上海市闵行区2024-2025学年高三上册期中联考数学检测试题（含解析）

上海市闵行区2024-2025学年高三上学期期中联考数学检测试题一、填空题1.函数的定义域是__________.2.已知，，且是奇函数，则______．3.已知则______．4.函数的最小正周期为______．5.函数（且）图象恒过定点P，则点P的坐标为________6.函数在点处的切线方程为___________.7.已知平面向量夹角为，则___________8.设向量、满足，则在方向上的投影向量是__________.9.设，，则不等式的解集为__________.10.已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．11.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则__________.12.如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成.已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到）二、单选题13.给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和14.下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（）A. B. C. D.15.已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（）A. B.C. D.16.已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（）A.若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增B.对于任意实数，若上单调递增，则在上单调递增C.对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得D.若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值三、解答题17.已知函数，其中实数为常数.（1）若，解关于方程；（2）若函数是奇函数，求实数的值.18.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值．19.某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．（1）求的解析式；（2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．20.已知函数为奇函数．（1）求的值；（2）判断并证明单调性；（3）若存在实数，使得成立，求的取值范围．21.记y=f'x，分别为函数y=fx，y=gx的导函数.若存在，满足且，则称为函数y=fx与y=gx的一个“S（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数的值；（3）已知，.若存在实数，使函数y=fx与y=gx在区间内存在“S点”，求实数的取值范围.上海市闵行区2024-2025学年高三上学期期中联考数学检测试题一、填空题1.函数的定义域是__________.【正确答案】【分析】根据定义域求法解决即可.【详解】由题知，，解得，所以函数的定义域是，故2.已知，，且是奇函数，则______．【正确答案】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为.3.已知则______．【正确答案】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因为故，故答案为.4.函数最小正周期为______．【正确答案】##【分析】直接根据周期公式计算得到答案.【详解】函数的最小正周期为.故答案为.5.函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________【正确答案】【分析】令，计算即可求解.【详解】由题意知，令，得，将代入解析式中，得，则函数的图象恒定点，即.故6.函数在点处的切线方程为___________.【正确答案】【分析】根据题意，由导数的几何意义即可得到结果.【详解】由题意可知，，则切点，因为，则，所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即故7.已知平面向量的夹角为，则___________【正确答案】【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案.【详解】，所以．故答案为.8.设向量、满足，则在方向上的投影向量是__________.【正确答案】或【分析】利用投影向量的定义求解即得.【详解】向量，则，在方向上的投影向量为.故或9.设，，则不等式的解集为__________.【正确答案】【分析】先分别写出和时的表达式，再分别解这两种情况下的不等式，最后将解集合并.【详解】当时,首先求出的表达式，因为，根据，而，所以，则.然后解不等式，即，移项得到.对于二次函数，其判别式，且二次项系数，所以恒成立，所以时不等式的解为.当时,求出的表达式，因为，根据的定义.解不等式，即，移项得到，因式分解得.解为，又，所以此时不等式解为.故答案为.10.已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．【正确答案】【分析】根据函数是奇函数结合得出函数的周期，再应用数形结合转化为零点是函数的交点横坐标，最后应用对称性即可求出零点和.【详解】奇函数y=fx，对于都有，，则，即f4+x=fx则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称，作出函数y=fx与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，所以，，，，则，故在内所有的零点之，故答案为:．11.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式为，若函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，当时，，则__________.【正确答案】##【分析】由，推得f4+x=fx，得到的周期为4，奇函数性质得，且，即可求解.【详解】因为，所以，因为是奇函数，所以，所以f4+x=fx所以，且，所以.故答案为.12.如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成.已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到）【正确答案】【分析】设，则，则利用面积公式可得，利用导数可求面积最大时对应的角.【详解】因为，，故，故，设，则，又，设，则，，记，，因为，故，又当时，，当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，此时，故，用度表示后约等于，故答案为.二、单选题13.给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和【正确答案】C【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】对A：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底；对B：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底；对C：对和，因为是不共线的两个非零向量，且存在实数，使得，故和共线，不可作基底；对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底.故选：C.14.下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性和周期性一一判断即可.【详解】对A，是偶函数，周期为，故A错误；对B，设，定义域为，且，则其为偶函数，因为周期为，则的周期为，故B正确；对C，是奇函数，周期为，故C错误；对D，是奇函数，周期为，故D错误.故选：B.15.已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】构造函数求导可得，利用已知条件可得在0,+∞单调递增，且是上的偶函数，等价于也即是，利用单调性即可求解.【详解】令函数，则对任意的正实数，，所以，所以在0,+∞单调递增，因为是上的偶函数，所以也是上的偶函数，所以即，所以，可得，解得：，所以实数的集合为故选：B本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性和奇偶性解不等式，属于中档题.16.已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（）A.若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增B.对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增C.对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得D.若函数满足：当时，，当时，，则为最小值【正确答案】D【分析】首先理解函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后举反例设可判断A错误；设可得B错误；设可得C错误；由函数单调性的定义可以判断D正确.【详解】函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率；所以对于A：因为是定义在R上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在R上单调递增，所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误；对于B：设，由图象可知，当x∈R时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在R不是单调函数，故B错误；对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设，函数在上有界，但当且x趋近于-2时、、且x趋近于2时导函数无界，故割线的斜率不一定有界，如图当点向点靠近时，割线的斜率近似等于点处切线的斜率，故C错误；对于D：因为函数满足：当时，，即，因为，，所以；同理，当时，，即，因为，，所以；所以为的最小值，故D正确；故选：D.关键点点睛：本题关键在于理解函数表达的是函数图像上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断.三、解答题17.已知函数，其中实数为常数.（1）若，解关于的方程；（2）若函数是奇函数，求实数的值.【正确答案】（1）x=1或；（2）a=−1.【分析】（1）根据，求得，再解方程即可；（2）根据，求得参数，再验证即可.【小问1详解】因为，则，解得，则，即，整理得，则，或，解得x=1或.故方程的根为或.【小问2详解】函数是奇函数，又的定义域为，则，解得a=−1；当a=−1时，，则，满足为奇函数，故a=−1.18.已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）在中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足，且，求角A的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的单调性，通过整体代入求解可得；（2）利用正弦定理边化角，结合二倍角公式展开后因式分解可解.【小问1详解】由题意得，，由，解得：，所以单调递增区间为；【小问2详解】由正弦定理边化角得，因为在中，，则，所以，即，所以当时，；当，即时，．因为，所以．19.某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量单位：千克与销售价格单位：元千克近似满足关系式，其中，，，为常数，已知销售价格为元千克时，每日可售出千克，销售价格为元千克时，每日可售出千克．（1）求的解析式；（2）若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格的值，使得商家每日获利最大．【正确答案】（1），（2）元千克【分析】（1）依题意可得当时，，当时，，即可得到关于、的方程组，解得即可；（2）设每日销售该商品获利元，即可得到的解析式，再利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解.小问1详解】由题意可知，当时，，

