《电磁场与电磁波及其应用》课件第六章

第六章电磁辐射6.1电流元辐射6.2对称振子天线6.3天线阵辐射6.4对偶原理与电流环（磁流元）辐射6.5惠更斯原理6.6电磁辐射的应用

6.1电流元辐射

设电基本振子上流过的时谐电流瞬时值为

i(z)=Imsin(ωt－kz)

由于振子很短，所以可近似认为电流元上的电流大小和方向是一个不变的定值I，方向由一端指向另一端。也就是说电基本振子的两端相当于存在着等值异号的电荷，即是一个电偶极子，所以电基本振子也常称为电偶极子。为了计算电基本振子的电磁场，取如图6.1-1所示的坐标系，使坐标原点处在振子的中心位置，并使z轴与振子的长度方向一致。图6.1-1电基本振子与球坐标系统如图6.1-1所示，在电磁场理论中，已给出了在球坐标

系原点o沿z轴放置的电基本振子在无限大自由空间中场强的

表达式(6.1.1)(6.1.2)式中，E为电场强度，单位为V/m；H为磁场强度，单位为A/m；场强的下标r、θ、j表示球坐标系中矢量的各分量；er、eθ、ej分别为球坐标系中沿r、θ、j增大方向的单位矢量；ε0=10－9/(36π)(F/m)，为自由空间的介电常数；μ0=4π×10－7(H/m)，为自由空间的导磁率。6.1.1电流元的近区场

kr<<1即（r<<λ/(2π)）的区域称为近区，在此区域内忽略式（6.1.1）中的1/r项，并且认为e－jkr≈1,电基本振子的近区场表达式为(6.1.3)6.1.2电流元的远区场

kr>>1即（r>>λ/(2π)）的区域称为远区，在此区域内因此保留式（6.1.1）中的最大项后，电基本振子的远区场表达式为(6.1.4)由上式可见，远区场的性质与近区场的性质完全不同，场强只有两个相位相同的分量（Eθ，Hj），其电力线分布如图6.1-2所示，场矢量如图6.1-3所示。

远区场的坡印廷矢量平均值为(6.1.5)图6.1-2电基本振子的电力线图6.1-3电基本振子的远区场对于自由空间电偶极子向自由空间辐射的总功率称为辐射功率Pr，它等于坡印廷矢量在任一包围电偶极子的球面上的积分，即(6.1.7)类似于普通电路，可以得出：其中，Rr称为该天线归算于电流I的辐射电阻，这里I是电流的振幅值。将上式代入式（6.1.7），得电基本振子的辐射电阻为(6.1.9)(6.1.８)6.1.3电流元的方向性

由式（6.1.4）还可以看到，场强振幅不随j角的不同而变化，也就是说，电基本振子的辐射在H面(即磁场矢量所在的平面)是无方向性的，在极坐标系下的H面方向图为一个半径等于1的圆，如图6.1-5所示。图6.1-4电基本振子的E面方向图图6.1-5电基本振子的H面方向图电基本振子向自由空间辐射的总功率称做该天线的辐射功率，记为Pr，它应等于平均功率流密度沿任一包围该振子的球面上的面积分。它为(6.1.10)

6.2对称振子天线

6.2.1对称振子的电流分布

对称振子天线是由两根同样粗细和同等长度的直导线构成的，如图6.2-1所示。这两根导线称为对称振子的两臂，其每臂的长度用l表示。图6.2-1对称振子天线对于图6.2-1所示的坐标系统，对称振子两臂上的电流分布为

I(z)=Imsink(l－|z|)(6.2.1)

式中：Im为波腹点的电流幅值；k为相移常数，k=2π/λ。

图6.2-2画出了几种简单对称振子的电流分布图形。图6.2-2简单对称振子的电流分布

l=0.25λ的对称振子，因全长为半个波长，故称为半波振子，电流波腹点正好在馈电输入端。l=0.25λ的对称振子的全长为一个波长，故称为全波振子，理论上，馈电输入端正好是电流波节点，但与实际情况不相符合，实际情况如图6.2-3所示。图6.2-3全波振子的实际电流分布6.2.2对称振子的辐射场

