贵州省黔东南州2024届高三下学期模拟统测（二模）数学

贵州省黔东南州2024届高三下学期模拟统测（二模）数学姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．已知集合A={x|x2−3x>0}A．{0,1,C．{4} D．{02．复数z=(−2+i)(2+2i)在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若直线l:y=kx与圆M:A．−1 B．1 C．0 D．24．有一组样本数据都在区间[1,A．10 B．10.68 C．10.58 D．125．已知向量a=(3sinθ+cosθ,sinθ−5cosθ),bA．49 B．−1 C．79 6．已知函数f(x)=(x−a)2,x<0−A．[0,+∞) B．(−∞,0] C．7．大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3O100，其中A．100 B．900 C．1200 D．81008．现准备给一半径为6cm的实心球体玩具制作一个圆台型带盖的纸质包装盒，要使制成的包装盒能装下该球体玩具，且该包装盒的下底面是半径为4cm的圆，则制成的包装盒的容积最小为（）A．133πcm3 B．399πcm3 C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列{an}的前nA．a2024=1 C．若S2024=2024，则a1=1 10．已知函数f(A．f(x)B．f(x)C．f(xD．f(x)在11．已知O为坐标原点，P,Q为抛物线C:x2=2py(p>0)A．若M(1,3)，则△PMFB．若直线PQ过点F，则直线OP,OQC．若N(0,−1)，则|QN|D．若△POF的外接圆与准线l相切，则该外接圆的面积为9π三、搷空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．甲、乙等7名同学随机站成一排，则甲、乙相邻且甲不站两端的不同排列方式有种．13．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支上有一点14．如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC,PA=2,PB=7,AB=3,M为棱AB上靠近点B四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是（1）求B；（2）若a=3，求△ABC16．已知椭圆C:x2a2+y（1）求椭圆C的方程；（2）过点F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D17．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°,（1）证明：平面PAC⊥平面ABCD．（2）求二面角C−PD−B的余弦值．18．某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为23，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为13，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．（2）记该同学第n天中午选择冰糖雪梨汤的概率为Pn，证明：{（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．19．已知函数f(x)=2e（1）讨论f(x)的单调性；（2）若方程f(x)=m有两个不相等的根x1,x2，且0<x

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因为A=x∣x2-3x>0，

所以A=x∣x>3或<0，

因为B=0,1,2,3,4，

所以2．【答案】C【解析】【解答】解：因为z=(-2+i)(2+2i)=-6-2i，

所以z在复平面内对应的点的坐标为(-6，-2)，位于第三象限.

故答案为：C.

【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z的坐标即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：因为直线l:y=kx与圆M:x2+(y−1)2=14．【答案】B【解析】【解答】解：由频率分布直方图得：从左到右各小矩形面积依次为0.08，0.32，0.36，0.08，0.16，

所以该组样本数据的平均数为x=0.08×3+0.32×7+0.36×11+0.08×15+0.16×19=10.68.

5．【答案】D【解析】【解答】解：因为向量a→=3sinθ+sinθ,sinθ-5cosθ，b→=3sinθ,cosθ，θ∈0,π2，

因为a→⊥b→，

所以a→·b→=3sinθ36．【答案】A【解析】【解答】解：因为fx在R上单调递减，

所以当x≥0时，fx=-2x+1x+1=-2x+2-1x+1=-2+1x+1单调递减，

当x<0时，fx=7．【答案】D【解析】【解答】解：由题意可得12=klog3300100，解得k=12，

所以v=18．【答案】D【解析】【解答】解：由题意知要使制成的包装盒的容积最小，则该球体玩具与包装盒的上、下底面及侧面都相切.

作该圆台型包装盒的轴截面，如图所示：则AG⊥BC，EF⊥BC.如图所示：

易知AB=BF+AE，BG=BF-AE.

因为AB2=AG2+BG2，

所以(BF+4)29．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因为a2=1，am+n=aman，

所以令m=2，可得an+2=ana2=an，

所以an是周期为2的数列，

所以a2024=a2=1，a2023不一定为1，

故A选项正确，B选项错误；

因为S2024=2024，不妨设a1=t，

即有1012t+110．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为sinx+cosx=2sinx+π4≠0，解得x≠-π4+kπ,k∈Z，

所以f(x)的定义域为xx≠-π4+kπ,k∈Z，

令sinx+cosx=2sinx+π4=m，

则sinxcosx=m2-12，

令函数gm=m2-12m=12m-1m，

当π11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为F到准线的距离为2，

所以p=2，所以抛物线方程为x2=4y.

