2025年湘教版高一数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、cos420°=（）

A.

B.

C.

D.1

2、若是上的减函数，且的图象经过点和点则当不等式的解集为时，的值为（）A.0B.－1C.1D.23、函数的定义域为（）

A.

B.

C.（-∞；2]

D.[2；+∞）

4、【题文】如图为一个几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，则该几何体的表面积为。

A.B.C.D.5、【题文】设P、Q是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：PQ=如果则P⊙Q=（）

AB

。2,4,6

。2,4,6

C[1，2]D（2，+）2,4,6

6、【题文】已知则中元素的个数是（）A.0B.C.1D.无穷多个7、在中，若则的形状一定是（）A.等边三角形B.不含角的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形8、已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A.{0}B.{﹣1，0}C.{0，1}D.{﹣1，0，1}9、若实数a≠b，且a，b满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，则代数式的值为（）A.-20B.2C.2或-20D.2或20评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、函数f（x）=|x+2|+x2的单调增区间是____．11、【题文】过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____12、【题文】若____.13、【题文】（不等式选讲题）对于任意实数和不等式恒成立，则实数x的取值范围是_________.14、定义全集U的子集A的特征函数为fA（x）=这里∁UA表示集合A在全集U中的补集．已知A⊆U；B⊆U，给出以下结论：

①若A⊆B，则对于任意x∈U，都有fA（x）≤fB（x）；

②对于任意x∈U，都有（x）=1-fA（x）；

③对于任意x∈U，都有fA∩B（x）=fA（x）•fB（x）；

④对于任意x∈U，都有fA∪B（x）=fA（x）+fB（x）．

其中正确的结论有______．（写出全部正确结论的序号）15、函数f（x）=（m2-1）xm是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，则实数m的值为______．16、函数y=2sinxcosx的最小值______．评卷人得分三、计算题(共5题，共10分)17、AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于D，且AD=DC，那么sin∠ACO=____．18、如果从数字1、2、3、4中，任意取出两个数字组成一个两位数，那么这个两位数是奇数的概率是____．19、（2006•淮安校级自主招生）如图，△ABC中，∠C=90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1，那么BC=____．20、关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根，则a的取值范围是____．21、计算：

①﹣（）﹣（π+e）0+（）

②2lg5+lg4+ln．评卷人得分四、证明题(共3题，共24分)22、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．23、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．24、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．评卷人得分五、解答题(共4题，共28分)25、设全集集合（Ⅰ）求（Ⅱ）若求实数的取值范围。26、【题文】设函数

(1)设证明:在区间内存在唯一的零点;

(2)设若对任意有求的取值范围;

(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.27、【题文】(本小题满分l2分)

如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，ABC=60EC面ABCD，FA面ABCD；G为BF的中点，若EG//面ABCD．

(1)求证：EG面ABF；

(2)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值．28、已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求最小正实数m，使得f（x）图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】

cos420°=cos（360°+60°）=cos60°=

故选A

【解析】【答案】准确应用诱导公式化简计算即可．

2、C【分析】试题分析：由得即根据图像过点和点所以即因为所以．考点：1．函数的单调性；2．绝对值不等式的解法．【解析】【答案】C3、A【分析】

要使函数有意义，必有1-2x≥0，解得x所以函数的定义域为：．

故选A．

【解析】【答案】直接利用被开方数不小于0；求解即可得到函数的定义域．

4、A【分析】【解析】此几何体为正三棱柱，所以其表面积为【解析】【答案】A5、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A6、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A7、D【分析】【解答】由已知化简得可得到这是个直角三角形．选D.8、B【分析】【解答】解：∵A={﹣1；0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．

故选B

【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．9、A【分析】解：∵a，b满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0；

∴a，b可看着方程x2-8x+5=0的两根；

∴a+b=8，ab=5；

=

=

=

=-20．

故选A．

由于实数a≠b，且a，b满足a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，则a，b可看着方程x2-8x+5=0的两根，根据根与系数的关系得a+b=8，ab=5，然后把通分后变形得到再利用整体代入的方法计算．

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=x1x2=．也考查了分式的化简求值．【解析】【答案】A二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

f（x）==

当x＜-2时，f（x）=单调递减；

当x≥-2时，f（x）=在（-+∞）上递增，在（-2，-）上递减；

综上知，f（x）的增区间为：（-+∞）．

【解析】【答案】去掉绝对值符号把f（x）转化为分段函数；把各段中的单调区间求出来，然后即可得到答案．

11、略

【分析】【解析】

试题分析：设与直线x-2y-2=0平行的直线方程为x-2y+c+0,∵过点（1,0）；∴1+c=0，故c=-1,所以所求方程为x-2y-1=0

考点：本题考查了直线方程的求法。

点评：根据平行关系巧设直线方程是解决此类问题常用方法，属基础题【解析】【答案】x-2y-1=012、略

【分析】【解析】由得所以【解析】【答案】313、略

【分析】【解析】依题意可得恒成立，等价于小于或等于的最小值.因为所以

【考点】1绝对值不等式的性质.2.恒成立问题.3.最值问题.【解析】【答案】14、略

【分析】解：对于①，fA（x）=fB（x）=

而∁UA中可能有B的元素，但CUB中不可能有A的元素。

∴fA（x）≤fB（x）；

即对于任意x∈U，都有fA（x）≤fB（x）故①正确；

对于②，∵f∁UA（x）=

结合fA（x）的表达式，可得f∁UA（x）=1-fA（x）；故②正确；

对于③，fA∩B（x）==•=fA（x）•fB（x）；故③正确；

对于④，fA∪B（x）=

当某个元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故fA∪B（x）=1；

而fA（x）=1且fB（x）=0，可得fA∪B（x）≠fA（x）+fB（x）；故④不正确．

故答案为：①②③．

根据题中特征函数的定义；利用集合的交集；并集和补集运算法则，对①②③④各项中的运算加以验证，可得①②③都可以证明它们的正确性，而D项可通过反例说明它不正确．由此得到本题答案．

