2025高考数学一轮复习§6.7数列中的综合问题【课件】

第六章§6.7数列中的综合问题数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容.一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n项和公式等.课标要求例1

已知公差不为0的等差数列{an}满足a2＝6，a1，a3，a7成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；题型一等差数列、等比数列的综合运算根据题意，设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由于a2＝6，a1，a3，a7成等比数列，∴an＝2n＋2.(2)设bn＝n·

，求数列{bn}的前n项和Sn.由bn＝n·22n＝n·4n，则Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，

①4Sn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1，

②①－②得，－3Sn＝4＋42＋43＋…＋4n－n·4n＋1数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.跟踪训练1

(2024·无锡模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，a3是a1，a13的等比中项，S5＝25.(1)求{an}的通项公式；∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋bn＋1＝Sn，求b20.bn＋1＋bn＋2＝(n＋1)2，

②②－①得，bn＋2－bn＝2n＋1，∵b1＝－1，∴b2＝2.∴b20＝b20－b18＋b18－b16＋…＋b4－b2＋b2＝37＋33＋29＋…＋5＋2题型二数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇√方法一当n取奇数时，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；同理可得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确；同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确；因为b4<b8，b7>b8，所以b4<b7，故D正确.方法二(特殊值法)逐一判断选项可知选D.√所以a≥－2；例3

已知函数f(x)是定义在R上的严格增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a1012>0，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2022)＋f(a2023)的值A.恒为正数

B.恒为负数C.恒为0 D.可正可负命题点2数列与函数的交汇√因为函数f(x)是R上的奇函数且是严格增函数，所以f(0)＝0，且当x>0时，f(x)>0;当x<0时，f(x)<0.因为数列{an}是等差数列，a1012>0，故f(a1012)>0.再根据a1＋a2023＝2a1012>0，所以a1>－a2023，则f(a1)>f(－a2023)＝－f(a2023)，所以f(a1)＋f(a2023)>0.同理可得f(a2)＋f(a2022)>0，f(a3)＋f(a2021)>0，…，所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2022)＋f(a2023)＝[f(a1)＋f(a2023)]＋[f(a2)＋f(a2022)]＋…＋[f(a1011)＋f(a1013)]＋f(a1012)>0.数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.跟踪训练2(1)分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案.自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等.如图为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为√设第n个正方形的边长为an，则由已知可得an＝an＋1sin15°＋an＋1cos15°，－1则数列{xn}是等差数列，公差为4，且f(xn)＝－2，n∈N*，因此A＝2，函数f(x)的最小正周期是4，课时精练123456789101112一、单项选择题1.(2023·广州模拟)已知f(x)＝2x2，数列{an}满足a1＝2，且对一切n∈N*，有an＋1＝f(an)，则A.{an}是等差数列B.{an}是等比数列C.{log2an}是等比数列D.{log2an＋1}是等比数列√123456789101112所以log2an＋1＝1＋2log2an，所以log2an＋1＋1＝2(log2an＋1)，n∈N*，所以{log2an＋1}是等比数列，又log2a1＋1＝2，所以log2an＋1＝2n，所以log2an＝2n－1，故A，B，C错误，D正确.2.(2024·铜仁模拟)为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路·科普万里行”知识竞赛.统计发现，10个班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成绩的第40百分位数为A.76B.77C.78D.80√123456789101112记10个班级的平均成绩形成的等差数列为{an}，则an＝70＋2(n－1)＝2n＋68，123456789101112123456789101112√123456789101112设等比数列{an}的公比为q，1234567891011124.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果该塔形几何体的最上层正方体的棱长等于1，那么该塔形几何体中正方体的个数是A.5B.7C.10D.12√123456789101112令an＝1，得n＝7，故该塔形几何体中正方体的个数为7.123456789101112√123456789101112而要满足an>an＋1，故{an}要单调递减，当n≤7时，an＝an－6，而要满足an>an＋1，故{an}要单调递减，所以0<a<1，123456789101112√123456789101112∵f′(x)＝x2＋2ax＋b，∴x1＋x2＝－2a<0，x1x2＝b>0，∴x1，x2为两个不等的负数，不妨设x1<x2<0，则必有x1，x2，2(或2，x2，x1)成等差数列，x1，2，x2(或x2，2，x1)成等比数列，故有2x2＝x1＋2，x1x2＝4，解得x1＝－4，x2＝－1，123456789101112√√123456789101112对于A，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋1－2(n－1)2－1＝4n－2，a1＝S1＝3，a2＝6，a3＝10，a3－a2≠a2－a1，{an}不是等差数列，故A错误；123456789101112对于C，若{an}是等差数列，对于D，若an＝1，则Sn＝n，S99·S101＝99×101＝9999，1234567891011128.(2024·唐山模拟)如图，△ABC是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到△A1B1C1，再连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，…，如此继续下去，设△AnBnCn的边长为an，△AnBnCn的面积为Mn，则√√√123456789101112显然△AnBnCn是正三角形，123456789101112123456789101112当A，C，B三点共线时，a1＋a2023＝1，由等差数列的求和公式可得三、填空题12345678910111210.已知数列{an}为等比数列，a2a3a4＝64，a6＝32，数列{bn}满足bn＝log2an＋1，若不等式4λ≥bn[1－(n＋4)λ]对于任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为____________.123456789101112解得a3＝4，解得q＝2，a1＝1，所以an＝2n－1，bn＝log2an＋1＝n，则原不等式等价于4λ≥n[1－(n＋4)λ]，123456789101112四、解答题11.(2022·新高考全国Ⅱ)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)证明：a1＝b1；123456789101112123456789101112设等差数列{an}的公差为d，由a2－b2＝a3－b3，得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1；由a2－b2＝b4－a4，得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d，将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数.123456789101112123456789101112由(1)知an＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，bn＝b1·2n－1，由bk＝am＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，由a1＝b1≠0得2k－1＝2m，由题知