2024年高考专题讲义专题112 正态分布、二项分布与超几何分布

专题11.2正态分布、二项分布与超几何分布

第II步试真题

[1503].（2022•全国•高考真题•★★★★）

甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个

项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,

各项目的比赛结果相互独立.

⑴求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【答案】（1）0.6：

（2）分布列见解析，E（X）=13.

【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为AB,C,再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利

用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出：

（2）依题可知，X的可能取值为0，10,20.30,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.

（1）

设甲在三个项目中获胜的事件依次记为所以甲学校获得冠军的概率为

P=P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

（2）

依题可知，X的可能取值为0,10,20,3D,所以，

p（X=0）=0.5x0.4x0.8=0.16,

P（X=10）=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x08+0.5x0.4x0.2=0.44,

P（X=20）=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0,6x0.2=0.34,

P（X=30）=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E（X）=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

[1504].（2022•全国•高考真题•★★★★）

在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直

方图：

M频率/组距

0.023-----------------------------——

0.020--------------------------------------------

0.017--------------------------------------------------

0.012--------------—

0.006-----------------------------------------------------------

SOO2

OO1

O.

O102030405060708090年龄/岁

（1）估计该地区这种疾病患者的平均年拾（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）估计该地区一位这种疾病患者的年带位于区间[20,70）的概率；

⑶已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间140.50）的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间140.50）,求此人患这种疾病的概率.（以样本数据中患者的年龄位

于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.

【答案】（1）47.9岁；

⑵0.89；

（3）0.0014.

【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；

(2)设＞={一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)},根据对立事件的概率公式P(A)=1-P(A)即可解出;

(3)根据条件概率公式即可求出.

(1)

平均年龄£=(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023

+55x0.020+65x0.017+75x0.006+85x0.002)x10=47.9(岁).

(2)

设A=｛一人患这种疾病的年龄在区间［20,70)),所以

P(41=l-P(A)=l-(0.001+0.002+0.006+0.002)xl0=l-0.i1=0.89.

(3)

设8="任选一人年龄位于区间［40,50)”，C=“从该地区中任选一人患这种疾病”,

则由已知得：

P(B)=16%=0.16,P(C)=0.1%=0.001,P(B\C)=0.023x10=0.23,

则由条件概率公式可得

从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),此人患这种疾病的概率为

P⑹8)=还=尸9尸网C)，。侬，。^=0G⑷754.064

P(B)P(B)0.16

［1505］.(2022•北京•高考真题•★★★)

在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将获

得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整现得到如下数

据(单位：m)：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙:9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望石(X)；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、为谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)

【答案】⑴0.4

⑶丙

【分析】(1)由频率估计概率即可

(2)求解得X的分布列，即可计算出X的数学期望.

(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.

(I)

由频率估计概率可得

甲获得优秀的概率为0.4,乙获得优秀的概率为0.5,丙获得优秀的概率为0.5,

故答案为0.4

(2)

设甲获得优秀为事件4,乙获得优秀为事件42,丙获得优秀为事件A3

------3

P(X=O)=尸(“A)=0.6x0,5x0.5/，

尸(X=1)=P(A兀4)+P(可A?%)+P(彳无AJ

8

=0/x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=——，

20

尸(X=2)=p(A4A)+P(A%A)+P(%4A)

,7

=0/x0.5x0.5+0.4x0.5x0.5+0.6x0.5x0.5=—,

20

2

P(X=3)=P(/\A2A,)=O.4xO.5xO.5=—.

•••X的分布列为

X0123

3872

P

20202020

(3)

丙夺冠概率估计值最大.

因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为J,甲获得9.80的概率为工；,

410

乙获得9.78的概率为!.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对内越有利.

6

[1506].(2021•北京•高考真题•★★★★)

在核酸检测中，"合I”混采核酸检测是指：先将K个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这4个人帮没

有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这女个人中有人感染

新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行I次检测，得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

(I)将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望E(X).

