2024年高考数学第一轮题型归纳与解题 考点36 空间直线、平面的垂直13种常见考法归类（原卷版+解析）

考点36空间直线、平面的垂直13种常见考法归类

考点一线面垂直的判断考点八证面面垂直

考点二证线面垂直考点九利用空间向量法证面面垂直

考点三利用空间向量法证线面垂直考点十面面垂直的探索性问题

考点四线面垂直的探索性问题考点I-面面垂直性质的应用

考点五直线与平面垂直性质的应用(证线线垂直)考点十二平行与垂直的综合问题

考点六利用线面垂直求体积考点十三平行、垂直关系与几何体的度量

考点七面面垂直的判断

i.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相垂直，

记作LLa.直线/叫做平面。的垂线，平面a叫做直线/的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点尸

叫做垂足.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

(2)判定定理

文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

图形语言

符号语言lA.ni,wc«,nua,〃?n〃=A=/_La.

(3)性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.

aa

图形语言

符号语言a_La,b±a=hi//b.

注：证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与

性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.

2.证明线面垂直的方法：

一是线面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性质定理(a邛,an£=a,/_Lm/u夕n/_La)；

三是平行线法(。〃力，：

若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面；

四是利用面面平行的性质（〃_La,a〃ga邛）：

一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直；

解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直

关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、

菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等.

3.常见证明线线垂直的常用方法:

（1）相交直线①等腰三角形（等边三角形）的如图：AB=AC,D为BC中点，则A£>_L3C

“三线合一”

②勾股定理的逆定理如图：如果，则

③正方形、菱形的对角线互相垂如图：四边形ABCD是菱形，所以

直

C

④直径所对的圆周角是

如图：AB是圆的直径，ZACB=W

⑤相似（全等）转化出直角（需若在正方形ABCD中，E,F分别是BC和CD的

证明）中点，则有

/4.__________

f

RVFC0V上1

证明如下：易证

Rt^ABE=Rt\BCF

Z2=Z3,Z1+Z2=9O°

Zl+Z3=90°

⑥其他常见垂直关系（1）正方形、矩形、直角梯形

（2）数量积为零转化垂直关系

（3）利用直二面角的定义得其平

面角为直角

(2)异面直线①通过证线面垂直证线线垂直

注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般

是证所在的平面。

注：直棱柱的侧棱垂直于底面，圆柱的母线垂直

于底面

②平移法通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平

移

4.平面与平面垂直

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在

两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小可以

用它的平面角度量.二面角的范围是［0。，180。］.

(2)判定定理

文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

图形语言

符号语言l-La,luRna邛.

(3)性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一

文字语言

个平面垂直.

图形语言/依/

符号语言a上6,aC\fi=atbup,6_La=/?_La.

5.三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

6.判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定埋(a_L6,aua=a_LB).

7.证面面垂直的思路

(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑.

(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联

系到两平面互相垂直的性质定理.

8.常用结论

(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

(4)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

9.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

(4)垂直、平行关系的相互转化

10.垂直与平行的综合问题

求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定

理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

11.与探索性问题有关的解题策略

(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立

的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.

(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中

点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.

12.证明折叠问题中的平行与垂直

关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线

间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对

于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.

13.空间垂直关系的向量表示

位置关系向量表不

直线，2的方向向量分别为〃1,〃2/|1/2n\_L〃2=2IM=O

直线/的方向向量为〃，平面。的法向量为加l-Lan//=km(k£R)

平面Q,夕的法向量分别为〃，相n.Lni<^iim=0

4

W考点精析

考点一线面垂直的判断

1.（2023・全国•高三对口高考）给出下列四个命题：

①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；

②若直线与平面内的任意一条直线都垂宜，则这条直线与平面垂直；

③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；

④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线.

其中正确的命题共有个.

2.（2023・江苏无锡•校联考三模）已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下

列命题中错误的是（）

A.若，，贝IJ

B.若，，则

C.若，，，则

D.若，，，则

3.【多选】（2023•广东珠海・珠海市斗门区第一中学校考三模）已知是两条不相同的直线，是两个不重合

的平面，则下列命题为真命题的是（）

A.若是异面直线，mua、mlI0、〃u0,〃l/a,则.

