北师大版七年级（下册）数学培优压轴题

...wd......wd......wd...北师大版七年级下册数学培优压轴题一．解答题〔共8小题〕1．四边形ABCD中.AB=BC.∠ABC=120°.∠MBN=60°.∠MBN绕B点旋转.它的两边分别交AD.DC〔或它们的延长线〕于E.F．当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时〔如图1〕.易证AE+CF=EF；当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时.在图2和图3这两种情况下.上述结论是否成立假设成立.请给予证明；假设不成立.线段AE.CF.EF又有假设何的数量关系请写出你的猜想.不需证明．〔1〕如图.在四边形ABCD中.AB=AD.∠B=∠D=90°.E、F分别是边BC、CD上的点.且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；如图.在四边形ABCD中.AB=AD.∠B+∠D=180°.E、F分别是边BC、CD上的点.且∠EAF=∠BAD.〔1〕中的结论是否仍然成立〔3〕如图.在四边形ABCD中.AB=AD.∠B+∠ADC=180°.E、F分别是边BC、CD延长线上的点.且∠EAF=∠BAD.〔1〕中的结论是否仍然成立假设成立.请证明；假设不成立.请写出它们之间的数量关系.并证明．3．如图1.将两个完全一样的三角形纸片ABC和DEC重合放置.其中∠C=90°.∠B=∠E=30°．〔1〕操作发现：如图2.固定△ABC.使△DEC绕点C旋转.当点D恰好落在AB边上时.填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1.△AEC的面积为S2.则S1与S2的数量关系是．〔2〕猜想论证：当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时.小明猜想〔1〕中S1与S2的数量关系仍然成立.并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高.请你证明小明的猜想．〔3〕拓展探究：∠ABC=60°.点D是角平分线上一点.BD=CD=4.DE∥AB交BC于点E〔如图4〕．假设在射线BA上存在点F.使S△DCF=S△BDE.请直接写出相应的BF的长．4．如图1.线段AB的长为2a.点P是AB上的动点〔P不与A.B重合〕.分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．〔1〕当△APC与△PBD的面积之和取最小值时.AP=；〔直接写结果〕〔2〕连接AD、BC.相交于点Q.设∠AQC=α.那么α的大小是否会随点P的移动而变化请说明理由；〔3〕如图2.假设点P固定.将△PBD绕点P按顺时针方向旋转〔旋转角小于180°〕.此时α的大小是否发生变化〔只需直接写出你的猜想.不必证明〕5．如图1.Rt△ABC中AB=AC.点D、E是线段AC上两动点.且AD=EC.AM垂直BD.垂足为M.AM的延长线交BC于点N.直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状.并加以证明．说明：〔1〕如果你经历反复探索.没有找到解决问题的方法.请你把探索过程中的某种思路写出来〔要求至少写3步〕；〔2〕在你经历说明〔1〕的过程之后.可以从以下①、②中选取一个补充或者更换条件.完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长.然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上.且四边形AKNC为等腰梯形〔AC∥KN.如图2〕．附加题：如图3.假设点D、E是直线AC上两动点.其他条件不变.试判断△DEF的形状.并说明理由．6．如图.等边三角形ABC中.点D.E.F分别为边AB.AC.BC的中点.M为直线BC上一动点.△DMN为等边三角形〔点M的位置改变时.△DMN也随之整体移动〕．〔1〕如图1.当点M在点B左侧时.请你判断EN与MF有假设何的数量关系点F是否在直线NE上都请直接写出结论.不必证明或说明理由；〔2〕如图2.当点M在BC上时.其它条件不变.〔1〕的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立假设成立.请利用图2证明；假设不成立.请说明理由；〔3〕假设点M在点C右侧时.请你在图3中画出相应的图形.并判断〔1〕的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立假设成立.请直接写出结论.不必证明或说明理由．7．：等边三角形ABC；〔1〕如图1.P为等边△ABC外一点.且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系.并证明你的猜想；〔2〕如图2.P为等边△ABC内一点.