2025年高考数学一轮复习之集合

第1页（共1页）2025年高考数学一轮复习之集合一．选择题（共10小题）1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4，6}，B＝{4，5}，则A∩（∁UB）＝（）A．{3，6} B．{1，3，6} C．{3，4，6} D．{1，3，4，6}2．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∪（∁RB）＝（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}3．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a＝（）A．1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣14．已知集合M＝{x|log2x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣1，4） D．（﹣1，2）5．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，C＝A∩B，则集合C的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．86．设集合A＝{2，a2﹣a+2，1﹣a}，若4∈A，则a的值为（）A．﹣1，2 B．﹣3 C．﹣1，﹣3，2 D．﹣3，27．下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（）A． B． C． D．8．已知集合A＝{x∈N|x2≤4}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2}9．设全集为U，定义集合A与B的运算：A#B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，则（A#B）#A＝（）A．A B．B C．A∩∁UB D．B∩∁UA10．已知集合A＝{x|﹣5＜x≤1}，B＝{x|x2≤9}，则A∪B＝（）A．[﹣3，1） B．[﹣3，1] C．（﹣5，3] D．[﹣3，3]二．填空题（共5小题）11．已知全集U＝R，集合A={x|3-2xx+5≥0}，集合B＝{x||x|＞2}，则A∩（12．设集合A＝{x|1⩽x2⩽a2﹣6}，B＝{x|﹣3⩽x⩽a﹣1}，若A⊆B，则实数a的取值范围为．13．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，则实数a的取值范围是．14．对于任意两个正实数a，b，定义a⊗b=λ⋅ab，其中常数λ∈(22，1)．若u≥v＞0，且u⊗v与v15．已知集合A＝{1，3，4}，B＝{a，a+1}，若A∩B＝B，则a＝．三．解答题（共5小题）16．设k是正整数，集合A至少有两个元素，且A⊆N*．如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有|x﹣y|≠k，则称A具有性质P（k）．（1）试判断集合B＝{1，2，3，4}和C＝{1，4，7，10}是否具有性质P（2）？并说明理由；（2）若集合A＝{a1，a2，⋯，a12}⊆{1，2，⋯，20}，求证：A不可能具有性质P（3）；（3）若集合A⊆{1，2，⋯，2023}，且同时具有性质P（4）和P（7），求集合A中元素个数的最大值．17．已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果∀x，y∈S，总有x+y，x﹣y，x•y∈S，则称S是数环．设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；②∀x，y∈F且y≠0，有xy∈F，则称F（1）求元素个数最小的数环Ŝ（2）证明：记Q(3)={（3）若F1，F2是数域，判断F1∪F2是否是数域，请说明理由．18．设集合S、T为正整数集N*的两个子集，S、T至少各有两个元素．对于给定的集合S，若存在满足如下条件的集合T：①对于任意a，b∈S，若a≠b，都有ab∈T；②对于任意a，b∈T，若a＜b，则ba∈S．则称集合T为集合S（1）若集合S1＝{1，3，9}，求S1的“K集”T1；（2）若三元集S2存在“K集”T2，且T2中恰含有4个元素，求证：1∉S2；（3）若S3＝{x1，x2，⋯，xn}存在“K集”，且x1＜x2＜⋯＜xn，求n的最大值．19．已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B，（∁RA）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．20．已知集合P={x|12≤x≤2}，y＝log2（ax（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程log2(a

2025年高考数学一轮复习之集合参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，4，6}，B＝{4，5}，则A∩（∁UB）＝（）A．{3，6} B．{1，3，6} C．{3，4，6} D．{1，3，4，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】B【分析】由已知利用补集概念求解∁UB，再由交集运算的定义得答案．【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5}，∴∁UB＝{1，2，3，6}，又A＝{1，3，4，6}，∴A∩（∁UB）＝{1，3，6}．故选：B．【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．2．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∪（∁RB）＝（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】B【分析】根据集合的定义计算即可．【解答】解：由A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，所以∁RB＝{x|x≥1}，所以A∪（∁RB）＝{x|x≥﹣1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．3．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a＝（）A．1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】C【分析】依题意可得a+2＝3或a+2＝a2，求出a，再代入检验即可．【解答】解：因为合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}且B⊆A，所以a+2＝3或a+2＝a2，解得a＝1或a＝﹣1或a＝2，当a＝±1时a2＝1，集合A不满足元素的互异性，故a≠±1，当a＝2时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．4．