B.若机_L则

C.若尸，则

D.若〃?"La,n!Ip.a!I,则

4.（2023・全国•高三对口高考）给定空间中的电线/及平面，条件：“直线/与平面内无数条直线垂直''是"直

线i与平面垂直”的（）

A.充分条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件

5.【多选】（2023・河北•校联考一模）如图，在直四棱柱ABO-ASGA中，底面是菱形，点P,Q,M

分别为，，的中点，下列结论正确的有（）

A.平面B.该四棱柱有外接球，则四边形为正方形

C.与平面不可能垂直D.BDLQM

6.（2023・上海・统考模拟预测）在正方体48CO-A4GA中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内

（不含边界）一定存在一点，使得（）

A.B.

C.平面D.平面平面

考点二证线面垂直

7.(2023春•湖南邵阳•高三统考学业考试)如图，在四棱锥P-ABCO中，四边形是边长为2的正方形，与

交于点，面，且.

(1)求证平面.；

(2)求与平面所成角的大小.

8.(2023•河南•洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，

为AC边的中点，E在边上，且EC=2BE,沿AC将进行折叠，使点。运动到点尸的位置，如图2,连

接FO,FB,FE,OE,使得.

(1)证明:平面A8C;

⑵求点到平面的距离.

9.(2023•河南•校联考模拟预测)如图，在三棱柱A4C-44G中，在平面A4C的射影恰为等边三角形A6C

(1)证明：平面：

⑵求二面角的正弦值.

10.(2023・河南开封•校考模拟预测)如图1所示，在长方形中，八4=2八。=2,是的中点，将△人沿

折起，使得ADJ■身W,如图2所示，在图2中.

⑴求证：平面；

⑵求点到平面的距离.

11.(2023•全国•高三对口高考)如图,四棱锥P-ABCD中,底面,

AB1AD,AC1CD^ABC=6O°,PA=AB=BC,E是的中点.

(1)求证：CDLAE；

(2)求证：面；

(3)若，求三楂锥体积.

12.【多选】(2023.辽宁・朝阳市第一高级中学校联考三模)《九章算术》中将底面为直角三角形且侧楂垂

直于底面的三棱柱称为“堑堵”：底面为矩形，•条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三

角形的四面体称为“鳖瞒”，如图在堑堵ABC-A4G中，AC.LBC,且.下列说法正确的是()

A.四棱锥为“阳马”

B.四面体的顶点都在同一个球面匕且球的表面积为

C.四棱锥体积最大值为

D.四面体为“鳖胭”

13.（2023・河南・襄城高中校联考三模）如图，在正四棱台ABCD-A&CQ中，，，，为棱，的中点，棱

上存在一点，使得平面8MNO.

⑵当正四棱台ABC。-AB©。的体积最大时，证明：平面BMNQ.

考点三利用空间向量法证线面垂直

14.（2023•山东潍坊・统考模拟预测）如图，在正三棱锥D-ABC中，，，O为底面ABC的中心，点P在线

UINUHUUI

段DO上，且PO=/iOO,若平面PBC,则实数（）

A.B.C.D.

15.（2023・上海黄浦・上海市大同中学校考三模）如图，直三棱柱ABC-AMG中，/3AC=90,,,D为

8c的中点，E为上的点，且.

(1)求证:8E_L平面；

(2)求二面角的大小.

16.(2023・吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测)如图，已知直三棱柱

ABC—FGE,AC=8C=4,ACJL8C,O为的中点，为侧棱上一点，月.，三棱柱人AC-尸GE的体积为32.

r>^nG

(1)过点作，垂足为点，求证：平面；

⑵求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

17.(2023•江苏镇江•江苏省镇江第一中学校考模拟预测)如图，正三棱柱/中，AB=AI^=2,

点为线段上一点(含端点).

(1)当为的中点时，求证：平面;

(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为.若存在，求出的位置：若不存在，说明理由.

考点四线面垂直的探索性问题

18.(2023・全国•高三专题练习)如图，在直三楂柱A4G中，ZBAC=90°,AB=AC=l.

(1)试在平面内确定一点“，使得平面，并写出证明过程；

(2)若平面与底面所成的锐二面角为60。，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19.(2023・全国•高三专题练习)若图，三棱柱A8C-A8G的侧面是平行四边形，，，且、分别是、的中

点.

