《电磁场与电磁波及其应用》课件第三章VIP

第三章麦克期韦方程组的几种特殊解3.1

静电场的边值问题解3.2恒定电场的边值问题解3.3恒定磁场的边值问题解3.4分离变量法3.5镜像法3.6唯一性定理3.7工程应用

3.1静电场的边值问题解

3.1.1基本方程和边界条件

1.基本方程

积分形式：(3.1.1)(3.1.2)微分形式：(3.1.3)(3.1.4)以及

D=εE(3.1.5)基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场，静止电荷时产生静电场的通量源；电场线（E线）从正的静止电荷发出，终于负的静止电荷。

2.边界条件

在两种电介质的分界面上，电场强度满足关系式：

en×(E1－E2)=0或

E1t=E2t

（3.1.6）

表明电场强度的切向分量是连续的。

电位移矢量满足的关系式为

en·(D1－D2)=ρS

或D1n－D2n=ρS(3.1.7)表明在两种媒质的分界面上存在自由面电荷分布时，电位移矢量的法向分量是不连续的。

若分界面上不存在面电荷，即ρS=0，则

en·(D1－D2)=0或D1n=D2n

（3.1.8）

此时，在分界面上，D的法向分量是连续的。式（3.1.8）可改写为

ε1E1n=ε2E2n

可见，当ε1≠ε2时，E的法向分量是不连续的，这是因为分界面上存在束缚电荷密度。3.1.2电位与电容

1.电位和电位差

由静电场的基本方程×E=0和矢量恒等式×u

=0可知，电场强度矢量E可以表示为标量函数j的梯度，即

E(r)=－j(r)(3.1.9)

式中的标量函数j(r)称为静电场的电位函数，简称电位，单位为V（伏特）。此式适用于任何静止电荷产生的静电场，即静电场的电场强度矢量等于负的电位梯度。对于点电荷的电场考虑到以下梯度运算结果则有与式（3.1.9）比较，可得到点电荷q产生的电场的电位函数为(3.1.10)(3.1.11)(3.1.12)(3.1.13)(3.1.14)

2.静电位的微分方程

在均匀、线性和各向同性的电介质中，ε是一个常数。得即静电位满足标量泊松方程。若空间内无自由电荷分布，即ρ=0，则j(r)满足拉普拉斯方程(3.1.18)分界面两侧的电位是相等的，即

j1=j2(3.1.19)又由en·(D1－D2)=ρS,可导出(3.1.20)若分界面上不存在自由面电荷，即ρS=0，则上式变为

(3.1.21)

若第二种媒质为导体，因达到静电平衡后导体内部的电场为零，导体为等位体，故该导体表面上电位的边界条件为(3.1.22)

3.电容

电容是导体系统的一种基本属性，它是描述导体系统储存电荷能力的物理量。定义两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即

(3.1.23)

电容的单位是F（法拉）。电容的大小与电荷量、电位差无关，因为该比值为常数。电容的大小只是导体系统的物理尺度及周围电介质的特性参数的函数。例3.1.2同轴线的内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间填充介电常数为ε的均匀电介质（见图3.1-1），试求其单位长电容。图3.1-1例3.1.2题图解设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为ρl和－ρl，应用高斯定律求得内外导体间任意点的电场强度为内外导体间的电压为从而求得单位长度电容为3.1.3静电场的能量与静电力

1.静电场的能量

对整个空间，外电源所做的总功为根据能量守恒定律，外电源所做的功转换为电场的能量，因此整个空间增加的电场能量为充电过程完成后，系统的总能量为电场能量的单位为J(焦耳)。如果电荷是以面密度ρS分布在曲面S上，则式（3.1.24）变为(3.1.24)(3.1.25)对于多导体组成的带电系统，因为每个导体上的电位为常数，则式（3.1.25）变为例如，双导体系统被充电后，导体1带电荷为+q，导体2带电荷为－q；电位分别为是j1和j2，则电场能量为(3.1.26)(3.1.27)