已知集合M＝{x|log2x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣1，4） D．（﹣1，2）【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】B【分析】分别解不等式可得集合M与N，进而可得M∩N．【解答】解：∵M＝{x|log2x＜2}＝（0，4），N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝（﹣1，2），∴M∩N＝（0，2），故选：B．【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．5．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，C＝A∩B，则集合C的子集个数为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】子集与真子集．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】C【分析】根据给定条件，求出集合C即可得解．【解答】解：集合A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，1}，则C＝A∩B＝{0，1}，所以集合C的子集个数为22＝4．故选：C．【点评】本题考查子集的应用，属于基础题．6．设集合A＝{2，a2﹣a+2，1﹣a}，若4∈A，则a的值为（）A．﹣1，2 B．﹣3 C．﹣1，﹣3，2 D．﹣3，2【考点】元素与集合关系的判断．【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据已知条件，结合集合元素的互异性，即可求解．【解答】解：集合A＝{2，a2﹣a+2，1﹣a}，4∈A，∴a2﹣a+2＝4或1﹣a＝4，当a2﹣a+2＝4时，a＝﹣1或a＝2，若a＝﹣1，则1﹣a＝2不满足集合中元素的互异性，故a≠﹣1，若a＝2，则集合A＝{2，4，﹣1}满足题意，当1﹣a＝4时，a＝﹣3，a2﹣a+2＝14，集合A＝{2，14，4}满足题意，综上所述，a＝2或﹣3．故选：D．【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断，属于基础题．7．下列Venn图能正确表示集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x2﹣2x＝0}关系的是（）A． B． C． D．【考点】Venn图表集合的包含关系．【专题】整体思想；综合法；集合；数学抽象．【答案】B【分析】由已知先求出集合N，然后结合集合的包含关系进行判断即可．【解答】解：因为N＝{x|x2﹣2x＝0}＝{0，2}，M＝{0，1，2}，故N⊆M．故选：B．【点评】本题考查集合的表示法及包含关系的判断，考查数形结合思想，属于基础题．8．已知集合A＝{x∈N|x2≤4}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{0，1，2} C．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2}【考点】求集合的交集．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】B【分析】求出集合A，利用交集定义能求出结果．【解答】解：∵A＝{x∈N|x2≤4}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，∴由交集定义得A∩B＝{0，1，2}．故选：B．【点评】本题考查集合的运算，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．设全集为U，定义集合A与B的运算：A#B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，则（A#B）#A＝（）A．A B．B C．A∩∁UB D．B∩∁UA【考点】交、并、补集的混合运算；集合交并补混合关系的应用．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】B【分析】利用并集、交集、新定义直接求解．【解答】解：∵A#B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，∴（A#B）#A＝B．故选：B．【点评】本题考查集合的运算，考查并集、交集定义、新定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．已知集合A＝{x|﹣5＜x≤1}，B＝{x|x2≤9}，则A∪B＝（）A．[﹣3，1） B．[﹣3，1] C．（﹣5，3] D．[﹣3，3]【考点】并集及其运算．【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|﹣5＜x≤1}，B＝{x|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，故A∪B＝（﹣5，3]．故选：C．【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．二．填空题（共5小题）11．已知全集U＝R，集合A={x|3-2xx+5≥0}，集合B＝{x||x|＞2}，则A∩（∁UB）＝{x|【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】方程思想；定义法；集合；数学运算．【答案】{x|﹣2≤x≤32【分析】求出集合A，B，进而求出∁UB，由此能求出A∩（∁UB）．【解答】解：全集U＝R，集合A={x|3-2xx+5≥0}={x集合B＝{x||x|＞2}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，∴∁UB＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩（∁UB）＝{x|﹣2≤x≤32故答案为：{x|﹣2≤x≤32【点评】本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．设集合A＝{x|1⩽x2⩽a2﹣6}，B＝{x|﹣3⩽x⩽a﹣1}，若A⊆B，则实数a的取值范围为（-7，72]【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；集合；逻辑推理；数学运算．【答案】（-7，72【分析】本题考查的知识点：集合间的关系，不等式的解法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．【解答】解：①当A＝∅时，由于A⊆B，故：a2﹣6＜1或a2﹣6＜0且a﹣1≥﹣3，解得-2②当A≠∅时，当x＞0时，1≤x≤a2-6，由于A⊆B，a2解得6≤当x＜0时，-a2-6≤x≤-1，由于A⊆B，故a2≥6且-解得6≤故当A≠∅时，a的取值范围为[6由①∪②得：实数a的取值范围（-7，72故答案为：（-7，72【点评】本题考查不等式的性质、集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【答案】见试题解答内容【分析】由集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，可得a≤﹣3，用区间表示可得a的取值范围．