⑴求证：平面；

(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20.(2023.全国•高三专题练习)如图，在四棱锥S-A8CD中，四边形A8CO是边长为2的菱形，ZABC

=60。，ASA。为正三角形.侧面S4XL底面A8CQ,E,尸分别为棱A。，S8的中点.

(1)求证：A厂〃平•面SEC；

(2)求证：平面4s4_L平面CS&

(3)在棱SB上是否存在一点M,使得BO_L平面MAC?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

21.(2023春・河南•高三洛阳市第三中学校联考开学考试)如图，四边形是菱形，NAZX?=120。，平面，FB//ED,,

设m二花5()＜几＜1),连接，交于点，连接，.

E

(1)试问是否存在实数，使得平面?若存在，请求出的值，并写出求解过程；若不存在，请说明理由.

(2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

22.(2023春・云南曲靖・高三曲靖市麒麟区第一中学校考阶段练习)在三棱柱ABC-A/IG中，已知

AB=AC=AA=y/5,BC=4,点在底面的射影是线段的中点.

力〈：二..../…y

B

(1)证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；

(2)求二面角的平面角的正切值.

考点五直线与平面垂直性质的应用(证线线垂直)

23.(2023・全国•高三专题练习)已知三棱锥中，△是边长为3的正三角形，A5=AC=AO,AD与平面所成

角的余弦值为.

(1)求证：ADJ.BC、

(2)求二面角的平面角的正弦值.

24.(2023・四川成都・树德中学校考模拟预测)如图所示，在直角三角形中，

ZABC=90,DE//BC,BD=2AD=4,DE=\,将沿折起到的位置，使平面平面，点满足CM=2MP.

(1)证明：BC上ME；

(2)求点到平面的距离.

25.（2023•江西抚州•统考模拟预测）在四面体/WC。中，NBAD=NCBD=§AD=2瓜BC=6,E为

的中点，aACE为等边三角形，则异面直线AC与8E所成角为（）

A.B.C.D.

26.（2023春・重庆万州•高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）如图所示，在四棱锥Q-A8CD中,

平面，四边形为正方形，PA=AB=\,,为线段上的点（不包括端点），则（）

A.B.平面

C.二面角的大小为定值D.的最小值为

27.（2023春・上海徐汇•高三上海民办南模中学校考阶段练习）在正方体中，点分别是线

段上的点（不为端点），给出如下两个命题：①对任意点，均存在点，使得；②存在点，对任意的，均有

则（）

A.①②均正确B.①②均不正确

C.①正确，②不正确D.①不正确，②正确

28.（2023•湖南郴州•安仁县第一中学校联考模拟预测）在三棱锥中，已知为正三角形，CA=CB=45,AB=2.

⑴求证：；

（2）若，求二面角的正弦值.

29.（2023・全国•高三对口高考）如图，已知矩形，AB=1、BC=6.将沿矩形的对角线所在的直线进行翻

折，在翻折过程中，（）

A1

A.对任意位置,三组直线“与”，“与”,“与”均不垂直

B.存在某个位置，使得直线与直线垂直

C.存在某个位置，使得直线与直线垂直

D.存在某个位置，使得直线与直线垂直

30.（2023春•重庆•高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点尸是半圆弧上一-动点

（点P与点8,C不重合），E为弧的中点，AB=AD=4.

⑴证明：；

（2）若平面与平面所成的锐二面角的平面角为，求此时点。到平面的距离.

考点六利用线面垂直求体积

31.（2023•全国•统考高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，出"PIC的中点分别为，点在上，BF1AO.

⑴求证：〃平面；

（2）若NPOb=120。，求三棱锥的体积.

32.（2023•天津•统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥P-AMN和三

棱锥的体积之比为（）

A.B.C.D.

