【北京特级教师】2020-2021学年人教A版数学必修二课后练习：空间几何体的表面积与体积-二

学科：数学专题：空间几何体的表面积与体积一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面半径之比为()A.eq\f(4,9) B.eq\f(9,4) C.eq\f(4,27) D.eq\f(27,4)正四棱锥P—ABCD的五个顶点在同一个球面上，若该正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为eq\r(6)，则此球的体积为________．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．2π＋2eq\r(3) B．4π＋2eq\r(3)C．2π＋eq\f(2\r(3),3) D．4π＋eq\f(2\r(3),3)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积．(A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的eq\f(3,2)，这个梯形绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋eq\r(2))π，求这个旋转体的体积．设三棱柱的侧棱垂直于底面，全部棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2 B.eq\f(7,3)πa2 C.eq\f(11,3)πa2 D．5πa2在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．正四棱台的高为12cm，两底面的边长分别为2cm和12cm．（Ⅰ）求正四棱台的全面积；（Ⅱ）求正四棱台的体积．如图，已知几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．如图，在长方体中，用截面截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比．已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB=90°,AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是__________.课后练习详解答案：C详解:设圆锥底面半径为，高为h，球的半径为，则圆锥体积为，球的体积为.由题意知圆锥的底面半径是球的半径的3倍，即＝3.由圆锥与球的体积相等有＝，将＝代入，有＝，故＝eq\f(4,33)＝eq\f(4,27).答案：eq\f(9,2)π详解:如图所示，设底面中心为O′，球心为O，设球半径为R，∵AB＝2，则AO′＝eq\r(2)，PO′＝eq\r(PA2－AO′2)＝2，OO′＝PO′－PO＝2－R.在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2⇒R2＝(eq\r(2))2＋(2－R)2，∴R＝eq\f(3,2)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.答案：C详解:由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为eq\r(2)，侧棱长为2的正四棱锥叠放而成．故该几何体的体积为V＝π×12×2＋eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×eq\r(3)＝2π＋eq\f(2,3)eq\r(3)，故选C.答案：C详解:设P到平面EFQ的距离为h，则VP－EFQ＝eq\f(1,3)×S△EFQ·h，由于Q为CD的中点，∴点Q到直线EF的距离为定值eq\r(2)，又EF＝1，∴S△EFQ为定值，而P点到平面EFQ的距离，即P点到平面A1B1CD的距离，明显与x有关、与y无关，故选C.答案：eq\f(7,3)π.详解:如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边旋转一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体．设CD＝x，则AB＝eq\f(3,2)x，AD＝AB－CD＝eq\f(x,2)，BC＝eq\f(\r(2),2)x.＝＋＋＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·AD·BC＝π·eq\f(x2,4)＋2π·eq\f(x,2)·x＋π·eq\f(x,2)·eq\f(\r(2),2)x＝eq\f(5＋\r(2),4)πx2.依据题设，eq\f(5＋\r(2),4)πx2＝(5＋eq\r(2))π，则x＝2.所以旋转体体积V＝π·AD2·CD＋eq\f(π,3)AD2·(AB－CD)＝π×12×2＋eq\f(π,3)×12×(3－2)＝eq\f(7,3)π.答案：B详解:如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D为O1O的中点，则DB为球的半径，有r＝DB＝eq\r(OD2＋OB2)＝eq\r(\f(a2,4)＋\f(a2,3))＝eq\r(\f(7a2,12))，∴S表＝4πr2＝4π×eq\f(7a2,12)＝eq\f(7,3)πa2.答案：2500πcm2.详解:如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R.∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7cm，同理π·O1A2＝400π，∴O1A设OO1＝xcm，则OO2＝(x＋9)cm.在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72，∴x2＋202＝72＋(x＋9)2，解得x＝15.∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25cm．∴S球＝4πR2＝2500πcm∴球的表面积为2500πcm2.答案：512cm2;详解:（Ⅰ）斜高cm

S正四棱台=S上+S下+S侧=22+122+12×（2+12）×13=512cm2

（Ⅱ）V=13（S++S′）h=13（22++122）×12=688cm3答案：(1)见详解.(2)表面积22＋4eq\r(2)cm2，体积10cm详解:(1)这个几何体的直观图如图所示．(2)这个几何体可看成是由正方体AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P由PA1＝PD1＝eq\r(2)，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积为：S＝5×22＋2×2×eq\r(2)＋2×eq\f(1,2)×(eq\r(2))2＝22＋4eq\r(2)cm2，所求几何体的体积V＝23＋eq\f(1,2)×(eq\r(2))2×2＝10cm答案：详解:已知长方体可以看成直四棱柱．设它的底面面积为，高为，则它的体积为．而棱锥的底面面积为，高是，因此棱锥的体积．余下的体积是．所以棱锥的体积与剩余部分的体积之比为1：5．答案：详解:由三视图知，此几何体可以看作是一个边长为2的正方体被截去了一个棱台而得到，此棱台的高为2，