(ID将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测•设Y是检测的总次数,

试判断数学期望E(F)与⑴中E(X)的大小.(结论不要求证明)

【答案】(1)①20次；②分布列见解析：期望为子；(2)E(y)>E(X).

【分析】(1)①由题设条件还原情境，即可得解：

②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；

(2)求出两名感染者在一组的概率，进而求出后(丫)，即可得解.

【详解】(I)①对每组进行检测，需要10次：再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次:

所以总检测次数为20次:

②由题意,X可以取20,30,

P(X=20)=\,P(X=3O)=1—\=E

则X的分布列:

X2030

110

P

HTT

IIn320

所以E(X)=20x，+30x吧=」

v11111II

(2)由题意，V可以取25,30,

495

两名感染者在同一组的概率为《=£哥里=—,不在同i组的概率为6=瞪,

^100

贝lJE（y）=25x&+30xM”">E（X）.

1f999999''

[1507].（2013•山东•高考真题•★★★★）

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是

」外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是三.假设各局比赛结果相互独立.

23

（I）分别求甲队以3:0,3:13:2胜利的概率：

（H）若比赛结果为求3:0或3:1,则胜利方得3分，对方得。分：若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对

方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望.

【答案】⑴称捺捺〈叫

【详解】解法一（I）设甲胜局次分别为负局次分别为无反G5

799Q

P（3:O）=P（/4«C）=-x^x-j=—;

P（3:\）=P（ABCD）+P（ABCD）+P（ABCD）

1222212222128

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—=—;

33333333333327

P（3:2）=P（ABCDE）x3+P（ABCDE）x2+P（ABCDE）

11221021121^221114

33332333323333227

（H）根据题意乙队得分分别为（），1，2,3.

P（X=O）=P（O:3）+P（1:3）=导捺哮;

4

P（X=1）=P（2:3）=-;

4

P（X=2）=P（3:2）=-;

i21

P（X=3）=P（3:0）+P（3:l）=-+-=-.

所以乙队得分X的分布.列为

X0123

p1644

2727279

164417

EX=Ox—+lx—+2x—+3x-

27272799

解法二(I)记“甲队以3：0胜利”为事件A，“甲队以3：1胜利”为事件4,“甲队以3：2胜利”为事件4,

由题意，各局比赛结果相互独立，

OQ

故日4)=(3=万，

22

P(A)=C3(1)(1-1)X1=A,

1S)Y(刎管

QQ4

所以，甲队以3：0.3:132胜利的概率分别是；；，—,—：

272727

(H)设“乙队以3:2胜利”为事件儿，由题意，各局比赛结果相互独立，所以

尸(A)=C4'(1一5)2《尸x(l-l)=A

33227

由题意，随机变量X的所有可能的取值为0.123,,根据事件的互斥性得

P(X=o)=P(A+&)=P(A)+P(&)吟，

4

P(X=1)=P(A,)=—,

27

4

P(X=2)=P(44)=—,

3

p(X=3)=1-P(X=0)-P(X=I)-P(X=2)=—

27

故X的分布列为

X0123

P16443

27272727

164437

filf^EX=0x—+lx—+2x—+3x-

272727279

【考点定位】本题考查了独立事件互斥事件的识别与概率运算、离散型随机变量的分布列和期望，要注意

对不同事件的合理表述，便于书写过程.X服从于二项分布，可用概盅公式进行运第:，也可以采用罗列方

式进行，是对运兜能力的常规考查.

[1508].（2020•北京•高考真题•★★★）

某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动

方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

（I）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（H）从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人，估计这3人中怡月2人支持方案一的

概率：

（HI）将该校学生支持方案二的概率估计值记为P。，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年

级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为Pi，试比较也与四的大小.（结论不要求证明）

【答案】（I）该校男生支持方案一的概率为:，该校女生支持方案一的概率为[：

34

13

（II）持（III）P,<P0

36

【分析】（I）根据频率估计概率，即得结果：

（II）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果：

（III）先求儿，再根据频率估计概率化，即得大小.