33.（2023・全国•高三对口高考）三楂锥的侧棱、、两两垂直，测面面积分别是6,4,3,则三楂锥的体积

是（）

A.4B.6C.8D.10

34.（2023•全国•统考高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，/M=P8=2,PC=G，则该棱锥

的体积为（）

A.1B.C.2D.3

考点七面面垂直的判断

35.（2023・全国•高一:专题练习）已知〃?，〃是两条不同的直线，”，夕是两个不同的平面，有以下四个命题:

①若，，则②若，，则

③若，，则④若，，，则

其中正确的命题是（）

A.②③B.②④C.①③D.①②

36.【多选】（2023•重庆万州・重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知，为不同的直线，，为不同的平面,

则下列说法错误的是（）

A.若，，，则B.若，，，则

C.若，，，贝I」D.若，，，则

37.（2023・四川成都•校考模拟预测）如图，在已知直四棱柱ABC。-口中，四边形为平行四边形,

分别是的中点，以下说法错误的是（）

A.若，，则

B.MNHCD

C.平面

D.若,则平面平面

38.【多选】（2023•广东•高三专题练习）已知直线与平面有公共点，则下列结论一定正确的是（）

A.平面内存在直线与直线平行

B.平面内存在直线与直线垂直

C.存在平面与直线和平面都平行

D.存在过直线的平面与平面垂直

39.（2023・陕西咸阳・统考模拟预测）如图所示的菱形中，A8=2,N84Q=60,对角线交于点，将沿折到位

置，使平面平面.以下命题：

①。r>_L4C；

②平面平面；

③平面平面；

④三棱锥体积为.

其中正确命题序号为（）

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

考点八证面面垂直

40.（2023・河南•校联考模拟预测）在四棱锥P-A3C。中，45//CD,,,,为等边三角形，ZPDC=ZADC=45°.

（1）证明：平面平面P3G

（2）求点C到平面丛3的距离.

41.（2023•贵州•校联考模拟预测）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧

道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，

EF〃AB,EF=6,EA=ED=FB=FC=3.

(1)证明：平面平面.

(2)求四棱锥C-ABFE的体积.

42.(2023•辽宁锦州•统考模拟预测)在直角梯形中(如图一)，AB//DC,AO_LOC,.将沿折起，使AO_L

(如图二).

(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.

43.(2023•峡西西安,西北工业大学附属中学校考模拟预测)如图，已知三棱柱ABC-A4G,4c8=90。，，

为线段上的动点，.

(1)求证：平面平面；

(2)若，为线段的中点，AC=28C=2,求与平面所成角的正弦值.

44.(2023•四川成都♦石室中学校考模拟预测)如图，四边形ABC。为菱形，平面A8C。，，BD=ED=2FB.

(1)求证：平面&)£F_L平面AFC：

(2)记三棱锥的体枳为，三棱锥的体积为，求的值.

45.(2023・湖北武汉♦武汉二中校联考模拟预测)如图，在三棱柱A8C-中，底面是边长为4的等边

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

46.(2023・云南•校联考三模)如图，在三楼台ABC-AB©中.4c=8,/W=AC=5,AG=CC；=4,分别

为，的中点，侧面为等腰梯形.

(1)证明：平面平面；

(2)记二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.

47.(2023•全国•统考高考真题)如图，在三棱柱A4C中，平面A3C,NAC3=90。.

(1)证明：平面平面；

(2)设AB=A&A4,=2,求四棱锥A-88CC的高.

48.(2023春•江苏•高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习)在三棱柱ABC-A4cl中，侧面，为棱的中

点，三角形为等边三角形,

(1)求证：面面；

(2)求二面角的平面角的余弦值.

49.(2023・上海虹I」•华东师范大学第一附属中学校考三模)已却圆锥的顶点为S,底面圆心为。，半径为

2,母线S4、S8的长为，/408=90。且M为线段A8的中点.

(1)证明:平面SOM平面SAB；

(2)求直线SM与平面SOA所成角的大小.

考点九利用空间向量法证面面垂直

50.(2023•北京・北京四中校考模拟预测)如图，正三棱柱ABC-ABC1中，分别是棱上的点，.

⑴证明：平面平面；

(2)若AC=AE=2,求二面角的余弦值.

51.(2023・河南开封•校考模拟预测)如图，在四棱雉入"8中，底面为正方形，底面48CDPA=A8=4,E

为的中点.

(1)求证：平面平面:

(2)求二面角的余弦值.

