《电工与电子技术》课件第5章

5.1过渡过程及换路定律

5.2一阶RC电路的过渡过程

5.3一阶电路的全响应

本章小结

习题5第5章线性动态电路的分析

5.1.1过渡过程

5.1.2换路定理

1.换路定理

在电路的换路瞬间，电容两端电压uC和电感电流iL不能跃变，称为换路定理，即

uC(0+)=uC(0－)

iL(0+)=iL(0－)

5.1过渡过程及换路定律

例5-1

电路如图5-1所示。当S合上之前，i=0，uR=0,在某一时刻t，合上S，则由KVL有：

uR+uL+uC=us

即

求导、整理

(5-1)

若将L短路，则有

(5-2)图5-1例5-1电路

2.动态电路初始值求解

若有n阶微分方程：

a1f(n)(t)+a2f(n－1)(t)+…+an－1f(t)+an=b

例5-2

电路如图5-2(a)所示，t<0时，S闭合，电路已达稳态，t=0时，S断开，试求：i(0+)、u(0+)、uC(0+)、iC(0+)。

解

t=0－时，电路处于稳态，电容C相当于开路，等效电路如图5-2(b)所示。由等效电路可求得

t=0时，S闭合，由换路定理：

uC(0+)=uC(0－)=6V

t=0+时，电容C可用电压源代替，等效电路如图5-2(c)所示。由等效电路即可求得

u(0+)=20×i(0+)=4V图5-2例5-2图

例5-3

电路如图5-3(a)所示，t<0时，S断开，电路已达稳态；t=0时，S闭合。试求：iL(0+)、uL(0+)、uC(0+)、iC(0+)。

解

t=0－时，等效电路如图5-3(b)所示，C相当于开路，L相当于短路。由电路分析可知

iL(0－)=6A

uC(0－)=3×iL(0－)=18Vt=0时，S断开，根据换路定理

uC(0+)=uC(0－)=18V

iL(0+)=iL(0－)=6A

t=0+时，等效电路如图5-3(c)所示。有

由KVL：

3iL(0+)+uL(0+)=0

可得

uL(0+)=－3iL(0+)=－3×6=－18V图5-3例5-3图5.2.1RC电路的零输入响应

图5-4(a)所示电路中的开关原来连接在1端，电压源Us通过电阻Rs对电容C充电。

我们先定性分析t>0后电容电压的变化过程。当开关倒向2端的瞬间(即t=0+时刻)，电容电压不能跃变，即

uC(0+)=uC(0－)=Us

5.2一阶RC电路的过渡过程由于电容与电阻并联，这使得电阻电压与电容电压相同，即

uR(0+)=uC(0+)=Us

则流过电阻的电流

该电流在电阻中引起的功率和能量为

电容储存的能量为

图5-4RC电路零输入响应电路为建立图5-4所示电路的一阶微分方程，由KVL得到

－uR+uC=0

(5-3)

由KCL和电阻、电容的VCR方程得到

代入式(5-1)得到以下方程

(5-4)这是一个常系数线性一阶齐次微分方程，其通解为

uC(t)=Kest

(5-5)

将式(5-5)代入式(5-4)中，得到特征方程

RCs+1=0

其解为

于是电容电压变为

式中K是一个常量，由初始条件确定。当t=0+时上式变为

根据初始条件

uC(0+)=uC(0－)=Us

求得K=Us最后得到图5-4(b)电路的零输入响应为

从上式可见，各电压电流的变化快慢取决于R和C的乘积。令τ=RC，由于τ具有时间的量纲，故称它为RC电路的时间常数。引入τ后，RC电路的零输入响应表示为

图5-5RC电路零输入响应的波形曲线表5-1列出t等于0、τ、2τ、3τ、4τ、5τ

时的电容电压值，由于波形衰减很快，实际上只要经过3～5τ的时间就可以认为放电过程基本结束。表5-1电容电压随时间变化表电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为

例5-4

电路如图5-6(a)所示，已知电容电压uC(0－)=6V。t=0闭合开关，求t>0的电容电压和电容电流。

解在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到

uC(0+)=uC(0－)=6V

将连接于电容两端的电阻单口网络等效为一个电阻，其电阻值为

图5-6例5-4图

可得原电路等效电路如图5-6(b)所示，其时间常数为

τ=RC=10×103×5×10－6=0.05s

则

5.2.2RC电路的零状态响应

初始状态为零，仅仅由独立电源(即激励或输入)引起的响应，称为零状态响应。

图5-7(a)所示电路中的电容原来未充电，即uC(0－)=0。t=0时开关闭合，RC串联电路与直流电压源连接，电压源通过电阻对电容充电。图5-7RC电路的零状态响应电(a)t<0的电路;(b)t>0的电路其电压电流的变化规律，可以通过以下分析求得。以电容电压为变量，列出图5-7(b)所示电路的微分方程

uR+uC=Us

将uR=RiC代入上式可得

RiC+uC=Us

又

所以

(5-6)

