中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）专题06 函数与三角形存在性问题（解析版）

题型六函数与三角形存在性问题【要点提炼】【等腰三角形存在性】在坐标系中有AB两点，则在x轴上是否存在点C，使▲ABC是等腰三角形①画出点C可能存在的所有位置：就是我们经常讲的两圆一线两圆：以A为圆心，AB为半径画圆；以B为圆心，AB为半径画圆一线：AB的垂直平分线如图，两圆一线上所有的点都能与A、B两点形成等腰三角形，共有如图五个点C②代数法设出A、B、C三点的坐标，用两点间距离公式表示出三角形三边的长，然后列方程AB=BC；BC=AC；AB=AC【直角三角形存在性】在坐标系中有AB两点，则在x轴上是否存在点C，使▲ABC是直角三角形①画出点C可能存在的所有位置：两线一圆两线：分别以A、B为垂足，做AB的垂线一圆：以AB为直径画圆如图，两线一圆上所有的点都能与A、B两点形成直角三角形，共有如图四个点C②代数法设出A、B、C三点的坐标，用两点间距离公式表示出三角形三边的长，然后列方程【等腰直角三角形存在性】在坐标系中有AB两点，则在坐标平面内是否存在点C，使▲ABC是等腰直角三角形①画出点C可能存在的所有位置：如图，固定会有六个答案点C②代数法在等腰Rt▲ABC外做出K型全等，如图，▲ADB全等于▲BEC，设出A、B、C三点的坐标，表示出AD、B、BE、EC的长，列出方程AD=BE；DB=EC【专题训练】一．填空题（共1小题）1．（2020•无锡）二次函数y＝ax2﹣3ax+3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为（32，﹣9）或（32【答案】（32，﹣9）或（3【解析】解：∵抛物线的对称轴为x=−1设点M的坐标为：（32，m当∠ABM＝90°，过B作BD垂直对称轴于D，则∠1＝∠2，∴tan∠2＝tan∠1=6∴DMBD∴DM＝3，∴M（32当∠M′AB＝90°时，∴tan∠3=M′NAN=∴M′N＝9，∴M′（32综上所述，点M的坐标为（32，﹣9）或（3故答案为：（32，﹣9）或（3二．解答题（共5小题）2．（2019•白银）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？【解析】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a=−1则抛物线的表达式为y=−13x2+（2）存在，理由：点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC=32+42=5，AB＝4﹣（﹣3）＝7，BC＝4设BC的解析式为y＝kx+b，将点B、C的坐标代入解得：4k+b=0b=4，解得k=−1∴y＝﹣x+4…①，设直线AC的解析式为y＝k′x+b′，则有−3k+b′=0b′=4解得k′=∴直线AC的表达式为：y=43设线段AC的中点为K（−32，2），过点M与CA垂直，直线的表达式中的k值为同理可得过点K与直线AC垂直，直线的表达式为：y=−34x+①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4，∵点Q在点B的左侧，∴n＝3故点Q（1，3）；②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝42−则QM＝MB=8−5故点Q（522，③当CQ＝AQ时，联立①②并解得：x=25故点Q的坐标为：Q（1，3）或（522，（3）设点P（m，−13m2+13m+4），则点Q（∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，∴PN＝PQsin∠PQN=22（−13m2+13m+4+m﹣4）=−∵−26＜当m＝2时，PN的最大值为：223．（2019•乐陵市模拟）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【解析】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，1+b+c=0c=3解得：b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝32，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP＝CB时，PC＝32，∴OP＝OC+PC＝3+32或OP＝PC﹣OC＝32−∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当BP＝BC时，OP＝OC＝3，∴P3（0，﹣3）；③当PB＝PC时，∵OC＝OB＝3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（0，﹣3）或（0，0）；（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t即当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1．4．（2018•资阳）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a＝6，解得：a=−1所以抛物线解析式为y=−12（x﹣6）（x+2）=−12x（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y＝kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：b=66k+b=0解得：k=−1b=6则直线AB解析式为y＝﹣x+6，设P（t，−12t2+2t+6）其中0＜则N（t，﹣t+6），∴PN＝PM﹣MN=−12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=−12t2+2t+6+t﹣6=−1∴S△PAB＝S△PAN+S△PBN=12PN•AG+1=12PN•（AG+=12PN=12×（−12=−32t2=−32（t﹣3）2∴当t＝3时，P位于（3，152）时，△PAB方法二：如图2，连接OP，作PH⊥x轴于点H，作PG⊥y轴于点G，设P（t，−12t2+2t+6）其中0＜则PH=−12t2+2t+6，PG＝S△PAB＝S△PAO+S△PBO﹣S△ABO=12×6×t+12×6×（−1=−32t2=−32（t﹣3）2∴当t＝3时，即P位于（3，152）时，△PAB（3）如图3，若△PDE为等腰直角三角形，则PD＝PE，设点P的横坐标为a，点E的横坐标为b，∴PD=−12a2+2a+6﹣（﹣a+6）=−12a2+3则b＝4﹣a，∴PE＝|a﹣（4﹣a）|＝|2a﹣4|＝2|2﹣a|，∴−12a2+3a＝2|2﹣解得：a＝4或a＝5−17所以P（4，6）或P（5−17，3175．（2018•兰州）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣3，0），B（5，﹣4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB平分∠CAO；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ABM是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）将A（﹣3，0），B（5，﹣4）代入得：9a−3b−4=025a+5b−4=−4解得：a=16，b∴抛物线的解析式为y=16x2−（2）∵AO＝3，OC＝4，∴AC＝5．取D（2，0），则AD＝AC＝5．由两点间的距离公式可知BD=(5−2∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），∴BC＝5．∴BD＝BC．在△ABC和△ABD中，AD＝AC，AB＝AB，BD＝BC，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB＝∠BAD，∴AB平分∠CAO；证法二：∵C（0，﹣4），B（5，﹣4），∴BC∥x轴，∴∠BAD＝∠ABC，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC，∴∠CAB＝∠BAD，∴AB平分∠CAO．（3）如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F．抛物线的对称轴为x=52，则AE∵A（﹣3，0），B（5，﹣4），∴tan∠EAB=1∵∠M′AB＝90°．∴tan∠M′AE＝2．∴M′E＝2AE＝11，∴M′（52同理：tan∠MBF＝2．又∵BF=5∴FM＝5，∴M（52∴点M的坐标为（52，11）或（56．（2016•白银）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；（2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说明理由．【解析】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点，∴−9+3b+c=0c=3∴b=2c=3∴y＝﹣x2+2x+3，设直线AB的解析式为y＝kx+n，∵A（3，0），B（0，3）∴3k+n=0n=3∴k=−1n=3∴y＝﹣x+3；（2）由运动得，OE＝t，AF=2t∵OA＝3，∴AE＝OA﹣OE＝3﹣t，∵△AEF和△AOB为直角三角形，且∠EAF＝∠OAB，①如图1，当△AOB∽△AEF时，∴AFAB∴2t∴t=3②如图2，当△AOB∽△AFE时，∴OAAF∴32∴t＝1；（3）如图，存在，过点P作PC∥AB交y轴于C，∵直线AB解析式为y＝﹣x+3，∴设直线PC解析式为y＝﹣x+b，联立y=−x+by=−∴﹣x+b＝﹣x2+2x+3，∴x2﹣3x+b﹣3＝0∴△＝9﹣4（b﹣3）＝0∴b=21