2024-2025学年天津市和平区双菱中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市和平区双菱中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在平面直角坐标系Oxy中，直线x+3y−1=0的倾斜角等于A.π6 B.π3 C.2π32.若方程x2m−y2m−2=1表示焦点在A.0<m<2 B.0<m<2且m≠1

C.0<m<1 D.1<m<23.设x，y∈R，向量a=(x,1,1)，b=(1,y,1)，c=(2,−4,2)，且a⊥c，b//cA.22 B.10 C.34.如图，在四面体OABC中，点M在棱OA上，且满足OM=2MA，点N，G分别是线段BC，MN的中点，则用向量OA，OB，OC表示向量OG应为(

)A.OG=13OA+14OB+5.已知直线l1：3x−4y+7=0与直线l2：6x−(m+1)y+1−m=0平行，则l1与l2A.1 B.2 C.3 D.46.双曲线C：x2a2−y2b2A.3 B.52 C.7.一条光线从点(−2,3)射出，经x轴反射后与圆(x−3)2+(y−2)A.65或56 B.54或45 C.32或28.直线y=x+b与曲线x=1−y2有且仅有一个公共点，则bA.|b|=2 B.−1<b≤1或b=−2

C.−1≤b≤9.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为2F2A，F1B⋅FA.72 B.233 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。10.已知向量a=(2,−1,1)，b=(1,x,1)，c=(1,−2,−1)，当a⊥b时，向量b在向量c上的投影向量为______11.已知圆M：x2+y2−2ay+a2−4=0与圆N：12.若空间中有三点A(1,1,−1)，B(0,1,1)，C(1,2,0)，则A到直线BC的距离为______；点P(1,2,3)到平面ABC的距离为______．13.如图所示，在棱长均为2的平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，∠A′AB=∠A′AD=∠BAD=60°，点M为BC′与B′C的交点，则AM的长为______．14.已知圆M：x2+y2−4x−1=0，P(x,y)是圆M上的动点，则t=15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M(−a,0)，N(0,b)，点P为线段MN上的动点，当PF三、解答题：本题共5小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题9分)

根据下列条件，分别写出直线的方程：

(1)斜率为−2，在y轴上的截距为−2．

(2)已知平面内两点A(6,−6)，B(2,2)，求过P(2,−3)且与直线AB平行的直线l的方程．

(3)求经过点A(−5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．17.(本小题9分)

已知⊙C的圆心在x轴上，经过点(1,3)和(2,2)．

(1)求⊙C的方程；

(2)过点P(3,1)的直线l与⊙C交于A、B两点．

(ⅰ)若|AB|=2(ⅱ)求弦AB最短时直线l的方程．18.(本小题9分)

已知双曲线C：x2a2−y2=1(a>0)的焦距为25且左右顶点分别为A1，A2，过点T(4,0)的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．

(1)19.(本小题11分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥AB，点D，E，F分别为A1B1，AA1，CD的中点，AB=AC=AA1=2．

(1)求证：EF//平面ABC；

20.(本小题11分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F在直线x+2y−1=0上，A，B分别为C的左、右顶点，且|AF|=3|BF|．

(1)求C的标准方程；

(2)是否存在过点G(−1,0)的直线l交C于M，N两点，使得直线BM，参考答案1.D

2.D

3.C

4.A

5.B

6.C

7.D

8.B

9.A

10.(−1,2,1)

11.(−∞,−12.2

13.1114.12

9−415.4

16.解：(1)因为直线的斜率为−2，在y轴上的截距为−2，

所以直线的斜截式方程为y=−2x−2，

化简可得2x+y+2=0；

(2)因为A(6,−6)，B(2,2)，

所以k=−6−26−2=−2，

由题意直线l斜率也为−2，

又因为直线l过P(2,−3)，

所以直线l的方程为：y+3=−2(x−2)，

即2x+y−1=0；

(3)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a+ya=1，即x+2y=2a，

将A(−5,2)代入，可得−5+2×2=2a，解得a=−12，

所以x+2y=2×(−12)=−1，

所以直线方程为x+2y+1=0；

当直线过原点时，设直线方程为y=kx，

将A(−5,2)代入，可得−5k=2，解得k=−217.解：(1)⊙C的圆心在x轴上，经过点(1,3)和(2,2)．

设圆心为C(a,0)，由题意可得(a−1)2+3=(a−2)2+4，解得a=2，

可得圆的半径为r=(2−1)2+3=2，因此，圆C的标准方程为(x−2)2+y2=4．

(2)①当|AB|=23时，圆心C到直线l的距离为d=22−(|AB|2)2=4−3=1，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y−1=k(x−3)，即kx−y+1−3k=0，

则d=|2k+1−3k|k2+1=|1−k|k2+1=1，解得k=0，此时，直线l18.解：(1)因为双曲线的焦距为25，

所以，2c=25，

解得c=5，

又b=1，

所以a2+1=5，

解得a=2，

则双曲线的方程为x24−y2=1．

(2)直线MN的方程为y=32(x−4)，

联立y=32(x−4)x24−19.解：(1)证明：设AC1∩A1C=O，连接OF，OE，则O为AC1，A1C的中点，

因为O，F分别为A1C，CD的中点，则OF//A1D，

且A1D//AB，则OF/​/AB，

由OF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，可得OF//平面ABC，

又因为O，E分别为AC1，AA1的中点，则OE/​/AC，

由OE⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，可得OE/​/平面ABC，

且OF∩OE=O，OF，OE⊂平面OEF，可得平面OEF/​/平面ABC，

由EF⊂平面OEF可得EF/​/平面ABC．

(2)由题意可得：A1D=1,C1D=5，

作A1M⊥C1D，垂足为M，

因为CC1⊥平面A1B1C1，A1M⊂平面A1B1C1，可得CC1⊥A1M，

且C1D∩CC1=C1，C1D，CC1⊂平面CC1D，可得A1M⊥平面CC1D，

由等面积可得A1M=A1D⋅A1C1C1D=1×25=255，

可知点A1到平面CC1D的距离为A1M=255，

且点D为A1B1的中点，则点B1到平面CC1D的距离d=A1M=255，

取BB1的中点G，GB1的中点H，连接GA1，DH，

则A1E/​/BG，A1E=BG，则A1EBG为平行四边形，可得A1G//BE，

又因为D，H分别为A1B1，B1G的中点，则DH//A1G，且DH=12A1G=52，

可得DH/​/BE，

可知直线BE与平面CC1D所成角即为直线DH20.解：(1)设椭圆C的右焦点F(c,0)，

因为椭圆C的右焦点F在直线x+2y−1