2025高考数学一轮复习§2.8对数与对数函数【课件】

第二章§2.8对数与对数函数1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.课标要求内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作

，其中

叫做对数的底数，

叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数，记作

.以e为底的对数叫做自然对数，记作

.x＝logaNaNlgNlnN2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质：loga1＝

，logaa＝

，

＝

(a>0，且a≠1，N>0).(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝

；②

＝

；③logaMn＝

(n∈R).(3)对数换底公式：logab＝

(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).01NlogaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM3.对数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

定义域__________值域____(0，＋∞)R

a>10<a<1性质过定点

，即x＝1时，y＝0当x>1时，

；当0<x<1时，_____当x>1时，

；当0<x<1时，_____

函数

函数(1,0)y>0y<0y<0y>0增减4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数

(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线

对称.y＝logaxy＝x1.logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，

＝

logab(a>0，且a≠1，b>0).2.如图，给出4个对数函数的图象.则b>a>1>d>c>0，即在第一象限内，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若M＝N，则logaM＝logaN.(

)(2)函数y＝loga2x(a>0，且a≠1)是对数函数.(

)(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)是增函数.(

)(4)函数y＝log2x与y＝

的图象关于x轴对称.(

)√×××2.(2023·雅安模拟)已知xlog32＝1，则4x等于√xlog32＝1，所以3.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为√f(x)＝loga|x|＋1的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝logax＋1(a>1)单调递增.结合选项可知选A.返回对于函数y＝loga(x－1)＋4，令x－1＝1，解得x＝2，则y＝4，所以函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点(2,4)，即点P的坐标是(2,4).4.已知函数y＝loga(x－1)＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是______.(2,4)第二部分探究核心题型例1

(1)(2024·洛阳模拟)已知3a＝5b＝m，且

＝1，则实数m的值为______.题型一对数式的运算45由3a＝5b＝m，可知m>0，显然m≠1.所以m＝45.＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.2解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.(2)将同底对数的和、差、倍合并.(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.跟踪训练1

(1)若a>0，

＝

，则

等于A.2B.3C.4D.5√所以(2)计算：lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝_____.2原式＝2lg5＋lg2(1＋lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2＋lg2×lg5＋(lg2)2＝1＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝1＋lg5＋lg2＝1＋lg10＝2.例2

(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是A.0<a－1<b<1B.0<b<a－1<1C.0<b－1<a<1D.0<a－1<b－1<1题型二对数函数的图象及应用√由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，综上，0<a－1<b<1.(2)已知函数f(x)＝

若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是A.[10,12] B.(10,12]C.(10,12) D.[10,12)√不妨设a<b<c，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可知0<a<1<b<10<c<12，由f(a)＝f(b)，得|lga|＝|lgb|，即－lga＝lgb，∴lgab＝0，则ab＝1，∴abc＝c，又10<c<12，∴abc的取值范围是(10,12).对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.跟踪训练2

(1)(2024·乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数f(x)＝ax与g(x)＝

(a>0且a≠1)在同一坐标系中的大致图象是√对于A，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，由指数函数的图象，可得0<a<1，则

>1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故C正确；对于D，由指数函数的图象，可得a>1，则0<<1，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，故D错误.(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为√由函数y＝ax的图象可得a>1.当a>1时，y＝logax经过定点(1,0)，为增函数.因为y＝logax与y＝loga(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝loga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数.而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0,0),为减函数.结合选项可知选D.题型三对数函数的性质及应用例3已知a＝log20.3，b＝ln3，c＝log32，则a，b，c的大小关系为A.a>b>c

B.b>c>aC.b>a>c

D.c>a>b√命题点1比较对数式的大小∵a＝log20.3<log21＝0，b＝ln3>lne＝1，0＝log31<log32<log33＝1，即0<c<1，∴b>c>a.命题点2解对数方程、不等式√例5

(2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)命题点3对数函数的性质及应用√由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为定义域上的奇函数，故排除A，C；f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.跟踪训练3