首先假定振子的半径a远小于波长，它所在的坐标系如图6.2-4所示。图6.2-4求解对称振子的辐射场每一个电流元的辐射场可由式（6.1.4）得到：我们在振子左右臂上取两个位置对称的元段dz，它们距振子中心的距离都是z，它们的辐射场分别为(6.2.2)(6.2.3)由左右两臂两个对称元段dz在观察点M产生的总场强应为(6.2.4)由于观察点离天线很远，即r>>λ，因此可认为r1、r2、r相互平行。在讨论辐射场的幅度时，可认为θ1=θ2=θ，r1=r2=r。但在讨论辐射场的相位时，不能作这样的近似，必须考虑到由于路程差而引起的相位差，即r1≠r2≠r，它们之间有以下关系：(6.2.5)将式（6.2.5）代入式(6.2.4)得应用欧拉公式，并将式（6.2.1）代入上式得然后，沿振子臂长l进行积分，即为整个振子的辐射场，其结果为(6.2.6)6.2.3对称振子的辐射参数

1.方向函数

对称振子的方向函数为(6.2.7)对于半波振子l=0.25λ，对于全波振子l=0.5λ，方向函数最大值：对于半波振子，对于全波振子，

f(θ=90°)=2

2.方向图

各种不同长度对称振子在E面的方向图如图6.2-5所示，在H面的方向图为一个圆。E面方向图的形状类似花瓣，故称其为波瓣。一般天线会出现很多波瓣，最大的称为主瓣，次大的称为副瓣，主瓣正后方的波瓣称为后瓣。图6.2-5各种不同臂长对称振子的方向图当l/λ=0.5时，天线上开始出现反相的电流分布，由于有一部分反相电流，在θ=90°的方向将不可能全部同相叠加，而被反相的部分抵消掉一些，所以主向不在θ=90°的方向。当l=λ

时，两臂上的电流分布如图6.2-6所示。图6.2-6l=λ的对称振子电流分布

3．主瓣宽度

设半功率点的径向与z轴的夹角是θr，令解得θr=51°。

4．辐射功率与辐射电阻(6.2.8)在远区能流密度为将对称振子Eθ的求值公式（6.2.6）代入上式得(6.2.9)辐射电阻定义为辐射功率与波腹点电流的平方之比，有(6.2.10)式（6.2.10）计算起来很麻烦，实际工作中使用已绘制好的曲线图，如图6.2-7所示。图6.2-7对称振子辐射电阻与l/λ的关系

5．输入阻抗

天线的输入阻抗包括实数和虚数两部分，实部称输入电阻，虚部称输入电抗。天线的辐射电阻只是输入电阻的一部分，其余部分还包括导线和周围媒质的损耗，这些我们称它为损耗电阻。一般地说，损耗电阻比较小，我们只要将以波腹电流为参考点换成以输入端电流为参考点，就可得到天线的输入电阻。

6.3天线阵辐射

6.3.1二元阵

设有两个形式和取向都一致的天线排列成二元阵，如图6.3-1所示。天线与天线之间的距离是d，它们到观察点P的距离分别是r0与r1。由于观察点很远，可认为r0与r1平行。图6.3-1二元天线阵下面求式（6.3.1）的绝对值：(6.3.3)可见阵因子fa（ψ）为(6.3.4)当m=1时，将ψ代入得(6.3.5)（1）同相二元阵。当m=1，β=0时在d/λ不同时，所得到的阵因子方向图如图6.3-2所示。图6.3-2同相二元阵d/λ不同时的阵因子方向图（2）相位差为90°的二元阵。当m=1，β=－90°时在d/λ=0.25时的阵因子方向图如图6.3-3所示。图6.3-3相位差90°，d/λ=0.25时的阵因子方向图（3）反相二元阵。当m=1，β=180°时6.3.2方向图乘积定理

四元天线阵如图6.3-4所示，相邻两天线的距离为d，相位差为β。天线1辐射的电波较天线0超前ψ1=kdcosδ+β，天线2的较天线0超前ψ2=2kdcosδ+2β=2ψ，天线3的较天