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|x≥a}且A⊆B，∴a≤﹣3，∴实数a的取值范围是：（﹣∞，﹣3]，故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中根据子集的定义，得到a≤﹣3，是解答的关键．14．对于任意两个正实数a，b，定义a⊗b=λ⋅ab，其中常数λ∈(22，1)．若u≥v＞0，且u⊗v与v【考点】元素与集合关系的判断．【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算．【答案】32【分析】由已知结合新定义及元素与集合的关系可求．【解答】解：由u⊗v与v⊗u都是集合{x不妨设λ×uv=12n1，λ×因为u≥v＞0，所以0＜因为λ∈所以12n2=λ•vu∈因为n2∈Z，所以n2＝1，即12所以λ=u2v所以uv∈（2，2），u2v2则λ⋅uv=u2因为n1∈Z，所以n1＝3，12故答案为：32【点评】本题主要考查了元素与集合的关系的应用，考查了推理能力，属于中档题．15．已知集合A＝{1，3，4}，B＝{a，a+1}，若A∩B＝B，则a＝3．【考点】交集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】3．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{1，3，4}，B＝{a，a+1}，A∩B＝B，∴a=3解得a＝3．故答案为：3．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三．解答题（共5小题）16．设k是正整数，集合A至少有两个元素，且A⊆N*．如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有|x﹣y|≠k，则称A具有性质P（k）．（1）试判断集合B＝{1，2，3，4}和C＝{1，4，7，10}是否具有性质P（2）？并说明理由；（2）若集合A＝{a1，a2，⋯，a12}⊆{1，2，⋯，20}，求证：A不可能具有性质P（3）；（3）若集合A⊆{1，2，⋯，2023}，且同时具有性质P（4）和P（7），求集合A中元素个数的最大值．【考点】元素与集合关系的判断；集合中元素个数的最值．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据定义判断B，C是否具有性质P（2）即可；（2）将{1，2，⋯，20}分为11个子集，结合抽屉原理证明结论；（3）先证明连续11个自然数中至多有5个元素属于A，由此可得集合A中元素个数不超过920个，再举例说明存在含有920个元素的满足要求的集合A．【解答】解：（1）因为B＝{1，2，3，4}，又1∈N*，2∈N*，3∈N*，4∈N*，但|4﹣2|＝2，所以集合B不具有性质P（2），因为C＝{1，4，7，10}，又1∈N*，4∈N*，7∈N*，10∈N*，但|4﹣1|＝3，|7﹣1|＝6，|10﹣1|＝9，|7﹣4|＝3，|10﹣4|＝6，|10﹣7|＝3，所以集合C具有性质P（2），（2）证明：将集合{1，2，⋯，20}中的元素分为如下11个集合，{1，4}，{2，5}，{3，6}，{7，10}，{8，11}．{9，12}，{13，16}，{14，17}，{15，18}，{19}，{20}，所以从集合{1，2，⋯，20}中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A不可能具有性质P（3）；（3）先说明连续11项中集合A中最多选取5项，以1，2，3……，11为例．构造抽屉{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}．①5，6，7同时选，因为具有性质P（4）和P（7），所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8．故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个．②5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又{4，11}只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个．若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个．若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又{1，8}只能选一个元素，4，9可以选，故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个．③5，6，7中只选1个，又四个集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每个集合至多选1个元素，故1，2，3……，11中属于集合A的元素个数不超过5个．由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9．因为2023＝183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有184×5＝920个．给出如下选取方法：从1，2，3……，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次．此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；…………；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素．经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个．【点评】本题考查集合新定义，考查学生计算能力，属于难题．17．已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果∀x，y∈S，总有x+y，x﹣y，x•y∈S，则称S是数环．设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；②∀x，y∈F且y≠0，有xy∈F，则称F（1）求元素个数最小的数环Ŝ（2）证明：记Q(3)={（3）若F1，F2是数域，判断F1∪F2是否是数域，请说明理由．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】（1）Ŝ=（2）证明过程见解析；（3）F1∪F2不一定是数域，理由见解析．【分析】（1）根据数环的概念求解；（2）根据数域的概念证明；（3）F1∪F2不一定是数域，举反例说明即可．【解答】解：（1）Ŝ是数环，所以集合Ŝ非空，即取a∈S，则a﹣a＝0∈Ŝ而显然{0}是一个数环，故Ŝ=（2）证明：显然0，1∈Q(3)，对任意a1+b13∈Q(3)由O是数域知，(a1+b13)±(a2+故Q(3（3）F1∪F2不一定是数域，理由如下：取F1=Q(3)={a+3b则3∈Q(故F1∪F2不是数域，而若F1，F2是数域，且F1⊆F2，则F1∪F2＝F2是数域．