(1)(2023·宜宾模拟)已知函数f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是A.[2，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1] D.(－∞，0]√由题意得，x2－2x>0⇒x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，而函数y＝x2－2x的对称轴为x＝1，所以函数y＝x2－2x在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，函数f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，又因为函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以a∈[2，＋∞).√可知0<a<1.返回课时精练一、单项选择题1234567891011121314√12345678910111213142.若函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(log28)等于A.－1B.1C.2D.3√依题意，函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，则a＝3，所以f(x)＝log3x，于是得f(log28)＝log3(log28)＝log33＝1.12345678910111213143.若

，则x1与x2的关系正确的是A.0<x2<x1<1 B.0<x1<x2<1C.1<x1<x2

D.1<x2<x1√1234567891011121314因为所以log0.8x2<log0.8x1<0＝log0.81，又因为y＝log0.8x在(0，＋∞)上单调递减，所以1<x1<x2.4.已知函数f(x)＝loga(x－b)(a>0，且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是A.a>0，b<－1 B.a>0，－1<b<0C.0<a<1，b<－1 D.0<a<1，－1<b<0√1234567891011121314因为函数f(x)＝loga(x－b)为减函数，所以0<a<1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以令x－b＝1，则x＝1＋b>0，即b>－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1<b<0.12345678910111213145.(2024·通化模拟)设a＝log0.14，b＝log504，则A.2ab<2(a＋b)<ab

B.2ab<a＋b<4abC.ab<a＋b<2ab

D.2ab<a＋b<ab1234567891011121314√1234567891011121314因为a＝log0.14，b＝log504，所以a<0，b>0，所以ab<0，所以2ab<a＋b<ab.√12345678910111213146.(2023·银川模拟)当0<x<时，

<logax(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是1234567891011121314二、多项选择题7.(2023·西宁模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)，则下列说法正确的是A.f(x)的定义域为(－2,4)B.f(x)在区间(－2,1)上单调递增C.f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减D.f(x)的图象关于直线x＝1对称1234567891011121314√√√所以f(x)的定义域为(－2,4)，故A正确；函数f(x)＝ln(x＋2)＋ln(4－x)＝ln[(x＋2)(4－x)]＝ln(－x2＋2x＋8)(－2<x<4)，令t＝－x2＋2x＋8，则函数t＝－x2＋2x＋8在(－2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，又y＝lnt是增函数，所以f(x)在(－2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，故B正确，C错误；1234567891011121314又t＝－x2＋2x＋8的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确.12345678910111213148.(2023·济宁模拟)若10a＝2,10b＝5，则下列结论中正确的是A.a＋b＝1 B.5a<2bC.5a<2b

D.2a＋2b>21234567891011121314√√1234567891011121314由题意可得a＝lg2，b＝lg5，所以a＋b＝lg2＋lg5＝lg10＝1，故A正确；5a＝5lg2＝lg25＝lg32,2b＝2lg5＝lg52＝lg25，所以5a>2b，故B不正确；因为5a·2a＝10a＝2,2b·2a＝2a＋b＝2，所以5a·2a＝2b·2a，所以5a＝2b，故C不正确；三、填空题1234567891011121314原式＝2lg5＋2lg2－3log23×log32＋3＝2(lg5＋lg2)－3＋3＝2.210.设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)，

≤x≤4，则f(x)的最大值为_____.12f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(log24＋log2x)(log22＋log2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，∴当t＝2时，g(t)取得最大值12，即f(x)的最大值为12.1234567891011121314四、解答题11.(2024·武威模拟)已知函数f(x)＝

的图象关于原点对称，其中a为常数.(1)求a的值；12345678910111213141234567891011121314因为f(x)＝

的图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，所以其定义域也关于原点对称，即(1－ax)(x－1)>0，要使定义域关于原点对称，显然a≠0，令(1－ax)(x－1)＝0，1234567891011121314由定义域关于原点对称可知x1＋x2＝0，所以a＝－1，经检验，a＝－1成立.(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋

<m恒成立，求实数m的取值范围.12345678910111213141234567891011121314由题可知f(x)＋因为x∈(1，＋∞)，所以又因为f(x)＋

<m恒成立，所以m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞).123456789101112131412.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函数.(1)求k的值；∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，∴k＝－1.1234567891011121314(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1).1234567891011121314由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9