=sn—sn—1=2an—2an—1十2n—1,即an=2an—1—2n十1.……