2025年高考数学一轮复习之平面向量及其应用

第1页（共1页）2025年高考数学一轮复习之平面向量及其应用一．选择题（共10小题）1．已知向量a→=(2，1)，A．(45，25) B．（4，1） C．（2，2．若向量a→=(-1，5)，A．-16 B．16 C．-13．已知a→=(-1，1)，A．（﹣1，1） B．(-2，2) C．（1，﹣14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=2π3，sinB=53A．1534 B．152 C．1535．若a→=(2，0)，|b→|=1A．π6 B．π3 C．π2 6．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2acosB＝c，则该三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形7．如图，D是△ABC边AC的中点，E在BD上，且DE→A．AE→=23ABC．AE→=568．平面向量a→，b→满足|a→|=2，|b→A．1512a→ B．14a→ C9．已知平面向量a→=（2λ2+1，λ），b→=（μ，1），其中λ＞0，若a→A．[22，+∞) B．[2，+∞） C．[2，+∞) 10．已知向量a→，b→，c→满足|a→|＝1，|b→|=3，a→•b→=-A．27 B．7 C．2 D．二．填空题（共5小题）11．在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=3π4，b＝6，a2+c2＝22ac，则△ABC的面积为12．已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若BE＝2CE，则AE→⋅CE→13．对集合A＝{﹣1，2，x，y}，其中x＞0，y＞0，定义向量集合Ω＝{a→|a→=（m，n），m，n∈A}，若对任意a1→∈Ω，存在a2→∈Ω，使得a2→⊥a14．在△ABC中，若BC＝2，tanA=-43，cosB=415．已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）米．三．解答题（共5小题）16．在△ABC中，设角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知3c（1）求角B的大小；（2）当a=22，b=23时，求边长c和△17．如图，在△ABC中，AB＝2，3acosB﹣bcosC＝ccosB，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=3（2）若BD＝2DC，△ACD的面积为423，求18．已知，m→=(3sinωx，cosωx)，n→=(（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，f（B）＝0，求△19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，27bcosAsinB+acos2B﹣a＝0．（1）求tanA的值；（2）若a=2，点M是AB的中点，且CM＝1，求△ABC20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2b﹣c）cosA＝acosC．（1）求A；（2）若△ABC的面积为3，BC边上的高为1，求△ABC的周长．

2025年高考数学一轮复习之平面向量及其应用参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知向量a→=(2，1)，A．(45，25) B．（4，1） C．（2，【考点】平面向量的投影向量．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据投影向量的概念将坐标代入计算公式b→【解答】解：因为a→所以向量b→在向量a→上的投影向量为：故选：A．【点评】本题考查投影向量的求法，属于基础题．2．若向量a→=(-1，5)，A．-16 B．16 C．-1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【专题】方程思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据向量共线的坐标公式求解．【解答】解：由题意，﹣（x+1）＝5x，解得x=-故选：A．【点评】本题考查平面向量的应用，属于基础题．3．已知a→=(-1，1)，A．（﹣1，1） B．(-2，2) C．（1，﹣1【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量；平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据题意，设a→与b→夹角为θ∈[0，π]，由已知得出cos【解答】解：根据题意，设a→与b→夹角，则θ∈[0，π由a→=(-1，则|a→-所以b→在a→上的投影向量为故选：C．【点评】本题考查投影向量的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=2π3，sinB=53A．1534 B．152 C．153【考点】正弦定理．【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．【答案】A【分析】结合正弦定理，求出b，再结合正弦的两角和公式，求出sinC，再根据三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：A=2π3，sinB=则a=bsinAA=2π则sinA=32，cosA=12，A+B+C＝π，则sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB=3故△ABC的面积为12故选：A．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．5．若a→=(2，0)，|b→|=1A．π6 B．π3 C．π2 【考点】数量积表示两个平面向量的夹角．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据平面向量的数量积求a→与a【解答】解：因为a→=(2，0)，所以|a→|＝2，(a→-b→)2=a→2-2a→•b→所以a→•（a→-b→）=a→2设a→与a→-b→的夹角为θ因为θ∈[0，π]，所以θ=π6，即a→与a故选：A．【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，是基础题．6．已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若2acosB＝c，则该三角形一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形．【答案】A【分析】由题中条件并利用正弦定理可得2sinAcosB＝sinC，转化为sin（A﹣B）＝0；再根据A﹣B的范围，可得A＝B，从而得出选项．【解答】解：∵c＝2acosB，由正弦定理可得sinC＝2sinAcosB，∴sin（A+B）＝2sinAcosB，可得sin（A﹣B）＝0．