根据题意，F(0，1)，准线l：y=-1，

对于A，过P作PP'垂直于准线l于点P'，则IPF|=|PP'∣，

所以△PMF周长为PM+MF+PF=PM+MF+PP'⩾MF+MP'=1+(3−1)2+4=5+4，

当且仅当M，P，P'三点共线时，取等号，故A错误；

对于B，设直线PQ的方程为y=kx+1，Px1,y1，Qx2,y2，

联立y=kx+1x2=4y消去y整理得x2-4kx-4=0，

所以△=16k2+16>0，x1+x2=4k，12．【答案】1200【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

(1)将除甲乙之外的5人全排列，有A55=120种情况，

(2)将甲乙看成一个整体，安排五人的空位中，

若安排在中间的空位中，有4A22=8种情况，

若安排在两端，有2种情况，

13．【答案】2【解析】【解答】解：设双曲线的右焦点为F1，连接AF1，BF1，

由双曲线的对称性可知四边形AFBF1为矩形，且∠AFF1=∠BAF=π12，

所以AF1=FF1sin∠AFF1=2csinπ12，14．【答案】2【解析】【解答】解：如图所示，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点Q作QH⊥AC，垂足为H，连接PH.

因为平面PAB⊥平面ABC，

所以PQ⊥平面ABC，PQ⊥HQ，PQ⊥AC.

因为QH⊥AC，

所以AC⊥平面PQH，AC⊥PH，

所以∠PHQ为二面角P-AC-B的平面角.

在△PAB中，cos∠PAB=AP2+AB2−PB22AP⋅AB=12，

所以∠PAB=60°，

则PQ=AP·sin∠PAB=3，AQ=AP·cos∠PAB=1，

在△ABC中，HQ=AQ·sin∠BAC=sin∠BAC，

所以tan∠PHQ=PQQH=3sin∠BAC，

如图所示，在平面ABC内，过点C作CN⊥CM交直线AB于点

N，所以点C在以MN为直径的圆上运动.设MN的中点为O，

连接OC.

15．【答案】（1）解：在△ABC中，由b=1,c=cosA+3由正弦定理得sinBcosA+则32sinA=sinAcosB所以B=π（2）解：由（1）及余弦定理得：b2=a解得c=1或c=2，当c=1时，S△ABC当c=2时，S△ABC所以△ABC的面积为34或3【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理将边化为角，再结合正弦的和角公式即可求解；

（2）利用余弦定理可得c的边的大小，进而可得三角形的面积的值.16．【答案】（1）解：依题意，b=3，由△AF1F2所以椭圆C的方程为x2（2）解：已知如图所示：

令直线DE与直线AF2交于点G，依题意，DE垂直平分线段AF2直线DE的斜率为33，方程为y=33(x+1由x−3y+1=03x2因此|DE所以△ADE的面积S=1【解析】【分析】(1)直接根据椭圆的定义及正三角形的性质易得a，b，c的值，从而可得椭圆C的方程；

(2)根据已知条件求出直线DE的方程，将其与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，利用弦长公式可得DE，利用点到直线的距离公式可得点A到直线DE的距离，利用面积公式即可得解.17．【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，因为BD⊥PC,PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，且所以BD⊥平面PAC，因为BD⊂平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD（2）解：过点P作PE⊥AC，垂足为E如图所示：

在△PAC中，cos∠APC=P所以S△PAC=1所以PE=3,AE=A以O为坐标原点，分别以OC，OD的方向为x，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(则BP=设平面PBD的法向量为m=(则m⋅DP=−x1设平面PCD的法向量为n=(则n⋅DP=−x设二面角C−PD−B的大小为θ，易得θ为锐角，则cosθ=|cos〈n,【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是菱形，可得BD⊥AC，即可证BD⊥平面PAC，即可证明；

（2）以O为坐标原点，分别以OC，OD的方向为x，y轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面PCD与平面PBD的法向量，即可求解此题.18．【答案】（1）解：设A1表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，A2表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则根据题意得P(AP(（2）解：设An表示第n天中午选择冰糖雪梨汤，则P根据题意得P(A由全概率公式得P(=−16P不妨设Pn+1+λ=−1所以−16λ−λ=则Pn+1−3所以{Pn−37（3）解：由（2）得，Pn由题意，只需Pn>1−P则37+5显然n必为奇数，偶数不成立.当n=1，3，当n=1时，显然成立.当n=3时，(16)因为y=(16综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.【解析】【分析】（1）设A1表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，A2表示第二天中午选择冰糖