这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解由两部分组成，即

uC(t)=uCh(t)+UCp(t)

(5-7)

式中的uCh(t)是式(5-6)所示齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即式(5-7)中的UCp(t)是式(5-6)所示非齐次微分方程的一个特解。一般来说，它的模式与输入函数相同。对于直流电源激励的电路，它是一个常数，令

UCp(t)=Q

将它代入式(5-6)中可得

UCp(t)=Q=Us

因而

(5-8)式中的常数K由初始条件确定。在t=0+时

uC(0+)=K+Us=0

由此得到K=－Us

所以

则，RC电路零状态响应为(5-9)(5-10)其波形如图5-8所示。图5-8RC电路零状态响应曲线

例5-5

电路如图5-9(a)所示，已知电容电压uC=(0－)=0。t=0时打开开关，求电容电压uC(t)、电容电流iC(t)以及电阻电流iR(t)。

解在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到uC(0+)=uC(0－)=0。

先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效为戴维南等效电路，得到图5-9(b)所示电路，其中

R0=300ΩUoc=120V

电路的时间常数

τ=R0C=300×10－6=300μs图5-9例5-5图

当电路达到新的稳定状态时，电容相当于开路，此时电容两端电压为120V。

按照式(5-9)、(5-10)可以得到

为了求得iR(t)，根据图5-9(a)所示电路，由KCL方程得到

5.3.1一阶电路的全响应

电路如图5-10(a)所示，开关连接在1端时电路已达到稳态，此时uC(0－)=U0。t=0时开关倒向2端。t>0时的电路如图5-10(b)所示。5.3一阶电路的全响应图5-10RC电路的全响应电路为了求得电容电压的全响应，以电容电压uC(t)为变量，列出图5-10(b)所示电路的微分方程为

其解为

代入初始条件

uC(0+)=uC(0－)=U0=K+Us求得

则，RC电路的全响应为

(5-11)第二项是微分方程的特解UCp(t)，其变化规律一般与输入相同，称为强制响应。在直流输入时，当t→+∞时，uC(t)=UCp(t)，这个强制响应称为直流稳态响应，即

全响应=固有响应+强制响应

式(5-9)也可分解为

以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示，如图5-11所示。图5-11全响应分解示意图(a)全响应分解为固有响应与强制响应之和；

(b)全响应分解为零输入响应与零状态响应之和5.3.2三要素法

如用f(t)表示电路的响应，f(0+)表示该电压或电流的初始值，f(∞)表示响应的稳定值，τ表示电路的时间常数，则电路的响应可表示为

(5-12)

例5-6

在图5-12所示电路中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1kΩ，R2=2kΩ，C=3μF，t<0时电路已处于稳态。用三要素法求t≥0时的uC(t)，并画出其变化曲线。

解先确定uC(0+)、uC(∞)和时间常数τ。

t<0时电路已处于稳态，意味着电容相当于开路，等效电路如图5-13(a)所示。则

根据换路定理，可得

uC(0+)=uC(0－)=2V

t=∞时，电容相当于开路，等效电路如图5-13(b)所示，则图5-12例5-6图图5-13例5-6等效电路(a)t=0－;(b)t=∞从电容C两端看进去的等效电阻

则，电路的时间常数

故

电容端电压的变化曲线如图5-14所示。图5-14uC变化曲线

(1)电感和电容元件因其电压和电流关系为微分关系，故称之为动态元件。含有动态元件的电路即为动态电路。动态电路在换路瞬间会存在过渡过程。

(2)动态电路换路瞬间，电容两端电压和电感电流满足换路定理。即

uC(0+)=uC(0－)

iL(0+)=iL(0－)本章小结

(3)一阶电路的响应分为电路的零输入响应、零状态响应和全响应三种情况讨论。一阶电路的全响应可以分解为自由分量与强制分量之和；也可以分解为零输入响应与零状态响应之和。

(4)一阶电路的响应和三个因素有关，这种利用三个要素写出电路解的形式叫做电路的三要素法。三个要素分别为响应的初始值、电路的时间常数和该响应的稳态值。

1．是否任何电路发生换路时都会产生过渡过程？

2．在根据换路定律求换路瞬时初始值时，电感和电容有时看作开路或短路，有时又看作电压源或电源源，试说明这样处理的条件。

3．电容的初始电压越高，是否放电的时间越长？

4．图5-15所示电路原已达稳态，求换路后瞬间各支路电流。习题5图5-15计算题4图

5．题图5-16电路如图所示。开关闭合前电路已得到稳态，求换路后的瞬间，电容的电压和各支路的电流。

图5-16计算题5图

6．图5-17所示电路原已达稳态，求换路后瞬间各元件上的电压和电流。

图5-17计算题6图

7．图5-18所示电路，换路前开关S断开，电路处于稳态：已知