二次函数的图象和性质课件

二次函数的图象和性质二次函数的概念和标准形式定义二次函数是指含有**一个**未知数且**最高次数为二**的函数.标准形式y=ax²+bx+c(a≠0)变量x是自变量,y是因变量.二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c其中a,b,c为常数，且a≠0。系数的意义a决定抛物线的开口方向和形状，b决定抛物线的对称轴，c决定抛物线与y轴的交点。二次函数的判别法判别式二次函数y=ax²+bx+c的判别式Δ=b²-4ac判断根的性质根据判别式Δ的值，可以判断二次函数的根的情况。Δ>0二次函数有两个不同的实数根。Δ=0二次函数有两个相同的实数根。Δ<0二次函数没有实数根，有两个共轭复数根。二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，它是由一个顶点和两条对称轴组成的曲线。抛物线的形状取决于二次函数系数的正负。当二次函数系数为正时，抛物线开口向上；当二次函数系数为负时，抛物线开口向下。二次函数图像的形状二次函数的图像是一个抛物线。抛物线形状取决于二次项系数a的正负。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。二次函数图像的特点对称性二次函数图像关于对称轴对称，对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。开口方向二次函数图像的开口方向取决于a的值。当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。顶点二次函数图像的顶点是图像上最低或最高点，其坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。二次函数的最大值和最小值1最大值开口朝下的二次函数，在对称轴左侧递增，右侧递减，对称轴上的点为函数的最大值点。1最小值开口朝上的二次函数，在对称轴左侧递减，右侧递增，对称轴上的点为函数的最小值点。二次函数的性质对称性二次函数图像关于对称轴对称.单调性二次函数图像在对称轴左侧单调递增,在对称轴右侧单调递减.最大值或最小值当二次函数的开口向上时,函数有最小值;当开口向下时,函数有最大值.零点二次函数图像与x轴的交点叫做二次函数的零点.二次函数的零点定义使二次函数值为零的自变量的值称为二次函数的零点。求解求解二次函数的零点就是解方程f(x)=0，即ax²+bx+c=0。二次函数的增减性1增函数当自变量的值增大时，函数的值也随之增大，称为增函数。2减函数当自变量的值增大时，函数的值随之减小，称为减函数。3判断方法观察函数图像的趋势，如果图像从左到右是上升的，则为增函数；如果图像从左到右是下降的，则为减函数。二次函数的对称性对称轴二次函数的图像关于一条直线对称，这条直线叫做对称轴。对称中心对称轴与图像的交点叫做对称中心，也是函数的顶点。对称性应用对称性可以帮助我们快速绘制二次函数图像，并找出函数的最大值或最小值。二次函数的渐近线水平渐近线当自变量趋于正负无穷时，函数值趋于一个常数，则该常数所对应的直线称为水平渐近线。垂直渐近线当自变量趋于某个常数时，函数值趋于正负无穷，则该常数所对应的直线称为垂直渐近线。二次函数的实际应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如在工程学、物理学、经济学等领域都有着重要的应用。例如，在建筑工程中，抛物线形状的拱桥能够承受更大的压力，从而提高桥梁的稳定性和安全性。在物理学中，二次函数可以用来描述物体的运动轨迹，例如抛射运动和自由落体运动。抛物线的定义和性质定义抛物线是平面内到一个定点F(焦点)和一条定直线l(准线)距离相等的点的轨迹。性质抛物线具有以下性质：1.对称轴：过焦点且垂直于准线的直线是抛物线的对称轴。2.顶点：抛物线与对称轴的交点称为抛物线的顶点。抛物线的标准方程顶点式y^2=2px(p>0),开口向右；y^2=-2px(p>0),开口向左；x^2=2py(p>0),开口向上；x^2=-2py(p>0),开口向下。焦点式(x-h)^2=4p(y-k)(p>0),开口向上；(x-h)^2=-4p(y-k)(p>0),开口向下；(y-k)^2=4p(x-h)(p>0),开口向右；(y-k)^2=-4p(x-h)(p>0),开口向左。抛物线的图像和特征抛物线是一个对称的曲线，其形状类似于一个开口向上的U形或开口向下的U形。抛物线的形状取决于其开口方向和顶点的位置。开口方向由抛物线的系数决定，而顶点的位置由抛物线的顶点坐标决定。抛物线的特征包括：对称性开口方向顶点坐标焦距准线抛物线与坐标轴的交点X轴交点令y=0，解方程即可Y轴交点令x=0，解方程即可抛物线的最大值和最小值开口向上最小值开口向下最大值抛物线的对称性抛物线关于其对称轴对称。对称轴垂直于准线，并经过焦点。抛物线上任意一点与其关于对称轴的对称点的距离相等。抛物线的几何性质焦点抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。准线抛物线与准线之间的距离始终保持不变。对称性抛物线关于其对称轴对称。抛物线在实际中的应用桥梁设计抛物线形状的桥梁具有良好的承重能力，可以有效地将压力分散到桥梁结构的各个部分。天线设计抛物线形状的天线可以集中无线电波，提高信号的强度和方向性，广泛应用于通信和广播领域。光学器件抛物线形状的反射镜可以将平行光线汇聚到焦点，或者将焦点的光线反射成平行光束，应用于望远镜、灯具等领域。二次函数的简单变换平移将二次函数的图像向左或向右平移，或向上或向下平移。缩放将二次函数的图像沿着x轴或y轴进行拉伸或压缩。对称将二次函数的图像关于x轴或y轴进行对称变换。二次函数图像的平移1上移将函数表达式中的常数项加上一个正数2下移将函数表达式中的常数项减去一个正数3左移将函数表达式中的自变量加上一个正数4右移将函数表达式中的自变量减去一个正数二次函数图像的缩放1纵向拉伸当|a|>1时，图像沿y轴方向拉伸，拉伸的倍数为|a|。2纵向压缩当0<|a|<1时，图像沿y轴方向压缩，压缩的倍数为|a|。3横向压缩当|b|>1时，图像沿x轴方向压缩，压缩的倍数为1/|b|。4横向拉伸当0<|b|<1时，图像沿x轴方向拉伸，拉伸的倍数为1/|b|。二次函数图像的对称1对称轴二次函数图像关于对称轴对称2对称点图像上任意一点关于对称轴的对称点也在图像上3顶点对称轴与图像的交点，也就是二次函数的顶点二次函数图像的变换平移将图像沿水平方向或垂直方向移动一定的距离。缩放将图像沿水平方向或垂直方向拉伸或压缩。对称将图像关于某条直线或某一点进行翻转。旋转将图像绕某一点旋转一定的角度。二次函数在实际生活中的应用抛物线桥梁抛物线桥梁的设计利用了抛物线的形状，使桥梁具有良好的承重能力和稳定性。卫星天线卫星天线通常采用抛物线形状，以集中和反射电磁波。运动轨迹一些物体在运动过程中，其轨迹可以用二次函数来描述，例如抛射运动。二次函数的综合应用及练习1实际问题建模将实际问题转化为二次函数模型，并利用二次函数的性质求解。2图形分析通过观察二次函数图像