且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD．8．认真阅读材料.然后答复以下问题：我们初中学习了多项式的运算法则.相应的.我们可以计算出多项式的展开式.如：〔a+b〕1=a+b.〔a+b〕2=a2+2ab+b2.〔a+b〕3=〔a+b〕2〔a+b〕=a3+3a2b+3ab2+b3.…下面我们依次对〔a+b〕n展开式的各项系数进一步研究发现.当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形〞；仔细观察“杨辉三角形〞.用你发现的规律答复以下问题：〔1〕多项式〔a+b〕n的展开式是一个几次几项式并预测第三项的系数；〔2〕请你预测一下多项式〔a+b〕n展开式的各项系数之和．〔3〕结合上述材料.推断出多项式〔a+b〕n〔n取正整数〕的展开式的各项系数之和为S.〔结果用含字母n的代数式表示〕．北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析1、【解答】∵AB⊥AD.BC⊥CD.AB=BC.AE=CF.在△ABE和△CBF中..∴△ABE≌△CBF〔SAS〕；∴∠ABE=∠CBF.BE=BF；∵∠ABC=120°.∠MBN=60°.∴∠ABE=∠CBF=30°.∴AE=BE.CF=BF；∵∠MBN=60°.BE=BF.∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立.图3不成立．证明图2．延长DC至点K.使CK=AE.连接BK.在△BAE和△BCK中.则△BAE≌△BCK.∴BE=BK.∠ABE=∠KBC.∵∠FBE=60°.∠ABC=120°.∴∠FBC+∠ABE=60°.∴∠FBC+∠KBC=60°.∴∠KBF=∠FBE=60°.在△KBF和△EBF中.∴△KBF≌△EBF.∴KF=EF.∴KC+CF=EF.即AE+CF=EF．图3不成立.AE、CF、EF的关系是AE﹣CF=EF．2．【解答】〔1〕延长EB到G.使BG=DF.连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°.AB=AD.∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF.∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE.∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD；〔1〕中的结论EF=BE+FD仍然成立．〔3〕结论EF=BE+FD不成立.应当是EF=BE﹣FD．证明：在BE上截取BG.使BG=DF.连接AG．∵∠B+∠ADC=180°.∠ADF+∠ADC=180°.∴∠B=∠ADF．∵AB=AD.∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF.AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE.∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF∵EG=BE﹣BG；∴EF=BE﹣FD．3．【解答】〔1〕①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上.∴AC=CD.∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°.∴△ACD是等边三角形.∴∠ACD=60°.又∵∠CDE=∠BAC=60°.∴∠ACD=∠CDE.∴DE∥AC；②∵∠B=30°.∠C=90°.∴CD=AC=AB.∴BD=AD=AC.根据等边三角形的性质.△ACD的边AC、AD上的高相等.∴△BDC的面积和△AEC的面积相等〔等底等高的三角形的面积相等〕.即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；〔2〕如图.∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到.∴BC=CE.AC=CD.∵∠ACN+∠BCN=90°.∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°.∴∠ACN=∠DCM.∵在△ACN和△DCM中..∴△ACN≌△DCM〔AAS〕.∴AN=DM.∴△BDC的面积和△AEC的面积相等〔等底等高的三角形的面积相等〕.即S1=S2；如图.过点D作DF1∥BE.易求四边形BEDF1是菱形.所以BE=DF1.且BE、DF1上的高相等.此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD.∵∠ABC=60°.F1D∥BE.∴∠F2F1D=∠ABC=60°.∵BF1=DF1.∠F1BD=∠ABC=30°.∠F2DB=90°.∴∠F1DF2=∠ABC=60°.