【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了元素与集合的关系，属于中档题．18．设集合S、T为正整数集N*的两个子集，S、T至少各有两个元素．对于给定的集合S，若存在满足如下条件的集合T：①对于任意a，b∈S，若a≠b，都有ab∈T；②对于任意a，b∈T，若a＜b，则ba∈S．则称集合T为集合S（1）若集合S1＝{1，3，9}，求S1的“K集”T1；（2）若三元集S2存在“K集”T2，且T2中恰含有4个元素，求证：1∉S2；（3）若S3＝{x1，x2，⋯，xn}存在“K集”，且x1＜x2＜⋯＜xn，求n的最大值．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】综合题；集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】（1）T＝{3，9，27}；（2）证明见解答；（3）4．【分析】（1）根据定义直接求解；（2）利用反证法推矛盾即可证明；（3）设1≤x1＜x2＜⋯＜xn，结合（2）的结论推出x1＝1不成立，结合定义和x1≠1得n≤4即可求解．【解答】解：（1）若S1＝{1，3，9}，由题意可得，1×3，1×9，3×9∈T，即3，9，27∈T，此时93假设集合T中还有第四个元素为t，则由题意可知：若t＜3，即27t＞9若t＞3，则t3∈S1，所以t＝3或9或27，矛盾．故集合T中无四个元素，所以集合T＝{3，（2）设集合S2＝{a1，a2，a3}，不妨设a1＜a2＜a3，假设1∈S2，即a1＝1，则1＜a2＜a3且a2，a3，a2a3∈T，由②知a3a2∈S2，注意到1＜故a2a3=a23∈T由②可得：若t＜a2，则a23t若t＞a2，ta2∈S2，则ta2=1或a假设错误，故1∉S2．（3）S3={x1，x2，⋯，xn所以x1x2∈T，x2xn∈T，又x1x2＜x2xn，故x2xn若x1＝1，与（2）类似得S3={1，对任意的1≤i＜j≤2n﹣3，有x2j-i=x2jx2i∈S3，即x若x1≠1，即x1≥2，所以x2=x12对任意的3≤i＜j≤2n﹣1，必有x1j-i=x1jx1j∈S3综上，得n≤4，又n＝4时，有S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}符合题意，所以n的最大值为4．【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．19．已知集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B，（∁RA）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据交集、补集和并集的定义计算即可；（2）由B∩C＝C知C⊆B，讨论m的取值情况，求出满足条件的m取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|x≤﹣3或x≥2}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|2≤x＜5}，∁RA＝{x|﹣3＜x＜2}，∴（∁RA）∪B＝{x|﹣3＜x＜5}；（2）∵B∩C＝C，∴C⊆B，又C＝{x|m﹣1≤x≤2m}，①当C＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；②当C≠∅时，m-1≤2mm综上，m的取值范围是(-∞，-【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题．20．已知集合P={x|12≤x≤2}，y＝log2（ax（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程log2(a【考点】集合的包含关系判断及应用；对数函数图象与性质的综合应用．【专题】计算题；压轴题．【答案】见试题解答内容【分析】（1）是一个存在性的问题，此类题求参数一般转化为求最值．若是存在大于某式的值成立，一般令其大于其最小值，（2）也是一个存在性的问题，其与（1）不一样的地方是其为一个等式，故应求出解析式对应函数的值域，让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性．【解答】解：（1）由已知Q＝{x|ax2﹣2x+2＞0}，若P∩Q≠∅，则说明在[12，2]内至少有一个x值，使不等式ax2﹣2x+在[12∴a的取值范围是a＞﹣4；（2）∵方程log∴a∵32≤2(1【点评】考查存在性问题求参数范围，本题中两个小题都是存在性，因为其转化的最终形式不一样，所以求其参数方式不一样，一是其最值，一是求值域．答题者应细心体会其不同．此类题一般难度较大，要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化．

考点卡片1．元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．【命题方向】题型一：验证元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．综上4k﹣2∉A．点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）当a+2＝3时，a＝1，…（5分）此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．2．集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】概念：1．如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B；2．如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．【解题方法点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题．3．Venn图表集合的包含关系Venn图表集合的包含关系4．集合中元素个数的最值【知识点的认识】求集合中元素个数的最大（小）值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等．需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决．5．子集与真子集【知识点的认识】1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．2、真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．6．并集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．运算形状：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．7．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理