又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B＝0．故△ABC的形状是等腰三角形，故选：A．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到sin（A﹣B）＝0，是解题的关键，属于基础题．7．如图，D是△ABC边AC的中点，E在BD上，且DE→A．AE→=23ABC．AE→=56【考点】平面向量的基本定理．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】利用平面向量加减法则，即可得到答案．【解答】解：因为D是△ABC边AC的中点，E在BD上，且DE→则有BE→所以AE→故选：A．【点评】本题考查向量的运算性质的应用，属于基础题．8．平面向量a→，b→满足|a→|=2，|b→A．1512a→ B．14a→ C【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的投影向量．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式求出a→•b【解答】解：根据题意，|a→|=2，|即（a→+b→）2=a→2+b→2+2a→•b→则b→在a→方向上的投影向量为故选：C．【点评】本题考查投影向量的计算，注意投影向量的计算公式，属于基础题．9．已知平面向量a→=（2λ2+1，λ），b→=（μ，1），其中λ＞0，若a→A．[22，+∞) B．[2，+∞） C．[2，+∞) 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量的相等与共线．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算列式可得λμ＝2λ2+1，把μ用含有λ的代数式表示，再由基本不等式求最值即可．【解答】解：∵a→=（2λ2+1，λ），b→=（μ，1），其中若a→∥b→，则λμ＝2λ2又λ＞0，∴μ=当且仅当2λ=1λ，即故选：A．【点评】本题考查平面向量共线的坐标运算，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．10．已知向量a→，b→，c→满足|a→|＝1，|b→|=3，a→•b→=-A．27 B．7 C．2 D．【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】设出向量，画出图形，求出∠AOB，判断OC的最大值的情况，利用解三角形转化求解即可．【解答】解：设OA→=a→，OB→=b由题意cos＜a∴＜a→，b→＞=所以OABC四点共圆，要使|c→|则OC必须过圆心，此时在三角形OAB中，AB2＝OA2+OB2﹣2OAOBcos∠AOB＝1+3﹣23cos150°=AB=7由正弦定理可得OC＝2R=AB故选：A．【点评】本题考查向量的数量积的应用，三角形的解法，考查四点共圆等知识，是中档题．二．填空题（共5小题）11．在△ABC中，其内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=3π4，b＝6，a2+c2＝22ac，则△ABC的面积为【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】3．【分析】由余弦定理可求得ac，再由三角形的面积公式计算即可求得．【解答】解：由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，即36=a所以ac=6所以S=1故答案为：3．【点评】本题考查利用余弦定理和三角形的面积公式解三角形，属于基础题．12．已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，若BE＝2CE，则AE→⋅CE→【考点】平面向量数量积的性质及其运算．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】-2【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解．【解答】解：已知单位正方形ABCD，点E是BC边上一点，又BE＝2CE，则AE=(AB=(AB=-=-故答案为：-2【点评】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．13．对集合A＝{﹣1，2，x，y}，其中x＞0，y＞0，定义向量集合Ω＝{a→|a→=（m，n），m，n∈A}，若对任意a1→∈Ω，存在a2→∈Ω，使得a2→⊥a1→，则【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；集合；逻辑推理；数学运算．【答案】5或1+2【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的数量积运算以及集合的性质求出结果．【解答】解：取a1→=(2，2)，a2→所以a+t＝0；所以s和t是一正一负，不妨令s＜t，则a＝﹣1，t＝1，所以t＝1∈A，所以A＝{﹣1，2，1，m}，（m＞0），取a1由a1→⋅a2→=0，可知a当a2→=(-1，b)时，由（m，2）•（﹣1，b）＝0又b∈{﹣1，2，1，m}，所以b＝1或2，从而m＝2或4，若m＝2，此时集合A不满足集合中元素的互异性，所以m＝4，当a2→=(b，-1)时，由（m，2）•（b，﹣1此时，b＝1，m＝2，（不满足题意，舍去），或m＝1，b＝2（不满足题意，舍去），或b＝m=2，综上所述，x+y＝4+1＝5或x+y＝1+故答案为：5或1+2【点评】本题考查的知识点：集合的性质，向量的坐标运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．14．在△ABC中，若BC＝2，tanA=-43，cosB=4【考点】利用正弦定理解三角形．【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】3【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，进而利用正弦定理即可求解b的值．【解答】解：△ABC中，若BC＝2，tanA=-可得sinA=由正弦定理得：BCsinA=AC所以AC=sinBsinA×2=故答案为：32【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）10米．【考点】解三角形．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】10．【分析】设CD＝t，用t表示出tan∠BCD与tan∠ACD，根据两角和差正切公式与基本不等式，确定出当t=10时，tan∠【解答】解：作出示意图形，如图所示，根据题意得AB＝3，BD＝3.5﹣1.5＝2，设CD＝t，则tan∠BCD=所以tan∠因为t+10t≥210所以tan∠因为∠ACB所以当CD=10时，可以∠故答案为：10．【点评】本题主要考查了两角差的正切公式、利用基本不等式求最值、解三角形及其应用等知识，属于中档题．三．解答题（共5小题）16．