当时，，

即，解得，

所以，，【小问2详解】设每日销售该商品获利元，则

，

则，

令，得或舍去，

所以时，，为增函数，

时，，为减函数，

所以时，取得最大值，

，

所以销售价格定为元千克，商家每日获利最大．20.已知函数为奇函数．（1）求的值；（2）判断并证明的单调性；（3）若存在实数，使得成立，求的取值范围．【正确答案】（1）（2）函数在R上单调递减，证明见解析（3）【分析】（1）根据定义域为R且为奇函数，所以，即可求解.（2）利用函数单调性的定义法即可证明求解.（3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解.【小问1详解】由函数为奇函数，其定义域为R，所以，即，解得，此时，满足，即为奇函数，故的值为.【小问2详解】在R上单调递减，证明如下：由（1）知，，且，则，因为，所以，，，所以，即函数在R上单调递减.【小问3详解】由，则，又因为为奇函数，所以，又由（2）知函数在R上单调递减，所以，因为存在实数，使得成立，所以，解得.所以的取值范围为.21.记y=f'x，分别为函数y=fx，y=gx的导函数.若存在，满足且，则称为函数y=fx与y=gx的一个“（1）证明：函数与不存在“S点”；（2）若函数与存在“S点”，求实数的值；（3）已知，.若存在实数，使函数y=fx与y=gx在区间内存在“S点”，求实数的取值范围.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）求导，假设存在“S点”，解方程组可得结论；（2）求导，