第二章-随机过程

确定信号：随时间做有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函数来描述。如：方波、锯齿波。人们可以准确地预测它未来的变化，即：这次测出的是这种波形，下次测出的还是这种波形。确定信号随机信号：随时间做无规律的、未知的、“随机”的变化。无法用确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。随机信号2.根据随机过程的具体形式，求它的概率分布及各种数字特征；1.随机过程的定义、分类；第2章随机信号概论本章要求：第2章随机信号概论§2.2随机过程的统计特性§2.3随机序列及其统计特性§2.1随机过程的概念及分类§2.1随机过程的概念及分类随机信号：随时间做无规律的、未知的、“随机”的变化。无法用确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的会是另一种波形。接收机噪声

！随机信号的统计特性是确定的。因此，用统计学方法建立了随机信号的数学模型→随机过程。例：在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电流）经过大量的重复测试后，设观测到的所有的可能结果有m种，记录下m个不相同的波形。特定实验结果一个确知的时间函数一.随机过程的定义定义1：设随机试验E的样本空间S＝{ζ},若对每个元素ζ∈S，总有确知的时间函数X(t,ζ),t∈T与它相对应；这样，对于所有的ζ∈S，就可以得到一族时间t的函数，将其称为随机过程。族中的每一个函数称为该过程的样本函数。适用于对随机过程的实际观测用实验方法观测到各个样本样本数目越多，越能掌握随机过程的统计规律性常用于理论分析可以看成随机变量的推广（n维）随机变量的维数越大，越能掌握随机过程的统计规律性一个特定时间一个取决于ζ的随机变量定义2：若对于每个特定的时间都是随机变量，则称为随机过程。1一个时间函数族（t和ζ都是变量）2一个确知的时间函数（t是变量，而ζ固定）4一个确定值（t和ζ都固定）3一个随机变量（t固定，而ζ是变量）随机过程X(t)在四种不同情况下的含义二.随机过程的分类·

按随机过程X(t)的时间和状态是离散还是连续进行分类1连续型随机过程——任意的都是连续型随机变量；2离散型随机过程——任意的都是离散型随机变量；3连续随机序列——任意离散时刻的状态是连续型随机变量；4离散随机序列——随机过程的时间和状态都是离散的。状态时刻连续型随机过程连续连续连续随机序列连续离散离散型随机过程离散连续离散随机序列离散离散按随机过程的样本函数的形式不同进行分类不确定性随机过程——样本函数的未来值不能由过去的观测值准确预测；确定性随机过程——样本函数的未来值可以由过去的观测值预测。随机相位信号:Asin(

t+Φ)U(0,2

)

按随机过程X(t)的的分布函数或概率密度的不同特性分类正态过程、马尔可夫过程、独立增量过程平稳性过程、遍历性宽带过程、窄带过程、白噪声、有色噪声EXIT§2.2随机过程的统计特性随机过程是一族依赖于时间t的随机变量。因此，可以借用对随机变量的分析来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。而随机过程作为一族时间函数，在具体某次试验中出现哪个时间函数是服从某种概率分布的，这就要求分析随机过程必须采用统计的方法来描述。统计特性的描述方法有两种：一是通过分布函数或概率密度函数来描述；另一种是利用数字特征来描述。一.随机过程的概率分布

时刻采样，得到一族随机变量1.一维概率分布随机过程在任一特定时刻取样得到随机变量，其概率分布为称作随机过程X(t)的一维分布函数。求偏导数数可得称作随机过程X(t)的一维概率密度。随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有一维随机变量的一维分布函数和一维概率密度的各种性质；随机过程的一维分布函数和一维概率密度还是时间t的函数；随机过程的一维分布函数和一维概率密度描述该随机过程在任一孤立时刻取值的统计特性。X(t)tt1X(t1)t2X(t2)二维概率分布2.二维概率分布随机过程X(t)的二维分布函数为随机过程X(t)的二维概率密度为！X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。X(t)tt1X(t1)t2X(t2)tnX(tn)随机过程X(t)的n维分布函数为