在△ABC中，设角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知3c（1）求角B的大小；（2）当a=22，b=23时，求边长c和△【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】（1）B=（2）c=6+【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合C＝π﹣（A+B）及两角和的正弦公式计算化简即可得；（2）根据正弦定理即可计算出A，结合B可求出C，用正弦定理即可得到c，再使用面积公式即可得到面积．【解答】解：（1）由正弦定理得3sinC由于C＝π﹣（A+B），则3sin展开得3sinAcosB化简得3cosB则tanB=3，所以（2）由正弦定理，得23sinπ因为a＜b，所以A是锐角，即A=因为A+C=由正弦定理，得c=所以S=26【点评】本题考查由正弦定理、和角公式及三角形面积公式解三角形，属中档题．17．如图，在△ABC中，AB＝2，3acosB﹣bcosC＝ccosB，点D在线段BC上．（1）若∠ADC=3（2）若BD＝2DC，△ACD的面积为423，求【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】（1）AD=83；（2【分析】（1）根据题意，结合正弦定理可得cosB，sinB的值，再在△ABD中，由正弦定理可得答案；（2）先求出BC的长，由余弦定理可得AC，再由正弦定理可得答案．【解答】解：（1）因为3acosB﹣bcosC＝ccosB，则由正弦定理可得，3sinAcosB﹣sinBcosC＝sinCcosB，即3sinAcosB＝sin（B+C）＝sinA，又sinA≠0，则cosB=所以sinB=又∠ADC=3在△ABD中，由正弦定理可得，ADsinB=AB所以AD=（2）设CD＝t，则BD＝2t，又△ACD的面积为423，则所以12×2×3t×223=42，解得t＝由余弦定理可得，AC=在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD=ABsin∠ADB，又BD＝4，AB＝2，则在△ACD中，由正弦定理可得，CDsin∠CAD=ACsin∠ADC，又又sin∠ADB＝sin∠ADC，则sin∠【点评】本题考查正余弦定理以及三角形的面积公式在解三角形中的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．18．已知，m→=(3sinωx，cosωx)，n→=(（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，f（B）＝0，求△【考点】平面向量数量积的性质及其运算；三角函数中的恒等变换应用．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】（1）[（2）(3【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由f（B）＝0，得B=π3，由正弦定理和面积公式得S△ABC=3【解答】解：（1）已知m→=(3sinωx，则f(由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为π2有T=得ω＝1，所以f(令-π解得-π所以函数f（x）的单调递增区间为[-（2）已知f(由B∈得B=由正弦定理asinA得a＝2sinA，c＝2sinC，则S=3又△ABC是锐角三角形，则0＜即A∈(π则sin(2所以S△即△ABC面积的取值范围是(3【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式，重点考查了三角函数的性质及正弦定理和三角形的面积公式，属中档题．19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，27bcosAsinB+acos2B﹣a＝0．（1）求tanA的值；（2）若a=2，点M是AB的中点，且CM＝1，求△ABC【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】方程思想；综合法；解三角形；数学运算．【答案】（1）7；（2）74【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换知识化简即可；（2）在△ABC和△ACM中，由余弦定理计算可得c=2b【解答】解：（1）因为27bcosAsinB+acos2B﹣a＝0，所以由正弦定理可得：27cosAsin2化简可得：27因为sinB不可能为0，所以tanA=（2）在△ABC中，由余弦定理得：cosA=在△ACM中，由余弦定理得：cosA=两式联立可得：b2+c由tanA=7可得，所以由cosA=b2+c2-所以S=【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（2b﹣c）cosA＝acosC．（1）求A；（2）若△ABC的面积为3，BC边上的高为1，求△ABC的周长．【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由已知结合正弦定理进行化简可求cosA，进而可求A；（2）结合三角形面积公式可求出a及bc，然后结合余弦定理即可求解b+c，进而可求三角形周长．【解答】解：（1）因为（2b﹣c）cosA＝acosC，由正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA＝sinAcosC，即2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，因为在△ABC中，sinB≠0，所以cosA=又因为0＜A＜π，所以A=（2）因为△ABC的面积为3，BC边上的高为1，所以12bcsinA=即12bc×32由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccosA，即12＝b2+c2﹣bc，化简得（b+c）2＝3bc+12，所以（b+c）2＝24，即b+所以△ABC的周长为a+【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．