2.能量密度

电场能量存在于整个电场空间。下面导出用电场矢量表示的计算电场能量的公式。利用点电荷产生的电位j、电位移矢量D的以下关系：必有则得(3.1.28)对于线性和各向同性介质，D=εE,故上式可表示为上式表明电场能量储存在电场不为零的空间，能量密度为能量密度的单位是J/m3（焦耳/米3）。(3.1.30)(3.1.29)例3.1.3]计算半径为a,电荷为Q

的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为ε。

解方法一：已知半径为a,电荷为Q的导体球的电位j为利用式（3.1.26）得方法二：已知导体表面是一个等位面,根据式(3.1.25),得

3.静电力

在由N个导体组成的系统中，假设只有第i个带电导体在电场力Fi的作用下有一个广义坐标gi发生位移dgi，则电场力所做的功为Fidgi，系统的静电能量增量为dWe，根据能量守恒定律，该系统的功能关系为

dWS=Fidgi+dWe

(3.1.31)

式中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。静电力可分为以下两种情况：

（1）假设各带电体的电荷保持不变（恒电荷系统）。

当第i个导体发生虚位移时，所有带电体都不和外电源连接，此时dWS=0。由式（3.1.31）得

Fidgi=－dWe|q=常数

故得(3.1.32)（2）假设各带电导体的电位保持不变（恒电位系统）。

当第i个导体发生虚位移时，所有导体应分别与外部电源相连接。因此外部电压源供给的能量为根据式（3.1.26）得到系统的静电能量增量为可见，外电压源向系统提供给系统的能量只有一半是用于静电能量的增加，另一半则是用于电场力做功，即电场力做功等于静电能量的增量故得(3.1.33)例3.1.4已知平板电容器带电荷为Q，极板面积为S，间距为l，板间填充介电常数为ε的介质，利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。解利用虚位移概念,假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的表面张力为F。在此表面张力F

的作用下,使极板面积扩大了dS,则电场力做的功为FdS,根据能量守恒定律,这部分功应等于电场能量的减小值。由式（3.1.32）得

3.2恒定电场的边值问题解

3.2.1基本方程和边界条件

1.基本方程

电流密度J(r)和电场强度E(r)是恒定电场的基本矢量。根据电流连续性方程得相应的微分形式(3.2.1a)(3.2.1b)式（3.2.1a）表明从闭合面S穿出的电流恒为零，因而闭合面包围的体积内的电量也不随时间改变。由此可以认定恒定电场也是保守场，电场强度沿任一闭合路径的线积分恒为零，即相应的微分形式为因而，恒定电场也可用电位梯度表示：(3.2.2a)(3.2.2b)(3.2.3)

2.边界条件

将恒定电场基本方程的积分形式（3.2.1a）和式（3.2.2a）应用到两种不同导电媒质的分界面上，可导出恒定电场的边界条件为(3.2.5)(3.2.6)电位函数的边界条件为由式（3.2.5）和式（3.2.6）可导出场矢量在分界面上的折射关系：(3.2.7)(3.2.8)(3.2.9)3.2.2恒定电场与静电场的比拟

纵观前面的讨论，我们可以看到均匀导电媒质中的恒定电场（电源外部）和均匀电介质中的静电场（电荷密度ρ=0的区域）有很多相似之处，表3.2.1所示为两种场的比拟。在静电场中，两导体之间充满介电常数为ε的均匀电介质时的电容为(3.2.10)式中的q是带正电荷的导体1上的电量，U是两导体间的电压。在恒定电场中两个电极间充满电导率为σ的均匀导电媒质时的电导为(3.2.11)式中I是从导体1（电极1）表面流出的电流。例3.2.2计算深埋地下半径为a的导体球的接地电阻。

解导体球的电导率一般总是远大于土壤的电导率，可将导体球看做等位体，用静电比拟法求解。位于电介质中的半径为a的导体球的电容为

C=4πεa

所以导体的接地电导为

G=4πσa

式中σ为导体球的电导率。导体的接地电阻为

3.3恒定磁场的边值问题解

3.3.1基本方程和边界条件

1.基本方程

积分形式：(3.3.1)(3.3.2)微分形式：以及(3.3.5)(3.3.3)(3.3.4)基本方程表明恒定磁场是无源（无通量源）、有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源;磁力线是与源电流相交链的闭合曲线。