∴△DF1F2是等边三角形.∴DF1=DF2.∵BD=CD.∠ABC=60°.点D是角平分线上一点.∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°.∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°.∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°.∴∠CDF1=∠CDF2.∵在△CDF1和△CDF2中..∴△CDF1≌△CDF2〔SAS〕.∴点F2也是所求的点.∵∠ABC=60°.点D是角平分线上一点.DE∥AB.∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°.又∵BD=4.∴BE=×4÷cos30°=2÷=.∴BF1=.BF2=BF1+F1F2=+=.故BF的长为或．4．【解答】〔1〕设AP的长是x.则BP=2a﹣x.∴S△APC+S△PBD=x•x+〔2a﹣x〕•〔2a﹣x〕=x2﹣ax+a2.当x=﹣=﹣=a时△APC与△PBD的面积之和取最小值.故答案为：a；〔2〕α的大小不会随点P的移动而变化.理由：∵△APC是等边三角形.∴PA=PC.∠APC=60°.∵△BDP是等边三角形.∴PB=PD.∠BPD=60°.∴∠APC=∠BPD.∴∠APD=∠CPB.∴△APD≌△CPB.∴∠PAD=∠PCB.∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°.∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°.∴∠AQC=180°﹣120°=60°；〔3〕此时α的大小不会发生改变.始终等于60°．理由：∵△APC是等边三角形.∴PA=PC.∠APC=60°.∵△BDP是等边三角形.∴PB=PD.∠BPD=60°.∴∠APC=∠BPD.∴∠APD=∠CPB.∴△APD≌△CPB.∴∠PAD=∠PCB.∵∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°.∴∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°.∴∠AQC=180°﹣120°=60°．5．【解答】△DEF是等腰三角形；证明：如图.过点C作CP⊥AC.交AN延长线于点P∵Rt△ABC中AB=AC；∴∠BAC=90°.∠ACB=45°∴∠PCN=∠ACB.∠BAD=∠ACP；∵AM⊥BD；∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°；∴∠ABD=∠CAP；∴△BAD≌△ACP；∴AD=CP.∠ADB=∠P；∵AD=CE；∴CE=CP；∵CN=CN；∴△CPN≌△CEN；∴∠P=∠CEN；∴∠CEN=∠ADB；∴∠FDE=∠FED；∴△DEF是等腰三角形．附加题：△DEF为等腰三角形；证明：过点C作CP⊥AC.交AM的延长线于点P∵Rt△ABC中AB=AC；∴∠BAC=90°.∠ACB=45°；∴∠PCN=∠ACB=∠ECN；∵AM⊥BD；∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°；∴∠ABD=∠CAP；∴△BAD≌△ACP；∴AD=CP.∠D=∠P；∵AD=EC.CE=CP；又∵CN=CN；∴△CPN≌△CEN；∴∠P=∠E；∴∠D=∠E；∴△DEF为等腰三角形．6．【解答】〔1〕判断：EN与MF相等〔或EN=MF〕.点F在直线NE上.〔2〕成立．连接DF.NF.证明△DBM和△DFN全等〔AAS〕.∵△ABC是等边三角形.∴AB=AC=BC．又∵D.E.F是三边的中点.∴EF=DF=BF．∵∠BDM+∠MDF=60°.∠FDN+∠MDF=60°.∴∠BDM=∠FDN.在△DBM和△DFN中..∴△DBM≌△DFN.∴BM=FN.∠DFN=∠FDB=60°.∴NF∥BD.∵E.F分别为边AC.BC的中点.∴EF是△ABC的中位线.∴EF∥BD.∴F在直线NE上.∵BF=EF.∴MF=EN．〔3〕如图③.MF与EN相等的结论仍然成立〔或MF=NE成立〕．连接DF、DE.由〔2〕知DE=DF.∠NDE=∠FDM.DN=DM.在△DNE和△DMF中.；∴△DNE≌△DMF.∴MF=NE．7．【解答】AP=BP+PC.〔1〕证明：延长BP至E.使PE=PC.连接CE.∵∠BPC=120°.∴∠CPE=60°.又PE=PC.∴△CPE为等边三角形.∴CP=PE=CE.∠PCE=60°.∵△ABC为等边三角形.∴AC=BC.∠BCA=60°.∴∠ACB=∠PCE.∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP.即：∠ACP=∠BCE.∴△ACP≌△BCE〔SAS〕.∴AP=BE.∵BE=BP+PE.∴AP=BP+PC．〔2〕证明：在AD外侧作等边△AB′D.则点P在三角形ADB′