二次函数应用题选讲课件

二次函数应用题选讲课程目标理解二次函数的定义掌握二次函数的图像、性质和应用掌握二次函数应用题的解题方法能够独立完成二次函数应用题的解答提高解决实际问题的逻辑思维能力培养数学建模和应用意识什么是二次函数二次函数是指含有最高次为2的代数式，其一般形式为：y=ax^2+bx+c(a≠0)其中，a、b、c为常数，x是自变量，y是因变量。二次函数的图像是一个抛物线，抛物线的形状和位置取决于系数a、b、c的值。二次函数的定义1一般形式y=ax²+bx+c(a≠0)2顶点形式y=a(x-h)²+k3交点形式y=a(x-x₁)(x-x₂)二次函数的图像开口向上当二次项系数a大于0时，抛物线开口向上。开口向下当二次项系数a小于0时，抛物线开口向下。对称轴抛物线关于对称轴对称，对称轴方程为x=-b/2a。二次函数的性质对称轴开口方向顶点坐标二次函数的最大值和最小值1顶点二次函数的顶点是其最大值或最小值的点。2开口开口向上，顶点是最小值；开口向下，顶点是最大值。3对称轴对称轴是过顶点的垂直线，将函数图像分成对称的两部分。应用题1：投篮高度1问题篮球运动员站在距离篮筐6米的地方投篮，篮球出手点距离地面2米，篮球运动轨迹近似于抛物线。已知篮球在最高点距离地面3米，求篮球出手时的速度和角度。2分析将问题转化为数学模型，建立二次函数方程，求解方程的系数，即得到篮球出手时的速度和角度。3步骤1.建立坐标系，将篮球出手点设为原点，篮筐位置设为(6,0)；2.确定抛物线的开口方向，根据篮球运动轨迹可知，抛物线开口向下；3.利用抛物线方程，解出系数。应用题2：抛物运动1概念抛物运动是指物体在重力作用下所做的运动2公式二次函数可用来描述抛物运动的轨迹3应用应用于物理学、工程学等领域应用题3：桥梁设计1拱形桥拱形桥的设计灵感来源于自然界，利用拱形结构的承重原理，将压力传递到桥墩和桥台，从而实现安全稳定。2抛物线桥抛物线桥的形状符合二次函数图像，通过合理计算，可以确保桥梁在承受载荷的同时，最大程度地节省材料。3悬索桥悬索桥以其优美的弧线和强大的承载能力而闻名，其设计基于二次函数的应用，将桥面上的重量均匀地分布到钢缆上。应用题4：广告收益问题某公司为了推广新产品，决定在电视上播放广告，广告播放次数与广告收益之间存在二次函数关系。已知播放10次广告，收益为100万元，播放20次广告，收益为180万元，问播放多少次广告收益最大？思路根据题目信息，我们可以建立二次函数模型，并求出函数的顶点坐标，即广告播放次数与收益之间的关系。解答假设广告播放次数为x，收益为y，则y与x之间的函数关系为y=ax^2+bx+c.我们可以根据题中给出的条件列出方程组并求解出a、b、c的值，最后求出函数顶点坐标，即广告播放次数与收益之间的关系。应用题5：利润最大化1生产成本原材料、人工、设备等2销售价格市场需求、竞争对手等3利润最大化目标是实现最大利润利润最大化问题是二次函数应用题中常见的类型。通过建立二次函数模型，我们可以分析生产成本、销售价格等因素对利润的影响，并找到最大利润点。应用题6：经济问题成本分析通过二次函数模型分析成本变化趋势，预测生产成本。利润最大化利用二次函数求解利润最大化问题，确定最佳生产规模和销售价格。投资决策使用二次函数分析投资收益率，评估不同投资方案的风险和回报。应用题7：几何问题1矩形面积利用二次函数求解矩形面积最大值2圆形面积运用二次函数公式求解圆形面积3三角形面积通过二次函数模型计算三角形面积应用题8：投资决策1风险评估投资决策的第一步是评估潜在风险，例如市场波动性、利率变化和经济衰退。2收益预测预测投资的潜在收益，例如预期回报率、股息和资本增值。3投资组合规划根据风险承受能力和投资目标，构建投资组合，分散风险，优化收益。4持续监控定期监控投资组合的绩效，并根据市场变化调整投资策略。应用题9：价格-需求问题价格与需求通常情况下，商品的价格与需求量成反比，即价格越高，需求量越低。二次函数建模可以使用二次函数来描述价格与需求量之间的关系，并以此解决相关问题。优化策略通过分析二次函数模型，可以找到最优的价格策略，以最大化利润或销售量。应用题10：生产问题1成本分析考虑生产成本和销售价格2产量决策确定最佳产量以实现利润最大化3市场需求分析市场需求和供给案例分析1问题某工厂生产某种产品，已知生产x件产品的成本为y元，且y与x之间的关系式为：y=x²-10x+30.当生产多少件产品时，生产成本最低？最低成本是多少？解答根据题意，成本y与生产量x之间的关系式为二次函数，我们可以通过配方法求得最低成本.案例分析2广告收益问题某公司计划投放广告，广告费用与广告效果之间存在二次函数关系，如何确定最佳广告投入金额，使收益最大化？桥梁设计问题设计一座拱桥，桥拱的形状可以用二次函数来描述，如何确定拱桥的最佳尺寸，满足强度和美观的要求？利润最大化问题某企业生产某种产品，产品销售价格与产量之间存在二次函数关系，如何确定最佳产量，使利润最大化？案例分析3问题描述：分析思路：解决方案：常见错误及解决方法漏掉条件在解题过程中，要仔细阅读题目，确保所有条件都被考虑在内。公式错误要熟记二次函数的公式，并确保在应用公式时没有错误。单位不统一确保所有单位都一致，例如，如果题目中使用米作为单位，则所有数值都应该以米为单位。忽略实际意义不要只关注数学解，也要考虑实际意义。思考题1假设一个抛物线形拱桥的形状可以用二次函数表示，拱桥最高点距离地面10米，桥拱跨度为20米。请问拱桥的函数表达式是什么？思考题2某公司生产一种产品，成本为每件10元，售价为每件20元，销售量x件（x为正整数），每天的利润y元。求该公司每天的利润y与销售量x之间的函数关系式。当每天的销售量为多少件时，每天的利润最大？最大利润是多少？思考题3如何将二次函数知识应用于实际生活中的问题？例如，如何利用二次函数来设计一个桥梁，如何利用二次函数来预测股票价格，如何利用二次函数来计算最佳广告投放时间等等。实践操作11选择题尝试解答课堂练习中的选择题，并进行分析和讨论。2填空题根据课堂讲解的内容，完成填空题，并核对答案。3应用题独立完成课本上的应用题，并与同学互相检查和探讨解题思路。通过实际操作练习，加深对二次函数应用题的理解和掌握。实践操作21分组练习将学生分成若干小组，根据课本中的案例，进行类似问题的练习。2互评交流小组成员之间相互批改，并进行讨论，共同分析解决问题的方法。3教师点评教师巡视各小组，对学生进行指导，并重点讲解一些典型错误。总结回顾二次函数定义了解二次函数的定义、图像、性质及其在实际应用中的应用。应用题类型掌握常见的二次函数应用题类型，包括投篮高度、抛物运动、桥梁设计等。解题步骤熟悉二次函数应用题的解题步骤，包括建模、求解、验证等。课后反馈1回顾学习内容回顾本节课所学习的知识点，包括二次函数的定义、性质、应用等。2