【详解】（I）该校男生支持方案•的概率为肃

该校女生支持方案一的概率为正黑;=I;

（ID3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（I）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案

一，一个女生支持方案一，

所以3人中恰有2人支持方案一概率为：Ad-；）+G（1）（l-3：=号；

3433436

(IH)P,<A>

【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考杳基本分析求解能力，属基础题.

[1509].(2019•江苏•高考真题•★★★★)

在平面直角坐标系X0V中，设点集A,={(0,0),(1,0),(2,0),…，(集0)},

8.={(0,l),5，l)}C={(0,2),(1,2),(2,2),令此=4U41，。”.从集合Mn中任取两个不同的

点，用随机变量X表示它们之间的距离.

(I)当〃=1时，求X的概率分布：

(2)对给定的正整数〃(«>3),求概率尸(X9)(用〃表示).

【答案】(I)见解析：

6

(2)

【分析】(1)由题意首先确定X可能的取值，然后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确定分布列；

(2)将原问题技化为对立事件的问题求解P(X>〃)的值，据此分类讨论①.〃-d,②<3).

8=0,d=2,④6=l,d=2四种情况确定X满足X>〃的所有可能的取直，然后求解相应的概率值即可确定

P(XW〃)的值.

【详解】(I)当〃=1时，X的所有可能取值是

777-44

X佬概率分布为/'(乂=1)=五=正，H乂=应)=不=不,

"=2)=专q.ax=6=*《

(2)设A(a,b)和伙c,d)是从M“中取出的两个点.

因为尸(X4〃)=1-P(X>n),所以仅需考虑X>〃的情况.

①若力=d，则不存在X>〃的取法；

②若b=0,d=l,则A8=J(a—cf+1W+1,所以X>〃当且仅当人B=，此时。=。，。="或

a=n,c=O,有2种取法：

③若力=0，d=2,则八3=J(a-c)2+4«J〃2+4,因为当，后3时，+4<n,所以X>〃当且仅当

48=J7+4,此时〃=°，c=〃或白=〃，。=°，有2种取法；

④若b=l，"=2,则A8=J(a—cf+1匕，??+1,所以X>〃当且仅当人B=，此时。=。，。="或

a=n,c=0,有2种取法.

综上，当X>〃时，X的所有可能取值是曲7和J”?+4,M.

4

P(X=+1)=,P(X=VH2+4)=

cL?

6

P(X<n)=\-P(XVn2+l)-P(X=V/r+4)=1-

因此,cC

【点睛】本题主耍考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推

理论证能力.

[15101（2019•北京•高考真题•★★★★））

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某

校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两

种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

(0JC00](10002000]大于2000

交付金额（元）

支付方式

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

（I）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率：

（11）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1300

元的人数，求X的分布列和数学期望；

（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发

现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于

2000元的人数有变化？说明理由.

【答案】（I）

（II）见解析；

（IH）见解析.

【分析】（I）由题意利用古典概型计郛公式可得满足题意的概率值：

（H）首先确定X可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.

（HI）由题意结合概率的定义给出结论即可.

【详解】（I）由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：100-30-25-5=40人，则:

该学生上个月48两种支付方式都使用的概率〃=需40=22.

1005

（H）由题意可知,

仅使用人支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占3:，金额大于MXX）的人数占身2,

JJ

仅使用3支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占彳2，金额大于1000的人数3g3

JJ

且X可能的取值为0,1,2.

心=。）=衿=*P（X=l）=©+5吟•P（X=2）=/=袅

X的分布列为：

X012

6136

P（X）

252525

其数学期望：E（X）=（）XA+1X22+2XA=1.

（HI）我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：

随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于

概率.

学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这

种现象可能是发生了“小概率事件

【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列

的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关.