52.(2023•北京丰台•北京丰台二中校考三模)如图，在四楂锥P-ABCD中，平面，AOJLC。，AD//BC,

Q4=AO=a)=2,.为的中点，点在上，且.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面所成角的余弦值；

(3)若棱上一点，满足尸G=2G8,求点到平面的距离.

考点十面面垂直的探索性问题

53.(2023春・江西宜春•高三校考开学考试)如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面为矩形，底面，，为线段

上的一点，且PE=2PB，为线段上的动点.

(1)当为何值时，平面平面，并说明理由；

(2)若，，平面平面，匕=1：6,求出点到平面的距离.

54.(2023春•安徽滁州•高三校考开学考试)如图，在三棱锥中，平面，，ZABC=120,,为线段上一点,

且BCLBD.

p

R

(1)在线段上求一点，使得平面平面，并证明；

(2)求二面角的余弦值.

55.(2023春・浙江温州•高三统考开学考试)如图，在四楂锥尸-ABCO中，底面是边长为的菱形且,

(1)求的值；

(2)若BH=ABP，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

56.(2023・全国•高三专题练习)如图，已知四棱锥P-A8co的底面是平行四边形，侧面南8是等边三角

形，BC=2AB,ZABC=60°,.

⑴求证：面面ABC。；

(2)设Q为侧棱PO上一点，四边形8EQ尸是过8,Q两点的截面，且平面是否存在点0,使得平面

平面以。？若存在，确定点。的位置；若不存在，说明理由.

考点十一面面垂直性质的应用

57.(2023•湖南衡阳•校考模拟预测)如图，AADM是等腰直角三角形，ADVDM,四边形是直角梯形，，

MC1BC,且A8=23C=2cM=2,平面平面.

⑴求证：AD1BM；

(2)若点E是线段上的一动点，问点E在何位置时，三棱锥”-八。石的体枳为?

58.(2023•吉林长春•长春吉大附中实验学校校考模拟预测)如图，三棱台A8C-4MG，,,平面平面,

AB=6,BC=4,,与相交于点，AE=2EB，且〃平面.

(1)求三棱锥的体积；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

59.(2023•北京•人大附中校考三模)已知四棱锥尸-ABC。的底面为梯形，且AB7C。，又以_1_人力,

AB=AD=\,,平面平面，平面平面.

(1)判断直线和的位置关系，并说明理由；

(2)若点到平面的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小.

①CO_LAO：

②为二面角的平面角.

60.(2023春•贵州黔东南•高三校考阶段练习)如图，在四棱锥O-人AC7)中，底面ABCO为菱形，为正三

角形，平面平面，ZAPC=60°.

(2)若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

61.(2023春•贵州黔东南•高三校考阶段练习)如图，在四棱锥O-A8CD中，底面为菱形，为正三角形,

平面平面，ZAT>C=60o.

(1)证明：OAA.CD；

(2)若为线段上靠近的三等分点，且平面，平面平面，平面，求的值.

62.(2023・重庆・统考模拟预测)如图.在直三棱柱ABC-中，48=明==2,平面平面.

⑴求点A到平面的距离；

(2)设。为的中点，求平面与平面夹角的正弦值.

考点十二平行与垂直的综合问题

63.(2023•全国•统考高考真题)如图,在三棱锥中，，，，，BP,AP,的中点分别为D,E,O,,点

尸在AC上，BFLAO.

(1)证明：平面；

(2)证明：平面平面BEE

(3)求二面角的正弦值.

64.(2023・全国•高三对口高考)如图所示，直三棱柱ABC-A与G中，=AG,,、分别是、的中点.

(1)求证：平面；

⑵求证：；

(3)求证：平面平面；

(4)求与的夹角.

65.(2023・全国•高三对口高考)如图，在四棱锥--48。中，，AB1AD,AB=AD=AP=2CD=2,M

是棱上一点.

(1)若求证：平面；

⑵若平面平面，平面平面，求证：平面I

(3)在(2)的条件下，若二面角A-4C-M的余弦值为，求的值.

考点十三平行、垂直关系与几何体的度量

66.(2023•全国•镇海中学校联考模拟预测)如图，在直四棱柱ABC。-A4CQ中，四边形为平行四边形，，

ZAM/?=60°.

