广西桂林市、来宾市2024届高三下学期第三次联合模拟考试（三模）数学试卷

广西桂林市、来宾市2024届高三下学期第三次联合模拟考试（三模）数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={−2,−1,3,A．{−1} B．{3}C．{−2,−1} 2．已知1+zi=3i，则z=（）A．3+i B．3−i C．−3+i D．1−3i3．若(x−1)3+(x−1)A．18 B．-18 C．12 D．-124．具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi,yi)（xiA．40 B．32 C．8 D．12.85．某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（）A．45种 B．90种 C．180种 D．270种6．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑P−ABC中，PB⊥平面ABC，BC⊥CA，且PB=BC=CA=2，M为PA的中点，则异面直线BM与AC所成角的余弦值为（）A．23 B．34 C．337．已知椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点AA．12 B．32 C．−78．已知函数f(x)=cosA．(14,12] B．[二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．在△ABC中，sinC2=12A．cosC=12C．△ABC的面积为52 D．△ABC外接圆的直径是10．某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第k站参观甲地的景点”为事件Ak，k=1A．P(A6)=C．P(A1+11．如图，已知圆锥PO的底面半径为3，高为6，AB为底面圆的直径，点C为底面圆周上的动点，则（）A．当C为弧AB的三等分点时，△PAC的面积等于934B．该圆锥可以放入表面积为14π的球内C．边长为54D．该圆锥可以放入边长为22三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．抛物线C：y2=−2px(p>0)经过点P(−1,2)，则点P到13．在中国传统文化中，“九”被视为至尊之数，象征长寿、福气和完美，若直线l与圆C相切，直线l在两坐标轴上的截距均为9，圆C的半径为9，点C到x轴的距离为9，则圆C的一个方程为．14．若xk−exex≥2(k四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15．年菜一词指旧俗过年时所备的菜肴，也就是俗称的“年夜饭”，为了了解消费者对年菜开支的接受区间，某媒体统计了1000名消费者对年菜开支接受情况，经统计这1000名消费者对年菜开支接受区间都在[0,14]内（单位：百元），按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，参考数据：若X~N(μ,σ2（1）根据频率分布直方图求出这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%（2）根据频率分布直方图可认为消费者对年菜开支接受价格X近似服从正态分布N(μ,3.16．已知数列{an}的前n项和为S（1）求数列{a（2）设bn=nan，且数列{bn}的前n项和为T17．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=1，三棱锥A1（1）求证：平面ACD⊥平面A1（2）求直线CD与平面A118．双曲线C：x24−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1且倾斜角为60°的直线为l（1）求C的方程；（2）若过点F2的直线l与C的左、右两支分别交于M,N两点（点M,N不在x轴上），判断是否存在实数k19．已知f(x)=(x−1−a)e（1）讨论f(x)的单调性；（2）若a>0且f(x)有2个极值点x1，x2(

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：因为A={−2,−1,3,故答案为：B．【分析】先求解集合B，再利用交集运算求解即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：因为1+zi=3i，所以z=−1+3i故答案为：A．【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：由题意可知，(x−1)3展开式的通项Tr+1=所以(x−1)3展开式中x(x−1)6展开式的通项Tr+1=所以(x−1)6展开式中x所以a2故答案为：C．【分析】利用二项展开式的通项分别求出(x−1)3和(4．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得，x=因为点(x,y所以i=15故答案为：A【分析】由题意求出x，将中心(x5．【答案】B【解析】【解答】解：先将6名同学平均分成3组，有C6再将3名老师分成3组，有A3所以共有15×6=90种分法.故答案为：B【分析】根据平均分组分配问题即可求解.6．【答案】C【解析】【解答】解：取PC的中点N，连接MN、BN，如图所示：∵M、N分别为PA、PC的中点，则MN∥CA且MN=1∴异面直线BM与AC所成的角为∠BMN或其补角．∵PB⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PB⊥BC，PC=P∴BN=12PC=2，同理可得BM=∴BN⊥MN，则cos∠BMN=故答案为：C．【分析】如图取PC的中点N，可得MN∥CA，即异面直线BM与AC所成的角为∠BMN，然后利用PB⊥平面ABC，可得两直角三角形的斜边中线长，从而得到求解.7．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可知：c=a2−设A(x1,y1因为AF=2FB，可得y1将A,B代入方程可得(3−2x可知B点的横坐标为x2故答案为：D．

【分析】由题意可知：F(1,0)，设A(x1,8．【答案】D【解析】【解答】解：依题意，f(当x∈(0,2π)时，3ωx∈则π<6ωπ≤2π，所以16故答案为：D【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式化简函数f(9．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：对于A，cosC=1−2对于B，由A选项知cosC=由余弦定理得AB2=B对于C，由于在△ABC中，C∈(0,π)，故sinC>0所以S△ABC对于D，设△ABC外接圆半径为R，则由正弦定理得2R=AB故答案为：ABD.【分析】根据二倍角余弦公式计算判断A，根据余弦定理求解判断B，根据同角三角函数关系及三角形面积公式求解判断C，根据正弦定理求解判断D.10．【答案】A,B【解析】【解答】解：由题意可得P(P(由于P(AP(A故答案为：AB.【分析】根据古典概型的概率公式可判断A，C选项，继而根据条件概率的计算公式可判断B选项，结合对立事件判断D选项.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：已知如图所示：