线0超前ψ3=3kdcosδ+3β=3ψ，依次类推。图6.3-4四元无线阵用|f(δ)|表示天线阵的场强幅度方向图函数，由式(6.3.2)知式中，|f1(δ)|为天线单元的方向函数，仅与天线单元的结构形式和尺寸有关，称为单元因子；|fa(δ)|仅与天线单元的电流分布Ii、空间分布di和元的个数n有关，而与天线单元的形式和尺寸无关，因此称为阵因子。(6.3.9)在一般情况下，在球坐标系中，单元因子和阵因子不仅是θ的函数，还可能是方位角j的函数，故天线阵方向图乘积定理的一般形式是

|f(θ,j)|=|f1(θ,j)|·|fa(θ,j)|

(6.3.10)原理可用图6.3-5来形象地说明，其中图（a）为组方向图，图（b）为阵因子方向图，它们相乘后得合成方向图（即图（c)）。图6.3-5方向图乘法例6.3.1如图6.3-6所示，有两个半波对称振子组成一个平行二元阵，其间隔距离d=0．25λ，电流比Im2=Im1ejπ/2，求其E面（yoz）和H面(xoy)的方向函数及方向图。

解此题所设的二元阵属于等幅二元阵，m=1，这是最常见的二元阵类型。对于这样的二元阵，阵因子可以简化为图6.3-6例6.3.1用图（1）E面。在单元天线确定的情况下，分析二元阵的重要工作就是首先分析阵因子，而阵因子是相位差ψ的函数，因此有必要先求出E面上的相位差表达式。如图6.3-7所示，路径差所以相位差为图6.3-7例6.3.1的E面坐标图阵因子可以写为而半波振子在E面的方向函数可以写为根据方向图乘积定理，此二元阵在E面的方向函数为归一化后由上面的分析，可以画出E面方向图如图6.3-8所示。图中各方向图已经过归一化。图6.3-8例6.3.1的E面方向图（2）H面。对于平行二元阵，如图6.3-9所示，H面阵因子的表达形式和E面阵因子完全一样，只是半波振子在H面无方向性。应用方向图乘积定理，直接写出H面的方向函数为H面方向图如图6.3-10所示。图6.3-9例6.3.1的H面坐标图图6.3-10例6.3.1的H面方向图例6.3.2如图6.3-11所示，有两个半波振子组成一个共线二元阵，其间隔距离d=λ，电流比Im2=Im1，求其E面(yoz)和H面(xoz)的方向函数及方向图。图6.3-11例6.3.2的E面坐标图解此题所设的二元阵属于等幅同相二元阵，m=1，β=0。相位差ψ=kΔr。

（1）E面。相位差ψE(δ)=2πcosδ，在δ=0°、60°、90°、120°、180°时，ψE分别为2π（最大辐射）、－2π（零辐射）、0（最大辐射）、－π（零辐射）、

－2π（最大辐射）。阵因子为

|fa(δ)|=|2cos(πcosδ)|

根据方向图乘积定理，此二元阵在E面的方向函数为归一化后E面方向图如图6.3-12所示。图6.3-12例6.3.2的E面方向图（2）H面。如图6.3-13所示，对于共线二元阵，ψH(α)=0，H面阵因子无方向性。应用方向图乘积定理，直接写出H面的方向函数为

fH(α)=1×2=2

归一化后

FH(α)=1

所以H面方向图为一单位圆。图6.3.13例6.3.2的H面坐标及方向图例6.3.3如图6.3-14所示，由两个半波振子组成一个平行二元阵，其间隔距离d=0.75λ，电流比Im2=Im1ejπ/2，求其方向函数及立体方向图。图6.3-14例6.3.3的坐标图解先求阵因子。

路径差为所以，总相位差为阵因子为根据方向图乘积定理，阵列方向函数为图6.3-15为由Matlab软件绘出的此二元阵的归一化立体方向图。图6.3-15二元阵的归一化立体方向图通过以上实例的分析可以看出，加大间隔距离d会加大波程差的变化范围，导致波瓣个数变多；而改变电流激励初始相差，会改变阵因子的最大辐射方向。常见二元阵图形阵因子如图6.3-16所示。图6.3-16二元阵图形阵因子

6.4对偶原理与电流环（磁流元）辐射

6.4.1对偶原理

引入假想的磁荷和磁流概念之后，磁荷与磁流也产生电磁场，因此麦克斯韦方程组可修改为(6.4.1a)(6.4.1b)(6.4.1c)(6.4.1d)在无界的简单媒质中，如果存在“电源”J、