本题给出特征函数的定义，判断几个命题的真假性，着重考查了集合的运算性质和函数对应法则的理解等知识，属于中档题．【解析】①②③15、略

【分析】解：∵函数f（x）=（m2-1）xm是幂函数；

∴m2-1=1，解得：m=±

m=时，f（x）=在（0；+∞）上是增函数；

m=-时，f（x）=在（0；+∞）上是减函数；

则实数m=

故答案为：．

只有y=xα型的函数才是幂函数，当m2-1=1函数f（x）=（m2-1）xm才是幂函数，又函数f（x）=（m2-1）xm在x∈（0；+∞）上为增函数，所以幂指数应大于0．

本题考查了幂函数的概念及其单调性，解答的关键是掌握幂函数定义及性质，幂函数在幂指数大于0时，在（0，+∞）上为增函数．【解析】16、略

【分析】解：y=2sinxcosx=sin2x；

又∵x∈R

∴-1≤sin2x≤1；

∴y=2sinxcosx=sin2x的最小值为-1．

故答案为：-1．

利用二倍角的正弦函数公式可得y=2sinxcosx=sin2x；利用正弦函数的图象和性质即可得解．

本题主要考查了已知三角函数求最值．当遇到此类问题时需利用二倍角公式和辅助角公式将三角函数转化为y=Asin（wx+∅）+k或y=Acos（Wx+∅）+k或y=tan（Wx+∅）+k的形式再结合定义域和正弦函数，余弦函数，正切函数的图象求解即可，属于基础题．【解析】-1三、计算题(共5题，共10分)17、略

【分析】【分析】连接BD，作OE⊥AD．在Rt△OEC中运用三角函数的定义求解．【解析】【解答】解：连接BD；作OE⊥AD．

AB是直径；则BD⊥AC．

∵AD=CD；

∴△BCD≌△BDA；BC=AB．

BC是切线；点B是切点；

∴∠ABC=90°，即△ABC是等腰直角三角形，∠A=45°，OE=AO．

由勾股定理得，CO=OB=AO；

所以sin∠ACO==．

故答案为．18、略

【分析】【分析】列表列举出所有情况，看两位数是偶数的情况数占总情况数的多少即可解答．【解析】【解答】解：列表如下。12341121314221232433132344414243共有12种等可能的结果，其中是奇数的有6种，概率为=．

故答案为．19、略

【分析】【分析】连OD，根据切线的性质得到OD⊥AC，在Rt△ADO中，设OD=R，AD=2，AE=1，利用勾股定理可计算出R=，则AO=；AB=4，再根据

OD∥BC，得到△AOD∽△ABC，利用相似比=，即可求出BC的长．【解析】【解答】解：连OD；如图；

∵AC为⊙O的切线；

∴OD⊥AC；

在Rt△ADO中；设OD=R，AD=2，AE=1；

∴22+R2=（R+1）2；

解得R=；

∴AO=；AB=4；

又∵∠C=90°；

∴OD∥BC；

∴△AOD∽△ABC；

∴=；

即BC==．

故答案为：．20、略

【分析】【分析】先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x2+x+1；于是有

x=a+1或x2+x+1-a=0，再利用原方程只有一个实数根，确定方程x2+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，最后解a的不等式得到a的取值范围．【解析】【解答】解：把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0；

则△=（x2+2x）2-4（x3-1）=（x2+2）2；

∴a=，即a=x-1或a=x2+x+1．

所以有：x=a+1或x2+x+1-a=0．

∵关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根；

∴方程x2+x+1-a=0没有实数根；即△＜0；

∴1-4（1-a）＜0，解得a＜．

所以a的取值范围是a＜．

故答案为a＜．21、解：①﹣（）﹣（π+e）0+（）

=﹣﹣1+2

=2．

②2lg5+lg4+ln

=lg25+lg4+

=lg100+

=【分析】【分析】利用指数和对数的运算性质和运算法则求解．四、证明题(共3题，共24分)22、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．23、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．24、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．五、解答题(共4题，共28分)25、略

【分析】

（1）2分4分6分（2）可求8分10分故实数的取值范围为：12分【解析】略【解析】【答案】26、略

【分析】【解析】

试题分析：(1)先根据零点存在性定理判断在在内存在零点，在利用导数说明函数在上是单调递增的，从而说明在区间内存在唯一的零点；（2）此问可用两种解法:第一种，当时,根据题意判断出在上最大值与最小值之差据此分类讨论如下:(ⅰ)当(ⅱ)当(ⅲ)当综上可知,第二种，用表示中的较大者，直接代入计算即可；（3）先设出零点然后根据在上是递增的得出结论.

试题解析：(1)时,

∵∴在内存在零点.又当时,∴在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.

(2)当时,对任意都有等价于在上最大值与最小值之差据此分类讨论如下:(ⅰ)当即时,与题设矛盾。

(ⅱ)当即时,恒成立。

(ⅲ)当即时,恒成立.

综上可知,

注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:

用表示中的较大者.当即时,

恒成立.

(3)证法一设是在内的唯一零点

于是有

又由(1)知在上是递增的,故所以,数列是递增数列.

证法二设是在内的唯一零点。

则的零点在内,故

所以,数列是递增数列.

考点：1.零点存在性定理；2.利用导数判断函数单调性；3.利用函数单调性判断大小.【解析】【答案】(1)见解析；（2）（3）见解析.27、略

【分析】【解析】

试题分析：(1)取AB的中点M；连结GM,MC，G为BF的中点,