[15111（2013•全国•高考真题•★★★★）

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出II该产品获利润590元，未售出的产品，每It亏损300

元.根据历史资料，得到销售季度内M场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购

进了130【该农产品.以x（单位：3100WXS150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.

(I)将T表示为X的函数

(H)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；

(III)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需

求量取该区间中点值的概率(例如:若xe[100410),则取x=105,且x=105的概率等于需求量落入[100,110

)的频率，求T的数学期望.

【答案】(1)7=500x130=65000(II)0.7(III)59400

【详解】⑴当XW[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000.

当X£[I3O,I5O]时，7=500x130=65()00.

800X-39000,l(X)<X<130,

所以T={

,65000,130<X<150.

(2)由(1)知利润7,不少于57000元当上仅当120<X<150.

由直方图知需求量X£[120]50]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润丁不少于57000元的概率的估

计值为0.7.

(3)依题意可得7的分布列为

T4500053000610006500()

P0.10.20.30.4

所以£(7)=45000x0.1+53000x0.2+61000x0.3+65000x0.4=

594(X).

【1512】.(2014・湖北•高考真题•★★★★)

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量KC年入流

量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以匕其中，不足80的年份有10年，不低

于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概

率，并假设各年的年入流量相互独立.

(1)求未来4年中，至多J年的年入流量超过120的概率；

(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量》限制，并有如下关

系：

年入流量-V40<A>80X>120

发电量最多可运行台数123

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电

站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

【答案】(1)0.9477；(2)8620,2.

【详解】试题分析：(1)先求片=P(40<X<80),/>=P(80<X<120),/>=P(X>120),再利用二项分布

求解：(2)记水电站年总利润为丫(单位：万元)①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台

发电机，分别求出£7,比较大小，再确定应安装发电机台数.

(1)依题意，4=P(40<X<80)=9=0.2,

355

6=P(80WXW120)=行=0.7,4=P(X>120)=才=0.1,

由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：

4

人以(1-4+。：(】-6)2=(1y+4x(K)X*=0.9477.

(2)记水电站年总利润为丫(单位:万元)

①安装I台发电机的情形.

由于水库年入流量总大于40,所以一台发电机运行的概率为1,

对应的年利润y=5000,£7=5000x1=5000.

②安装2台发电机.

当40Vx<80时.，一台发电机运行，此时y=5000—800=4200,

因此P(y=4200)=P(40<X<80)=耳=0.2,

当X280时，两台发电机运行，此时^=5000x2=10000，

因此P(Y=10000)=P(X280)=勺+6=0.8.由此得y的分布列如下:

420010000

P0.20.8

所以C=4200X1+l(XXX)x2=8840.

③安装3台发电机.

依题意，当40Vx<80时，一台发电双运行，此时丫=50(X)—1600=3400,

因此P(y=3400)=P(40<X<80)=q=0.2；

当80WXW120时，两台发电机运行，此时丫=5000x2—800=9200,

此时p(Y=9200)=P(8O<X<I2O)=^=O.7,

当X>120时，三台发电机运行，此时y=5000x3=15000.

因此P(Y=15000)=P(X>120)=A=0.1,

由此得『的分布列如下：

Y3400920015000

P0.20.70.1

所以EY=3400x0.2+9200x0.7+l5000x0.1=8620.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.

考点：二项分布，随机变量的均值.

【1513】.(2015•四川•高考真题•★★★★)

某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名

女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，

女生中随机抽取3人组成代表队

(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列

和数学期望.

【答案】（1）A中学至少I名学生入选的概率为〃=言.

100

（2）X的分布列为：

x的期望为;工

【分析】（I）A中至少有I名学生入选代表队的对立事件是A中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女

生都是B中的学生，计算:概率后，再用1减，即是所求概率；

（2）6名队员中有3男，3女，所以选4人中，X表示参赛的男生人数，X的可能取值为1,2,3,根据超几

何分布计算其概率，列分布列和求期望.