ρ，它们产生的电磁场用Ee、He表示，则其满足的麦克斯韦方程组为(6.4.2a)(6.4.2b)(6.4.2c)(6.4.2d)如果存在“磁源”Jm、ρm，它们产生的电磁场用Em、Hm表示，则其满足的麦克斯韦方程组为(6.4.3a)(6.4.3b)(6.4.3c)(6.4.3d)由上可见，如果对式（6.4.2）作以下变量代换：(6.4.4)例6.4.1应用对偶原理，求磁基本振子的远区辐射场。解引入假想的磁荷与磁流概念之后，载流细导线小圆环可等效为相距dl，两端磁荷分别为+qm和－qm的磁偶极子，其磁偶极矩由此可得磁基本振子的磁流其对应的磁流复量为如果定义磁偶极子对应的磁流元为Imdl，那么它与电流环的关系为或将上式代入式（6.4.14），可将磁偶极子产生的远区场重写为(6.4.6b)(6.4.6a)式（6.4.6）也可以根据对偶原理，将式（6.1.4）经过式（6.4.4）的变换得到。6.4.2磁流元的辐射场

磁基本振子是一个半径为a(a<<λ)的细导线小圆环，载有高频均匀时谐电流i=Imcos(ωt+j)，其复振幅为I=Imejj，

如图6.4-1所示。图6.4-1磁基本振子磁基本振子的实际模型是小电流环，如图6.4-2所示，它的周长远小于波长，而且环上的谐变电流I的振幅和相位处处相同。相应的磁矩和环上电流的关系为

pm=μ0IS

(6.4.7)

式中S为环面积矢量，方向由环电流I按右手螺旋规则确定。图6.4-2小电流环和与其等效的磁矩若求小电流环远区的辐射场，我们可以把磁矩看成一个时变的磁偶极子，磁极上的磁荷是+qm、－qm，它们之间的距离为l。磁荷之间与假想的磁流Im等效，以满足磁流的连续性，则磁矩又可表示为

pm=qml(6.4.8)

式中l的方向与环面积矢量的方向一致。取如图6.4-3所示的球坐标系，根据并将其中的J(r′)dV′改为Idl′，有(6.4.9)图6.4-3磁基本振子的坐标上式中的积分是对带“′”的坐标变量（源点）进行的，r（场点坐标）是常量，所以上式可以改写为(6.4.10)显然，上式中第二项的线积分是零。第一项方括号中的因子与“静”磁偶极子（恒定电流环）的矢量位表达式相同。此式的运算结果为将上式用于式（6.4.10），只要注意到对现在讨论的“时变”磁偶极子，该式中的m=ezπa2I=ezSI

是复矢量。于是有(6.4.11)将式（6.4.11）代入H=μ－1

×A可得磁基本振子的磁场为(6.4.12a)(6.4.12c)(6.4.12b)(6.4.13a)(6.4.13b)(6.4.13c)由以上诸式可见，电场强度矢量与磁场强度矢量互相垂直，这一点和电基本振子的电磁场相同；但是，E、

H的取向互换，即E在与赤道面平行的平面内，而H在子午面内，这与电基本振子的电磁场取向比较，正好相反。对远区（kr>>λ）只保留E、

H表达式中含1/kr的项，可由式（6.4.12）和式（6.4.13）得到磁基本振子的远区辐射场：(6.4.14a)(6.4.14b)磁基本振子的平均坡印廷矢量可由式（6.4.14）获得：辐射功率为(6.4.15a)以空气的波阻抗代入上式，有辐射电阻为(6.4.15b)(6.4.16)例6.4.2沿z轴放置大小为I1l1的电基本振子，在xoy平面上放置大小为I2S2的磁基本振子，它们的取向和所载电流的频率相同，中心位于坐标原点，求它们的辐射电场强度。解由式（6.1.4）和式（6.4.14b）知，电基本振子和磁基本振子在空间任意点产生的合成辐射场为例6.4.3将周长为0.1λ0的细导线绕成圆环，以构造磁基本振子，求此磁基本振子的辐射电阻。

解由式（6.4.16）知此磁基本振子的辐射电阻为6.5惠更斯原理

所谓惠更斯面元就是其边长分别为dx、dy的矩形面积元。dx、dy均远小于波长，面上分布有正交的电场矢量ES和磁场矢量HS，且它们的幅度和相位均匀分布。如图6.5.1所示坐标系，设ES=exE0x沿x轴方向，HS=eyH0y沿y轴方向，且E0x/H0y=Z0w。图6.5-1基本面元的坐标