2.边界条件

在不同的磁介质的分界面上一般都存在着磁化面电流，

B和H在经过分界面时要发生突变。在分界面上B满足的关系式为

en·(B1－B2)=0或

B1n=B2n(3.3.6)

表明分界面上B的法向分量是连续的。在分界面上H满足的关系式为

en×(H1－H2)=JS

或

H1t－H2t=JS(3.3.7)

若分界面上不存在自由面电流（JS=0），则

en×(H1－H2)=0或H1t=H2t(3.3.8)

表明此时的磁场强度切向分量是连续的。3.3.2磁位与电感

1.矢量磁位

由于ex、ey和ez均为常矢量，故上式可分解为三个分量的泊松方程，即(3.3.13)式（3.3.13）所示的三个分量泊松方程与静电位j的泊松方程形式相同，可以确认它们的求解方法和所得到的解的形式也应相同，故可参照电位j的形式直接写出(3.3.14)将以上三个分量叠加即得矢量磁位泊松方程的解上式中的C=exCx+eyCy+ezCz为常矢量，它的存在不会影响B的求解。对于面电流分布与线电流分布，同样可以写出(3.3.15)(3.3.16)(3.3.17)例3.3.1求长度为b的载流直导线的矢量磁位。

解取如图3.3-1所示的坐标系，因电流只有z向分量，所以A只有z向分量，场点坐标是P（r,f,z），源Idz′产生的矢量磁位为对直线积分有如果b≥r，则图3.3-1例3.3.1题图根据恒定磁场在不同媒质分界面上的边界条件

en×(H1－H2)=JS,en·(B1－B2)=0

以及B=

×A，可得到不同媒质分界面上矢量磁位A的边界条件为(3.3.18)(3.3.19)磁通的计算也可以通过矢量磁位表示:(3.3.20)

2.标量磁位

在无源区中,因J=0,得×B=0。可见,无源区中磁感应强度是无旋的。因此,无源区中磁感应强度可以表示为一个标量场的梯度,令

B=－jm(3.3.21)

式中标量jm称为标量磁位。因×B=0,由上式得

2jm=0(3.3.22)

可见,标量磁位jm满足拉普拉斯方程。

3.电感

1）自感

设回路中的电流为I，它所产生的磁场与回路交链的自感磁链为ψ，则磁链ψ与回路中的电流I成正比关系，其比值

(3.3.23)

称为回路的自感系数，简称自感。自感的单位是H（亨利）。自感的大小取决于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率。

2）互感

若有两个回路存在,如图3.3-2所示。设回路C1的电流I1在回路C2中产生的磁通链为ψ12。显然ψ12与电流I1成正比，这一比值称为互感，定义为(3.3.24)互感的单位与自感相同。同理，可以用回路C2的电流

I2在回路C1中产生的磁通链ψ21与电流I2的比值来定义互感

M21：

(3.3.25)

互感的大小也取决于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率和回路的匝数。图3.3-2两回路间的互感当导线的直径远小于回路的尺寸，而且也远小于两个回路之间的最近距离时，两个回路都可以用轴线的几何回路代替。设两个回路都只有一匝，则有式中，A12为I1在C2上的矢量磁位。把式（3.3.26）和式（3.3.27）代入式（3.3.24），得(3.3.36)(3.3.37)(3.3.38)例3.3.2如图3.3-3所示,求无限长平行双导线的单位长外自感。图3.3-3平行双导线解设导线中的电流为I，由无限长导线的磁场公式（可由安培环路定理求得）可得两导线之间轴线所在平面上的磁感应强度为磁场的方向与导线回路平面垂直，单位长度上的外磁链为单位长外自感3.3.3恒定磁场的能量与磁场力