(1)证明：与平面的交点为的重心；

⑵再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求直线与平面所成角的正弦值.

条件①：；

条件②：面与面所成角的正切值为.

67.（2023•天津•统考高考真题）三棱台A4G中，若面A4cA4_LAC,A4=AC=AA,=2,AG=1,

⑵求平面与平面所成夹角的余弦值：

(3)求点到平面的距离.

68.(2023・全国•高三专题练习)如图，在四棱锥P-A4CO中，四边形是平行四边形，点尸为的中点.

(1)已知点G为线段的中点，求证；C产〃平面;

⑵若Q4=AB=2,直线与平面所成的角为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择几个作为己知，

使四棱锥尸-488唯一确定，求：

(i)直线到平面的距离；

(»)二面角的余弦值.

条件①：平面；

条件②：；

条件③：平面平面.

69.(2023・全国•高三对口高考)如图，四棱锥P-ABCQ的底面是矩形，平面，E、尸分别是、的中点，又

二面角尸一大小为.

(1)求证：平面；

(2)求证：平面平面；

⑶设=2,|cq=2V2,求点A到平面的距离.

70.(2023•海南海口•统考模拟预测)如图，四棱锥户-AAC。中，ABHCD,ABJ.AD,平面平面.

(1)证明：平面平面：

⑵若4)=245=2,,,与平面所成的角为，求的最大值.

考点36空间直线、平面的垂直13种常见考法归类

考点一线面垂直的判断考点八证面面垂直

考点二证线面垂直考点九利用空间向量法证面面垂直

考点三利用空间向量法证线面垂直考点十面面垂直的探索性问题

考点四线面垂直的探索性问题考点I-面面垂直性质的应用

考点五直线与平面垂直性质的应用(证线线垂直)考点十二平行与垂直的综合问题

考点六利用线面垂直求体积考点十三平行、垂直关系与几何体的度量

考点七面面垂直的判断

i.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相垂直，

记作LLa.直线/叫做平面。的垂线，平面a叫做直线/的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点尸

叫做垂足.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.

(2)判定定理

文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

图形语言

符号语言lA.ni,wc«,nua,〃?n〃=A=/_La.

(3)性质定理

文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.

aa

图形语言

符号语言a_La,b±a=hi//b.

注：证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与

性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思路.

2.证明线面垂直的方法：

一是线面垂直的判定定理；

二是利用面面垂直的性质定理(a邛,an£=a,/_Lm/u夕n/_La)；

三是平行线法(。〃力，：

若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面；

四是利用面面平行的性质（〃_La,a〃ga邛）：

一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直；

解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直

关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、

菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等.

4.常见证明线线垂直的常用方法:

（1）相交直线①等腰三角形（等边三角形）的如图：AB=AC,D为BC中点，则A£>_L3C

“三线合一”

②勾股定理的逆定理如图：如果，则

③正方形、菱形的对角线互相垂如图：四边形ABCD是菱形，所以

直

C

④直径所对的圆周角是

如图：AB是圆的直径，ZACB=W

⑤相似（全等）转化出直角（需若在正方形ABCD中，E,F分别是BC和CD的

证明）中点，则有

/4.__________

f

RVFC0V上1

证明如下：易证

Rt^ABE=Rt\BCF

Z2=Z3,Z1+Z2=9O°

Zl+Z3=90°

⑥其他常见垂直关系（1）正方形、矩形、直角梯形

（2）数量积为零转化垂直关系

（3）利用直二面角的定义得其平

面角为直角

(2)异面直线①通过证线面垂直证线线垂直

注：若题目要证已知且是异面直线，要证，一般

是证所在的平面。

注：直棱柱的侧棱垂直于底面，圆柱的母线垂直

于底面

②平移法通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平

移

4.平面与平面垂直

(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任一点为端点，在

两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的大小可以

用它的平面角度量.二面角的范围是［0。，180。］.

(2)判定定理

文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

图形语言

符号语言l-La,luRna邛.

(3)性质定理

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一

文字语言

个平面垂直.

图形语言/依/

符号语言a上6,aC\fi=atbup,6_La=/?_La.

6.三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

6.判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定埋(a_L6,aua=a_LB).

7.证面面垂直的思路

(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面.这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑.