随机过程X(t)的n维概率密度为3.n维概率分布

随机过程X(t)的n维分布函数的主要性质：1、2、3、4、5、6、如果统计独立，则有例设随机振幅信号，其中是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，求时的概率密度。解由X(0)=Y可知可得：不论Y值的大小，当时，X(t)=0，即P{X(t)=0}=1，这就是说X(t)的分布函数，因此其概率密度函数为冲激函数。***虽然随机过程的概率分布族能够完整地描述其统计特性，但在实际应用中确定这些分布特性非常困难，甚至不可行***二.随机过程的数字特征区别：随机变量的数字特征通常是确定值；随机过程的数字特征通常是确定性函数。

计算方法：先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。

如果将过程X(t)中的t看成是固定的，则X(t)就是一个随机变量。设它随机的取值x，则其在t时刻取x值的概率密度为。因此，期望的定义：

mx(t)描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心——X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。1、数学期望

物理意义：如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。

2、均方值与方差

随机过程在任一时刻t的取值是一个随机变量。称其二阶原点矩为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即：

随机过程

的均方差：物理意义：如果表示噪声电压，则均方值和方差分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。

X(t)Y(t)Z(t)X’(t)Y’(t)Z’(t)***identicalmeanbutdifferentvariance***例设随机振幅信号为X(t)=Qsin(

0t)，其中

0

为常数，Q

为标准正态随机变量，求该随机信号的均值和方差？解：均值方差3、自相关函数自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻状态间的统计关联程度，通常用描述。

若t1=t2=t，则有例如果随机过程X(t)为：X(t)=Vcos4t，式中V是随机变量，数学期望为5、方差为6，求随机过程的均值和自相关函数.解：

4、自协方差函数若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协方差。用表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。

自协方差和自相关函数的关系自协方差和方差的关系:若t1=t2=t，则有5、互相关函数自相关函数是描述一个随机过程本身内在联系的数字特征，而互相关函数则是描述两个随机过程间统计关联特性的数字特征。中心化互相关函数，也称互协方差函数为两个随机过程的互相关函数定义为6、统计独立、不相关和正交1)、随机过程X(t)和Y(t)互相统计独立若对任意的则称X(t)和Y(t)之间是互相统计独立。对二维概率密度则有：互协方差函数互相关函数2).若两个随机过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为零,即

,则称X(t)和Y(t)之间互不相关。!两个过程互相独立，则必不相关，反之则不一定成立；两过程正交不一定不相关，除非它们至少有一个零均值。3).若两个随机过程X(t)和Y(t)之间的互相关函数等于零，即对任意t1，t2有：则两过程正交。例设随机过程X(t)=U·t，U在(0,1)上均匀分布，求E[X(t)]，D[X(t)]，Rx(t1,t2)，Cx(t1,t2)。解：例2.3若一随机过程由下图所示的四条样本函数组成，而且每条样本函数出现的概率相等，求RX(t1,t2)。解：由题意可知，随机过程X(t)在t1,t2两个时刻为两个离散随机变量。所以可列出联合分布率如下：X(t1)X(t2)P

i

1

151/4

2

241/4

3621/4

4311/4三.随机过程的特征函数对某一固定t时刻的状态,则随机变量X(t)的一维特征函数：将t看成变量，就是随机过程X(t)的特征函数。其逆变换：n阶原点矩：1.一维特征函数2.二维特征函数随机过程X(t)在任意两个时刻t1,t2的状态构成二维随机变量[X(t1),X(t2)]，它们的联合特征函数为：称作随机过程X(t)的二维特征函数。其逆变换：因此，随机过程X(t)的相关函数为：上式两边对变量u1，u2各求一次偏导数，3.n维特征函数其逆变换：EXIT§2.3随机序列及其统计特性连续随机过程X(t)以ts为间隔进行等间隔抽样,得随机序列。表示为：一个N点随机序列可看成是一个