1.磁场能量

法拉第电磁感应定律指出，回路中的感应电动势等于与回路交链的磁链的时间变化率，即回路j中的感应电动势为而外加电压等于dt时间内与回路j相连接的电源所做的功为如果系统包括N个回路，增加的磁能就为回路j的磁链为(3.3.29)(3.3.30)将式（3.3.30）代入式（3.3.29）得假设各回路中的电流同时从零开始以相同的百分比α上升，即ij(t)=α(t)Ij，则dik=Ikdα，于是(3.3.31)故将式（3.3.30）代入式（3.3.31）得式中的A是N个回路在dlj上的合成矢量磁位。(3.3.33)

2.能量密度

将

代入式（3.3.32）中得于是得到(3.3.34)表明磁场能量储存于场空间，被积函数可视为磁场能量密度，表示为(3.3.35)能量密度的单位为J/m3（焦耳/米3）。例3.3.3求无限长圆柱导体单位长度的能量。

解设导体半径为a，通过的电流为I，则距离轴心r处的磁感应强度为单位长度的磁场能量为

3.磁场力

（1）两回路的磁链不变，即ψ1=常数、ψ2=常数。由于回路C1发生位移，两回路中的电流必定发生改变，这样才能维持两回路的磁链不变。故得(3.3.36)（2）两回路中的电流不变，即I1=常数、I2=常数。由于回路C1发生位移，两回路中的磁链必定发生改变，因此两个回路都有感应电动势。故得(3.3.37)因两个电流回路的磁场能量为将其代入式(3.3.37)中，得上式表明，在I1和I2不变的情况下，磁场能量的改变(即磁力)仅是由于互感M的改变引起的。例3.3.4设两导体平面的长为l，宽为b，间隔为d，上、下面分别有方向相反的面电流JSO,如图3.3-4所示。设l>>d,

b>>d，求上面一片导体板面电流所受的力。图3.3-4平行面电流磁力解考虑到间隔远小于其尺寸，故可以看成无限大面电流，由安培回路定律可以求出两导体板之间的磁场为

B=ezμ0JSO

导体外磁场为零，当用虚位移法计算上面的导体板受力时，假设两板间隔为一变量z，磁场能为假定上导体板位移时，电流不变，由式(3.3.37)得

3.4分离变量法

3.4.1直角坐标系中的分离变量法

设位函数j只是x、y的函数，而沿z坐标方向没有变化，则拉普拉斯方程为(3.4.1)将j(x,y)表示为两个一维函数X(x)和Y(y)的乘积，即

j(x,y)=X(x)Y(y)(3.4.2)将其代入式（3.4.1），有将上式各项除以X(x)Y(y)，得上式中，左端仅为x的函数，右端仅为y的函数，而对x、y取任意值时，它们又是恒等的。式中的每一项都须等于常数，将此常数写成－k2，即(3.4.3)(3.4.4)(3.4.5)由此得当k=0时，方程(3.4.4)和方程(3.4.5)的解为

X(x)=A0x+B0

Y(y)=C0y+D0

于是

j(x,y)=(A0x+B0)(C0y+D0)(3.4.6)

当k≠0且k为实数时，方程(3.4.4)和方程(3.4.5)的解为

X(x)=Asinkx+Bcoskx

Y(y)=Csinhky+Dcoshky

于是

j(x,y)=(Asinkx+Bcoskx)(Csinhky+Dcoshky)(3.4.7)

若k为虚数，则式（3.4.7)中右边的x和y互换位置即可。由于拉普拉斯方程(3.4.1)是线性的，所以式(3.4.6)和式(3.4.7)的线性组合也是方程(3.4.1)的解。在求解边值问题时，为了满足给定的边界条件，分离常数k通常取一系列特定

的值kn(n=1,2,…)，而待求位函数j(x,y)则由所有可能的解的线性组合构成，称为位函数的通解，即若将式(3.4.3)中的k2换为－k2，则可得到另一形式的通解：(3.4.9)(3.4.9)(3.4.8)例3.4.1如图3.4-1所示，两块半无限大平行导体板的电位为零，与之垂直的底面电位为j(x,0)，求此半无限槽中的电位。其中图3.4-1无限长槽的电位解本题的电位与z无关，只是x,

y的函数，本例的边界条件为

①

x=0时，j=0;

