中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）专题13 胡不归（解析版）

题型十三胡不归【要点提炼】【模型故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由于思乡心切，他只考虑了“两点之间线段最短”的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图），而忽视了走折线路径A→D→B虽路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨着"胡不归?胡不归?在该故事中，我们的几何图形不再是简单的线和点，而是赋予了实际的意义，AB所经过的砂砾之路肯定会比AD所在的大路要速度慢一些，因此考虑最短时间时要去考虑一下速度的问题【模型破解术】①模型特点：胡不归在中考中常以求PA+k∙②例题：如图，已知D为射线AB上依动点，∠BAC=30°，AC=23，AD=时，CD+12AD取最小值为要想求出CD+12AD的最小值，则需在图中先体现出12AD和CD+而胡不归问题中构造12首先我们以AD为斜边，以A为顶点，往AD的下面做一个30°角然后我们过D作辅助线的垂线DEEE由30°的正弦可得，DE=12最终最小值为过C作辅助线的垂线段CF的长度FFCF=AC∙sin∠CAF=23【专题训练】一．选择题（共1小题）1．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，22），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，2） B．（0，22） C．（0，23） D．（0，【答案】D【解析】解：假设P在AD的速度为3，在CD的速度为1，设D坐标为（0，y），则AD＝22−y，CD=∴设t=2等式变形为：t+13y−223∴t2+（23y−423）t+（13y−2∴89y2+（429−23t）y△＝（429−23t）2﹣4×8∴t的最小值为3，∴y=2∴点D的坐标为（0，24故选D．解法二：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t=AD3V+CDV=1V（因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以ACOC=ADDH=3，所以AD3=DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要AD3+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△所以点D的坐标应为（0，24二．填空题（共2小题）2．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=43，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是649【答案】64【解析】解：过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB＝∠ABE，∴tan∠HED＝tan∠EBA=DH设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，∴蚂蚁从D爬到E点的时间=5x1.25=若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间=4m1=∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AG⊥EH于G，则AD+DH≥AH≥AG，∴AD+DH的最小值为AG的长，当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），直线BE交y轴于C点，如图，在Rt△OBC中，∵tan∠CBO=CO∴OC＝4，则C（0，4），设直线BE的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，4）代入得3k+b=0b=4，解得k=−∴直线BE的解析式为y=−43解方程组y=x2−2x−3y=−43x+4得x=3y=0或∴AG=64∴蚂蚁从A爬到G点的时间=6491即蚂蚁从A到E的最短时间为649s故答案为6493．如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+PD的最小值等于6．【答案】6【解析】解：如图，过点P作AD的垂线，交AD延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDP＝∠DAB＝30°，∴EP=12DP，即DP＝2∴2PB+PD＝2（PB+PE），当点B、P、E三点共线时，PB+EP有最小值，最小值等于BE的长，此时2PB+PD的最小值等于2BE的长，∵此时在Rt△ABE中，∠EAB＝30°，AB＝6，∴BE=12∴2PB+PD的最小值等于6．故答案为：6．三．解答题（共4小题）4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．（1）求证：四边形OCED是菱形；（2）连接AE，若AB＝9，BC＝4．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以53cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求点Q【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC，∵△COD关于CD的对称图形为△CED，∴DE＝EC＝OD＝OC，∴四边形ODEC是菱形．（2）①如图1中，连接EO交CD于点M，作EH⊥AD交AD的延长线于H．∵四边形EDOC是菱形，∴OE⊥CD，EM＝OM，DM＝CM=9∵OA＝OC，∴OM＝EM=12∵∠H＝∠HDM＝∠EMD＝90°，∴四边形EHDM是矩形，∴EH=92，DH＝EM＝2，AH＝AD+∴AE=A∴sin∠EAD=EH②如图2中，连接OP，作PH⊥AD于H，OM⊥AD于M．∵OD＝OA，OM⊥AD，∴DM＝MA，∴OM=12AB在Rt△APH中，PH＝PA•sin∠PAH=35∵点Q的运动时间t＝OP+PA53=∴t＝OP+PH，根据垂线段最短可知，当点O，P，H共线且与OM重合时，t有最小值，t的最小值为OM的值，∴点Q的运动是最短时间t为92s5．如图，直线y=12x+12与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝a（x﹣1）（1）求出抛物线解析式的一般式；（2）抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求△ACD面积的最大值，并求出此时点D的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PD+35【解析】解：（1）令12x+解得x＝﹣1，则A（﹣1，0），∵抛物线y＝a（x﹣1）2﹣2过点A，∴a×（﹣1﹣1）2﹣2＝0，解得a=1故抛物线解析式的一般式为y=12（x﹣1）2﹣2，即y=12x2（2）如图，过点D作DM∥y轴交AC于M，设D（m，12m2﹣m−32），则M（m，1则DM=12m+12−（12m2﹣m−3所以①当﹣1＜m≤0时，S△ACD＝S△AMD+S△CMD=12DM（m+1﹣m）=②当0＜m＜4时，S△ACD＝S△AMD﹣S△CMD=12DM（m+1﹣m）=则S△ACD=12DM=12（−12m2+32m+2）则当m=32时，△ACD面积有最大值，最大值是2516，此时点D的坐标为（3（3）如备用图，作点D关于x轴的对称点F，连接DF交x轴于点G，过点F作FH⊥AD于点H，交x轴于点P，∵D（32，−158∴AG＝1+32=5∴tan∠DAG=DG∴sin∠DAG=DG∴PH=35∵D、F关于x轴对称，∴PD＝PF，∴PD+35AP＝FP+HP＝FH，此时PD+∵DF=158×∴sin∠ADG=AG∴FH=45DF∴PD+35已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12【解析】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）．（2）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC=12•PH×OB=32（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）=32∵−32＜0，故S△PBC有最大值，此时故点P（32，−（3）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CG，作QG⊥CG于点G，则GQ＝CQ，AQ+12QC最小值＝AQ+GQ＝直线GC所在表达式中的k值为3，直线GC的表达式为：y=3x+3…①则直线AG所在表达式中的k值为−3则直线AG的表达式为：y=−33x+s，将点A的坐标代入y=−33x+s则直线AG的表达式为：y=−33x+联立①②并解得：x=1−3故点G（1−334，3+3则AG=3+即：AQ+12QC的最小值为7．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点E，F，连接EF，OE．（1）求证：∠OEF＝∠ABC；（2）如图2，连接BE，若点D是线段BE上的一个动点，且tan∠CFE＝2，求5CD+BD的最小值．【解析】（1）证明：如图1中，连接AF，OF．∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AF⊥BC，∵AB＝AC，∴∠EAF＝∠FAB，∵∠EOF＝2∠EAF，∠FOB＝2∠FAB，∴∠EOF＝∠FOB，∵OE＝OF＝OB，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OFB＝∠ABC，∴∠OEF＝∠ABC．（2）解：如图2中，连接AF，过点C作CM⊥AB于M，过点D作DH⊥AB于H．∵四边形ABFE是圆内接四边形，∴∠EAB+∠EFB＝180°，∵∠CFE+∠EFB＝180°，∴∠CFE