【2021高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.2

第八章8.2第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下面的几何物体中，哪一个正视图不是三角形()A．竖放的圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．竖放的正四棱锥答案C2．下列几何体各自的三视图中，有且只有两个视图是相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④答案D解析正方体的三视图都是正方形，不合题意．3．一个圆锥的正视图和侧视图均为正三角形，其面积为S，则圆锥侧面面积为()A.eq\f(8πS,3)B.eq\f(8πS,\r(3))C.eq\f(4πS,\r(3))D.eq\f(2πS,\r(3))答案D解析设正三角形边长为a，则eq\f(\r(3),4)a2＝S，∴a2＝eq\f(4S,\r(3)).又圆锥母线长为a，底面半径为eq\f(a,2)，∴S圆锥侧＝π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(π,2)a2＝eq\f(π,2)×eq\f(4S,\r(3))＝eq\f(2πS,\r(3)).4．已知几何体的三视图(如图)，则这个几何体自上而下依次为()A．四棱台，圆台B．四棱台，四棱台C．四棱柱，四棱柱D．不能推断答案B5．若已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，那么原△ABC的面积为()A.eq\f(\r(3),2)a2B.eq\f(\r(3),4)a2C.eq\f(\r(6),2)a2D.eq\r(6)a2答案C解析如图是△ABC的平面直观图△A′B′C′.作C′D′∥y′轴交x′轴于D′，则C′D′对应△ABC的高CD，∴CD＝2C′D′＝2·eq\r(2)·C′O′＝2eq\r(2)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\r(6)a.而AB＝A′B′＝a，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·a·eq\r(6)a＝eq\f(\r(6),2)a2.6．某简洁几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为eq\r(2)的线段，则a等于()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．1D．2答案B解析可以把该几何体形象为一长方体AC1，设AC1＝a，则由题意知A1C1＝AB1＝BC1＝eq\r(2)，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则x2＋y2＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，三式相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6.∴a＝eq\r(3).故选B.7．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3eq\r(3)，则a＝________.答案eq\r(3)解析由已知正视图可以知道这个几何体是倒着的直三棱柱，两个底面是等腰的三角形，且底边为2，等腰三角形的高为a，侧棱长为3，结合面积公式可以得到V＝sh＝eq\f(1,2)×2×a×3＝3eq\r(3)，解得a＝eq\r(3).8．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为eq\f(1,2)，则该几何体的俯视图可以是()答案C解析选项A得到的几何体为正方体，其体积为1，故排解1；而选项B、D所得几何体的体积都与π有关，排解B、D；易知选项C符合．二、填空题9．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)，则该几何体的体积为________m3.答案4解析这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于eq\f(1,6)×2×4×3＝4.10．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3.答案144解析该空间几何体的上部分是底面长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为eq\f(1,3)×(16＋4×8＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.11．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C－ABD，其主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为________．答案eq\f(1,4)解析由题意可知，左视图为等腰直角三角形，腰长为eq\f(\r(2),2)，故其面积为eq\f(1,2)×(eq\f(\r(2),2))2＝eq\f(1,4).12．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为________．答案eq\f(284,3)解析依据三视图的学问及特点，可画出多面体的外形，如图．这个多面体是由长方体截去一个正三棱锥而得，可得所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－eq\f(1,3)×(eq\f(1,2)×2×2)×2＝eq\f(284,3).13．如图是某几何体的三视图，其中三个视图的轮廓都是边长为1的正方形，则该几何体的体积为________．答案eq\f(5,6)解析由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，由题意可知，该几何体可补成正方体，所以其体积为1－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(5,6).三、解答题14．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图(或称正视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S.解析由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V－ABCD.(1)V＝eq\f(1,3)×(8×6)×4＝64；(2)该四棱锥有两个侧面VAD，VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为．h1＝eq\r(42＋(\f(8,2))2)＝4eq\r(2).另两个侧面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2＝eq\r(42＋(\f(6,2))2)＝5，因此S侧＝2(eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＋eq\f(1,2)×8×5)＝40＋24eq\r(2).15．如图是某几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．解析(1)该几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是正方体AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝(22＋4eq\r(2))(cm2)，所以几何体的体积V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10(cm3)．拓展练习·自助餐1．给出下列命题：①假如一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②假如一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③假如一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④假如一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①错，如球．②错，如平放的圆柱．③正确．④错．如正四棱台．2.用一些棱长是1cm的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这个几何体的体积最多是()A．6cm3B．7cm3C．8cm3D．9cm4答案B3．如图，几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是()答案B解析左视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A、D排解，而主视时，应当有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B.4.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A．2B．1C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,3)答案B解析由三视图可知，它表示的是一放倒的底面是始终角边为eq\r(2)，另始终角边为1的直角三角形，高为eq\r(2)的直三棱柱，所以体积为V＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×1×eq\r(2)＝1.故选B.5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()