②x=a时，j=0;

③y→∞时，j=0;由边界条件①和②知，基本解Xn=sin(nπx/a),而基本解Yn(y)只能取指数函数或双曲函数，但考虑到边界条件③，有Yn=e－nπy/a，至此我们使用了边界条件①、②、③。为满足边界条件④，取级数代入边界条件④，得(3.4.10)运行正弦函数的正交归一性，得化简得将式(3.4.11)代入式（3.4.10）即可得到待求电位。(3.4.11)3.4.2圆柱坐标系中的分离变量法

在这种情况下，位函数满足的拉普拉斯方程为(3.4.12)令位函数代入上式，有得到由于此式对ρ和f取任意值时都成立，所以式中的每一项都等于常数，即由此将拉普拉斯方程（3.4.12）分离成两个常微分方程:(3.4.13)(3.4.1４)式中k为分离常数。当k=0时，方程（3.4.13）和方程（3.4.14）的解为(3.4.15)于是当k≠0时，方程（3.4.13）和方程（3.4.14）的解为于是(3.4.16)分离常数应取整数值，即k=n(n=0,1,2,…)，由此得到圆柱形区域中二维拉普拉斯方程（3.4.12）的通解为式中的待定常数由具体问题所给定的边界条件所确定。例3.4.2将半径为a的无限长导体圆柱置于真空中的均匀电场E0中，柱轴与电场E0垂直，求任意点的电位。

解令圆柱的轴线与z轴重合,电场E0的方向与x方向一致，如图3.4-2所示，由于导体柱是一个等位体，不妨令其为零，即在柱内电位j1=0，柱外电位j2满足拉普拉斯方程，j2的形式就是圆柱坐标系拉普拉斯方程的通解。图3.4-2均匀场中的导体柱以下由边界条件确定待定系数，本例的边界条件是

①ρ→∞，柱外电场E2→E0ex，这样j2→E0x,即j2→

E0ρcosj;

②ρ=a，导体柱内、外电位连续，即j2=0。

除此之外，电位关于轴对称，即在通解中只取余弦项，于是，

由边界条件①可知，这样，由边界条件②,有因这一表达式对任意的j成立，所以于是，3.4.3球坐标系中的分离变量法

在球坐标系中，对于以极轴为对称轴的问题，位函数与坐标变量j无关，则拉普拉斯方程为令位函数j(r,θ)=R(r)F(θ)，代入上式，得(3.4.18)将上式各项乘以可得到由于此式对r和θ取任意值时恒成立，所以式中的每一项都等于常数，即由此将拉普拉斯方程（3.4.18）分离成两个常微分方程:(3.4.19)(3.4.20)方程（3.4.20）称为勒让德方程。若分离常数k的取值为

k2=n(n+1)(n=0,1,2,…)则其解为

F(θ)=AnPn(cosθ)+BnQn(cosθ)(3.4.21)其中Pn(cosθ)称为第一类勒让德函数，Qn(cosθ)称为第二类勒让德函数。对球形区域问题，θ在闭区间［0,π］上变化，而Qn(cosθ)在θ=0和θ=π时是发散的，所以，当场域包含θ=0和θ=π的点时，在式（3.4.21）中应取Bn=0，即

F(θ)=AnPn(cosθ)(3.4.22)

Pn(cosθ)又称为勒让德多项式，其一般表达式为(3.4.23)下面给出前几个勒让德多项式的表达式：当k2=n(n+1)时，方程（3.4.19）的解为

R(r)=Cnrn+Dnr－(n+1)于是得到方程（3.4.18）的基本解

j(r,θ)=［Cnrn+Dnr－(n+1)］Pn(cosθ)(3.4.24)

由n取所有可能数值时各解的线性组合，即得到球形区域中二维拉普拉斯方程（3.4.18）的通解为(3.4.25)