(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联

系到两平面互相垂直的性质定理.

8.常用结论

(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(3)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

(4)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

9.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

(4)垂直、平行关系的相互转化

10.垂直与平行的综合问题

求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有平面垂直时，一般要用性质定

理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

11.与探索性问题有关的解题策略

(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立

的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.

(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中

点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.

12.证明折叠问题中的平行与垂直

关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变.一般地，折叠前位于“折痕”同侧的点、线

间的位置和数量关系折叠后不变，而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化.对

于不变的关系可在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.

13.空间垂直关系的向量表示

位置关系向量表不

直线，2的方向向量分别为〃1,〃2/|1/2n\_L〃2=2IM=O

直线/的方向向量为〃，平面。的法向量为加l-Lan//=km(k£R)

平面Q,夕的法向量分别为〃，相n.Lni<^iim=O

3考点精析

考点一线面垂直的判断

1.（2023・全国,高三对口高考）给出下列四个命题:

①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直;

②若直线与平面内的任意一条直线都垂宜，则这条直线与平面垂直;

③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线;

④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线.

其中正确的命题共有个.

【答案】②③

【分析】根据线面垂直的定义，以及线面垂直的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】①中，根据线面垂直的判定定理，直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线与平面垂直,

所以①不正确;

②中，根据直线与平面垂直的定义知，若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直,

所以②正确;

③中，因为梯形的两腰在同一平面内，且不平行，所以两腰时相交直线，若直线垂直于梯形的两腰所在的

直线，可得直线垂直梯形底面所在的平面，所以这条直线垂直于两底边所在的直线，所以③正确;

④中，因为梯形的两底所在的直线相互平行，根据线面垂直判定定理，直线与这个平面不一定垂直，这条

直线不一定垂直于两腰所在的直线，所以④不正确.

故答案为：②③

2.（2023・江苏无锡•校联考三模）已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下

列命题中错误的是（）

A.若，，则

B.若，，则

C.若，，，则

D.若，，，则

【答案】A

【分析】设出、、的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断B,C,D；根据线面关系判断A.

【详解】设平面、、的法向量分别为、、，直线，的方向向量为，，

对于A：若，，则或，故A错误；

对于B：若，则，又,则，所以，则，故B正确；

对于C：若，，则，，又，贝IJ,所以，则，故C正确；

对于D：因，，则，，因此向量、共面于平面，

令直线的方向向量为，显然，，

而平面，即、不共线，于是得，所以，故D正确.

故选：A

3.【多选】（2023•广东珠海・珠海市斗门区第一中学校考三模）已知是两条不相同的直线，是两个不重合

的平面，则下列命题为真命题的是（）

A.若是异面直线,。,川ia,则.

B.若〃?_L4，贝ij

C.若〃//a,〃_!_〃，则

D.若加_La,〃//0a〃夕,则

【答案】ACD

【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.

【详解】对于A,mua,m〃p,则平面内必然存在一条直线，使得，并且，

同理，在平面内必然存在一条直线，使得，并且，由于是异面直线，与是相交的，〃与也是相交的，

即平面内存在两条相交的直线，分别与平面平行，，正确：

设，并且〃?/〃,〃/〃，则有机//人〃〃。，显然是相交的,错误;

对于B,若，则不成立，错误；

对于C,若，则平面上必然存在一条直线/与〃平行，，即，正确；

对于D,若，必然存在一个平面，使得，并且，，又〃?正确；

故选:ACD.

4.（2023・全国•高三对口高考）给定空间中的直线/及平面，条件：“直线/与平面内无数条直线垂直”是“直

线，'与平面垂直”的（）

A.充分条件B.充分非必要条件

C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件

【答案】C

【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理即可•判定二者间的逻辑关系.

【详解】由直线/与平面内无数条直线垂直，可得/与平面相交或或；

由直线/与平面垂直，可得直线/与平面内任意一条直线垂直.

则“直线/与平面内无数条直线垂直”是“直线/与平面垂直”的必要非充分条件.

故选：c

5.【多选】（2023・河北•校联考一模）如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点P,Q,M

分别为，，的中点，下列结论正确的有（）

2Wc

A.平面B.该四棱柱有外接球，则四边