【详解】（I）由题意知，参加集训的男、女生各有6名.

C'C?

参赛学生全部从B中学中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为.

100

因此，A中学至少有I名学生入选代表队的概率为1一一

（2）根据题意得，X的可能取值为I,2,3.

所以X的分布列为

X123

1_31

P

555

因此，X的数学期望E（X）=Ix：+2x：+3x：=2.

考点：1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.

[1514].（2013•辽宁•高考真题•★★★★）

现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.

（i）求张同学至少取到1道乙类圈的概率；

3

(II)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,，答对每道乙类题

的概率都是：，且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望.

【答案】(I)I(II)见解析

【分析】(D从10道试题中取出3个的所有可能结果数有G〉张同学至少取到1道乙类题的对立事件是:

张同学取到的全为甲类题，代入古典概率的求解公式即可求解

(II)先判断随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可

求解分布列及期望值

【详解】解：(。设事件4=”张同学至少取到1道乙类题”

则•=张同学至少取到的全为甲类题

:.P(A)=1-P(，)=1-告V

(mX的所有可能取值为0,1,2,3

P(X=0)=呜•铲电唱

P(X=D=+C?<-)2^=至

2555*55125

P(X=3)=C

・O($令il黑

X的分布列为

X0123

42836

P125T2557125

125

及八3+以/+20+3、至=2

125125125125

【点睛】本题主要考查了古典概型及il算公式，互斥事件、离散型随机变星的分布列及期望值的求解，考

查了运用概率知识解决实际问题的能力.

[15151(2018•天津•高考真题•★★★★)

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行

睡眠时间的调查.

(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.

(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望：

(ii)设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.

【答案】(I)从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.(II)(力答案见解析：(/7)z-

【详解】分析：(【)由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

c：C”

(H)(力随机变量X的所有可能取值为Q1,2,3.且分布列为超几何分布，即尸(X=A)=-cT

I,2,3).据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为七”)=半.

(//)由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为与.

详解：(I)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2,

由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，

因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.

(H)(/)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.

「A

P(X=k)=•=3(M),I,2,3).

所以，随机变量X的分布列为

X0123

112184

p

35353535

随机变量X的数学期望E(X)=0x4+lx*+2x^+3x^=与.

(ii)设事件3为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”:

事件。为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，唾眠不足的员工有I人'

则4=4UC,且5与C互斥，

由⑴知，P(B)=P(X=2),P(O=P(X=1),

故PiA)=P(BUC)=P(X=2)+P(X=1)=1.

所以，事件4发生的概率为亨.

点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某

类个体的个数.超几何分布的特征是：①考查时象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个

体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其

实质是古典概型.进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)

样本容量〃该层抽取的个体数

吃z=力:(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.

息体的个数N该层的个体数f

[1516].(2016•全国•高考真题•★★★★)

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外

购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策

在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零

件数，得下面柱状图：

891()11更换的易损零件数

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器

三年内共需更换的易损零件数，〃表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(1)求X的分布列：

(2)若要求「(XW〃)之0.5,确定冷的最小值;

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在〃=19与〃=20之中选其一，应选用哪个？

【答案】(1)见解析.

(2)见解析.

(3)见解析.

【分析】(1)由己知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,分别求出相应的概率，由此能求出

X的分布列：(2)由X的分布列求出P(X<18)=4，P(X<19)二,.由此能确定满足P(X<n)>0.5

中n的最小值：(3)购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外

购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适.

【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,II的

概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而

PQY二16)=二'2=0.04；

P(J=17)=2x0,2x0.4=0.16;

P(J=18)=2xO.2xO.2-O-4=0.24；

A.Y=19)=2022+2x1.4x0.2=0.24:

P(Ar=20)=2x0.2x0.4+0,2<02=02；

P(J=21)=2x0.2x0.2=0.08：

P(J=22)=02-02=004.