考点卡片1．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=22．平面向量的相等与共线【知识点的认识】相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．规定：零向量与任一向量平行．注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．【解题方法点拨】平行向量与相等向量的关系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命题方向】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、相等向量、单位向量等概念，理解向量的几何表示．命题形式只要以选择、填空题型出现，难度不大，有时候会与向量的坐标运算等其它知识结合考察．3．平面向量数量积的含义与物理意义【知识点的认识】1、向量的夹角概念：对于两个非零向量a→，b→如果以O为起点，作OA→=a→，OB→=b→，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义：如果两个非零向量a→，b→的夹角为θ，那么我们把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→⋅b→=|a→||b→|cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为注意：①a→⋅b→②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一个数量|b→|cos（3）坐标计算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则a→⋅b→=x3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量数量积的几何意义：a→与b→的数量积a→⋅b→等于a→的长度|a→|与b4．平面向量数量积的性质及其运算【知识点的认识】1、平面向量数量积的重要性质：设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→（1）a→⋅e→=（2）a→⊥b→（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→特别地：a→⋅a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→⋅b→|≤|2、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a→（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅（3）分配律：（a→⋅b→）•平面向量数量积的运算平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解题方法点拨】例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅解：∵向量的数量积满足交换律，∴“mn＝nm”类比得到“a→即①正确；∵向量的数量积满足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b即②正确；∵向量的数量积不满足消元律，∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，即③错误；∵|a→⋅b→|≠|a→|∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|即④错误；∵向量的数量积不满足结合律，∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b即⑤错误；∵向量的数量积不满足消元律，∴acbc=a即⑥错误．故答案为：①②．向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c→+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•【命题方向】本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．5．平面向量的投影向量【知识点的认识】投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．设a→，b→是两个非零向量，AB=a→，CD=b→，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量a→向向量b→向量a→在向量b→上的投影向量是【解题方法点拨】投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把|a→|cosθ叫作向量（1）向量a→在向量b→上的投影向量为|a→|e→cosθ（其中e→为与b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量与b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命题方向】（1）向量分解：将一个向量分解成与另一个向量垂直和平行的两个部分．（2）向量夹角计算：通过求两个向量之间的夹角，则可以判断它们之间的关系（如垂直、平行或成锐角或成钝角）．（3）空间几何问题：求点到平面的距离．6．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．7．平面向量共线（平行）的坐标表示【知识点的认识】平面向量共线（平行）的坐标表示：设a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则b→∥a→（a→≠0→）⇔x18．数量积表示两个平面向量的夹角【知识点的认识】我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量a→与b→不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ【解题方法点拨】例：复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为60解：zz=3+i3∴复数z=3+i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为故答案为：60°．点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（3，1）与向量（3，﹣1）的夹角．【命题方向】这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握．9．数量积判断两个平面向量的垂直关系【知识点的认识】向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→与b→垂直，有a→•b→=1【解题方法点拨】例：与向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：对于A：∵(-35，45)•（3，﹣4）对于B：∵(-35，45)•（﹣4，3对于C：∵(-35，45)•（4，3对于D：∵(-35，45)•（4，﹣3故选：C．点评：分别求出向量(-35，45)和A，B，C【命题方向】向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．10．正弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC变形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S=12a•ha（ha表示边2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．11．利用正弦定理解三角形利用正弦定理解三角形12．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