1．等效原理

如果电流元是由理想导体构成的，那么它的基本表面S上的磁场强度矢量H只有切向分量，且与表面电流密度矢量JeS的关系为

JeS=n×H

(6.5.1)

上式中n是电流元基本表面S上的单位法向矢量。如果我们用JeS表示基本表面S上表面电流密度的量值，用Ht表示基本表面S上切向磁场的量值，则有

JeS=Ht

(6.5.2)

如果电流元表面的电流密度JeS是均匀分布的，且电流元横截面的周长为L，则电流元表面电流的量值Ie可以用基本表面S上的切向磁场Ht来表示，即

Ie=JeSL=HtL

(6.5.3)类似地，对于图6.4.3中给出的磁流元，表面磁流密度矢量JmS与表面电场强度矢量S之间的关系也应该具有式(6.5.1)的形式，即

JmS=－n×E(6.5.4)

上式中等号右边的负号说明磁流元表面电场的正方向与磁流的正方向成左手螺旋关系。与电流元类似，磁流元表面的电场也只能有切向分量，其量值为Et且与表面磁流密度量值JmS的关系为

JmS=Et(6.5.5)同样，我们假设磁流元表面的磁流密度JmS是均匀分布的，横截面周长为L的磁流元上的磁流为

Im=JmSL=EtL(6.5.6)

与电流元类似，由式(6.4.14)表示的磁流元辐射场也可以通过其表面的切向电场Et来计算。均匀平面电磁波的表达式为(6.5.7)假设这个面积元ΔS的位置在z=nλ处，于是它表面上的电场和磁场分别为(6.5.8)图6.5-2矩形面积元上的等效磁流与等效电流根据等效原理，这个面积元ΔS上的电场可以看成是等效的表面磁流密度。即

JmS=－n×E=－k×eyEt=exEt

(6.5.9)

由上式可知，等效磁流Im的正方向沿x轴的正方向，而它的量值为

Im=JmSΔy=EtΔy

(6.5.10)

同样根据等效原理，这个面积元上的磁场可以看成是等效的表面电流密度，即由上式可知，等效电流Ie的正方向沿y轴的负方向，而它的量值为(6.5.12)

2.惠更斯元的辐射场

为分析问题方便，我们假设惠更斯元的中心位于坐标原点o，其电流元位于y轴上，且电流正方向沿y轴负方向；面磁流元位于x轴上，且磁流正方向沿x轴正方向，如图6.5-3

所示。图6.5-3惠更斯元坐标系的确立参看图6.5-3和图6.5-4(a)，E面即yoz平面,是磁流元的赤道面，它的辐射场表达式为(6.5.13)上式中，磁流元电场Em的正方向与磁流Im正方向成左手螺旋关系，电场Em、磁场Hm极化的正方向与波的传播方向成右手螺旋关系。

yoz平面是电流元的子午面，其辐射场表达式为(6.5.14)上式中，电流元电场Ee的正方向是以磁流元电场Em的左手螺旋环绕正方向做参照确定的。图6.5-4E面和H面上惠更斯元坐标系的电力线和磁力线电场Ee、磁场He极化的正方向与波的传播方向成右手螺旋关系。极据场强叠加原理，E面内的总辐射场为等效电流元与等效磁流元的合成场，即(6.5.15)参看图6.5-3和图6.5-4(b)，H面即zox平面，是电流元的赤道面，其辐射场表达式为(6.5.16)上式中，电流元磁场He的正方向与电流Ie正方向成右手螺旋关系，电场Ee、磁场He极化的正方向与波的传播方向成右手螺旋关系。

zox平面是磁流元的子午面，其辐射场表达式为(6.5.17)根据场强叠加原理，H面内的总辐射场为等效电流元与等效磁流元的合成场，即(6.5.18)比较式(6.5.15)和式(6.5.18)可以看出，惠更斯元的两个主平面应有相同的归一化方向性函数，即(6.5.19)其方向性图为心脏形，如图6.5-5所示。在θ=0°方向，由于等幅的电流元与磁流元辐射场同相叠加，因而合成场最大；而在θ=180°方向，由于等幅的电流元与磁流