所以》的分布列为

X16171819202122

P0.040.160.240.24一0.080.04

⑵由⑴知HX4助,M4,P（.Y<19）=0.68,故〃的最小值为19.

（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.

当n=19时，费用的期望为：19x200+500x0.2+1000x0.08+1500x0.04=4（40：

当n=20时，费用的期望为：20x200+500x0.08+1000x0.04=4080.

可知当〃=19时所需费用的期望值小于〃=20时所需费用的期望值，成应选"=19.

考点：离散型随机变量及其分布列

[15171（2014•全国•高考真题•★★★★）

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如卜.图频率分布

直方图：

(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值元和样本方差$2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);

(H)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(小/)，其中〃近似为样本平均数£

近似为样本方差

(i)利用该正态分布，求尸(187.8<Z<212.2)：

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(1878212.2)

的产品件数.利用(i)的结果，求EX.

附：^/i50ftl2.2

若Z~N(〃,吟贝CT<Z<〃+G)=0.6826,-2cr<Z<//+2(T)=0.9544.

【答案】(I)200,150：(H)⑴0.6826：(ii)68.26.

【详解】试题分析：(I)由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差.若同一组的数据

用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标.中位数为面积等分为5的点.均值为每个矩

形中点横坐标与该矩形面积积的累加值.方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值.(ID(i)由己

知得，Z~

N(200,150),故P(187.8vZ<212.2)=P(200—12.2<Z<200+12.2)=0.6826；(ii)某用户从该企业购买了

100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间(1878212.2)的产品

件数X~8(1(X26826),故期望EX=100x0.6826=68.26.

试题分析：(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值天和样本方差『分别为

x=170x0.02+180x0.09+190x0.22+200x0.33+210x0.24+220x0.08+230x0.02=200,

=(一30尸x0.02+(-20)2x0.()9+(-10；Px().22+0x0.33+IO2x0.24+2()2x0.08+3()2x0.02=150.

(ID(i)由⑴知，Z服从正态分右M200,150),187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200

+12.2)=0.6826.

(ii)由(i)可知，•件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知乂~3(10006826),

所以欧=100x0.6826=68.26.

【考点定位】1、频率分布直方图：2、正态分布的3。原则；3、二项分布的期望.

[1518).(2008•江西•高考真题•★★★★)

某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严羽受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两

年实施：若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢更到灾前的L0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、

03、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预

计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5：第二年可以使柑桔产

量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案，第二年与第一年相互独立.令

$(i=1,2)表示方案i实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.

⑴写出。、&的分布列；

(2)实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？

(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元：两年后柑桔产量恰

好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元：问实施哪

种方案所带来的平均效益更大？

【答案】(1)具体见解析；

(2)方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大：

(3)方案一所带来的平均效益更大.

【分析】⑴根据题意得出知&的所有可能取值,进而列出分布列即可:

(2)根据题意分别算出两种方案两年后柑橘产量超过灾前产量的概率，进而比较大小：

(3)根据题意算出两种方案收益的期望，进而比较大小即可得到答案.

(I)。的所有取值为0.8.091.0,1.125,1.25,&的所有取值为0.8,0.96,1.0,1.2,1.44白、&的分布列分别为:

00.80.91.01.1251.25

P0.20.150.350.150.15

$0.80.961.01.21.44

P0.30.20.180.240.08

(2)令A、8分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P(A)=0.15+0.15=0.3,

28)=0.24+0.08=0.32,可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大.

(3)令％表示方案i所带来的效益,则

101520

P0.350.350.3

小101520

P0.50.180.32

所以E(/)=10x0.35+15x0.35+20x0.3=14.75,E(%)=10x0.5+15x0.18+20x0.32=14.1,可见，方案一

所带来的平均效益更大.

【1519】.(2017•全国•高考真题•★★★★)

为了监控某种零件的一