对于A，取AC的中点D，连接OD，PD，OC，则OD⊥AC，PD⊥AC，如图1，当C为弧AB的三等分点时，∠AOC=120°或当∠AOC=120°时，所以PD=PO2+OD所以△PAC的面积为12当∠AOC=60°时，所以PD=PO2所以△PAC的面积为12对于B，因为圆锥的底面半径为3，高为6，所以圆锥的外接球球心在圆锥内部，设圆锥外接球的半径为R，过点A的轴截面如图2，O1则(6−R)2外接球的表面积为4πR2=对于C，设放入圆锥内最大的正方体边长为a，沿着正方体对角面的轴截面如图3，因为圆锥的底面半径为3，高为6，所以36=2所以2a=6，a=62对于D，过正方体一边的中点作与体对角线垂直的平面，如图4，此平面到顶点P的距离为体对角线的一半，即为12平面截正方体得到边长为2的正六边形，该正六边形的内切圆的半径为3，以该圆作为圆锥的底面，点P为顶点即可得到圆锥．故D正确．故答案为：ABD．【分析】如图1，分类讨论∠AOC=120°、12．【答案】2【解析】【解答】解：把P(−1,2)代入y2所以C的焦点为F(−1,所以|PF|=(−1+1)故答案为：2.【分析】将点P坐标代入抛物线方程求出p，求出F，结合两点间距离公式计算即可求解.13．【答案】(x−92【解析】【解答】解：由题意可得直线l的方程为x+y−9=0，设C(a,由直线l与圆C相切，得|a±9−9|2所以a=±92或a=18±9所以圆C的一个方程可以为(x−92故答案为：(x−92【分析】首先得到线l的方程，设C(a,±9)，利用点到直线的距离公式结合直线与位置关系得到关于14．【答案】(0【解析】【解答】解：由xk−exe设t=xke设f(t)=t−2lnt−1，则令f'所以f(t)在(0,2)上单调递减，在且f(1)=0，f(2)=1−2ln2<0，又x→+∞时所以0<t≤1，即0<xkex≤1设h(x)=x−klnx，则当0<x<k时，h'(x)<0，当x>k时，h'(x)>0，所以h(x)≥h(k)=k−kln即lnk≤1，解得0<k≤e故答案为：(【分析】将原不等式转化为xkex−2lnxkex−1≥0，设t=xke15．【答案】（1）解：根据频率分布直方图，可得(0.(0.所以这1000名消费者对年菜开支接受价格的75%分位数是8+0（2）解：由μ=0.所以X~所以P(X>9.故所有消费者对年菜开支接受价格大于972元的概率为0.16．【解析】【分析】（1）利用75%分位数左边矩形的面积和为0.75可求得样本的75（2）根据正态分布的对称性求出概率即可.16．【答案】（1）解：因为4a当n=1时，得4a1−3a1=1当n≥2时，3Sn−1由①-②得3an=14所以an（2）解：因为bn所以Tn=1×(两式相减得，34即34Tn故Tn由Tn≤169+3λ依题意，∀n∈N*不等式因为y=−n所以λ≥−727，即λ的取值范围为【解析】【分析】（1）根据an（2）由（1）可得bn=n(14)n−117．【答案】（1）解：在直三棱柱ABC−A1B因为AC⊥AB，AB∩AA1=A，AB所以AC⊥平面ABB1A1，又A1由VA1−ABC在矩形ABB1A1中，所以∠ABA1=∠ADB，又∠ADB+∠BAD=90°所以AD⊥A1B，又AD∩AC=A所以A1B⊥平面ACD，又A1所以平面ACD⊥平面A1（2）解：因为AB，AC，AA以AB，AC，AA则A(0,0,0)，B(1,0,所以BC=(−1,1,0)设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z)，则有n设直线CD与平面A1BC所成角为θ，则所以直线CD与平面A1BC所成角的正弦值为【解析】【分析】（1）由题意，根据线面垂直的判定定理与性质可得AC⊥A1B，在矩形ABB1（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角即可.18．【答案】（1）解：设c=4+b2，因为l1，所以2csin60°=4所以C的方程为x2（2）解：由（1）知F2(4,设直线l：x=my+4(m≠0)，M(x1,联立方程组x24−所以3m因为|MF所以|MF2|=因为直线l过点F2所以M，N两点在x轴同侧，∴y1y2>0，此时所以(===1所以||MF所以存在k=13，使得【解析】【分析】（1）由题意可得2csin60（2）易知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：M(x1,y1)，N(x19．【答案】（1）解：f(x)的定义域为(−1,由题可得f'设g(x)=ex−1x+1，则g(x)若a≤−1，则x−a>0，x∈(−1,0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，x∈(0,若−1<a<0，则x∈(a,0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，x∈(−1,a)或若a=0，则f'(x)≥0，f(x)在若a>0，则x∈(0,a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，x∈(−1,0)或综上，当a≤−1时，f(x)在(−1,0)上单调递减，在当−1<a<0时，f(x)(a,0)上单调递减，在(−1,a)当a=0时，f(x)在(−1