3.5镜像法

3.5.1接地导体平面的镜像

1．点电荷对无限大接地导体平面的镜像

如图3.5-1所示，有一个点电荷q，位于无限大接地导体平面上方，与导体平面距离为h。在z>0的上半空间，总电场是由原电荷q和导体平面上的感应电荷共同产生的。图3.5-1点电荷与无限大接地导体平面设想将导体平面抽去，使整个空间变为充满介电常数为ε的均匀电介质，并在点电荷q的对称点(0，0，－h)上放置镜像电荷q′=－q，如图3.5-2所示。此时，z>0的空间中任意一点P(x,y,z)的电位函数就等于原电荷q与镜像电荷－q所产生的电位之和。图3.5-2点电荷与无限大接地导体平面的镜像这一点非常重要，在后面介绍的球和圆柱的镜像问题上尤为突出。(3.5.1)容易证明，电位函数j(x,y,z)在z=0处满足j=0；在z>0的空间，满足2j=0(除点电荷q所在点之处),式(3.5.1)就是位于无限大接地导体平面上方的点电荷q产生的电位函数，对电位求负梯度就可求出相应的电场。根据导体与介质分界面上的边界条件可求出导体平面上的感应电荷密度(3.5.2)导体平面上的总感应电荷为(3.5.3)

2．线电荷对无限大接地导体平面的镜像

如图3.5-3所示，沿y轴方向的无限长直线电荷位于无限大接地导体平面上方，相距为h，单位长度带电量为ρl，与点电荷对无限大接地导体平面的镜像类似分析，可知其镜像电荷仍是无限长线电荷，如图3.5-4所示。图3.5-3线电荷与无限大接地导体平面图3.5-4线电荷与无限大接地导体平面的镜像镜像电荷的密度和位置分别为

ρl′=－ρl，z′=－h(3.5.4)

在z≥0的上半空间中，电位函数为(3.5.5)

3.点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像

图3.5-5表示相互垂直的两块半无限大接地导体平面，点电荷q与两导体平面的距离分别为d1和d2。需要求解的是第一象限内的场分布。图3.5-5点电荷与正交导体平面点电荷q对相互垂直的两块接地半无限大导体平面有三个镜像电荷，如图3.5-6所示。这时所求的有效空间是第一象限，三个镜像电荷将与原电荷一起成为产生电位和电场的源，由点电荷的电位和电场表达式进行叠加就能写出电位和电场的解。图3.5-6点电荷与正交导体平面的镜像3.5.2导体球面的镜像

1．点电荷对接地导体球面的镜像

如图3.5-7所示，点电荷q位于一个半径为a的接地导体球外，与球心距离为d。点电荷q将在导体球面上产生感应电荷，导体球外的电位就由点电荷和感应电荷共同产生。这类问题可用镜像法计算。图3.5-7点电荷与接地导体球面把导体球面移去，用一个镜像电荷来等效球面上的感应电荷。为了不改变球外的电荷分布，镜像电荷必须放置在导体球面内。又由于对称性，镜像电荷应位于球心与点电荷q

的连线上，如图3.5-8所示。图3.5-8点电荷与接地导体球面的镜像设镜像电荷为q′，与球心距离为d′，则由q和q′，产生的电位函数为由于导体球接地，在球面r=a处，j=0。于是有由此得因上式对任意的θ都成立，所以由此解得和(3.5.6)球外的电位函数为(3.5.7)球面上的感应电荷密度为(3.5.8)导体球面上的总感应电荷为(3.5.9)从式（3.5.8）看出，接地导体球面上的感应电荷分布是不均匀的，靠近点电荷q的一侧密度大些；从式(3.5.9)看出，球面上的总感应电荷等于所设置的镜像电荷。如果点电荷q位于半径为a的接地导体球壳内，与球心距离为d(d<a)，欲求球壳内的电位分布，也可用镜像法求解。此时的镜像电荷应放置在球外，且在球心与点电荷q的连接线

的延长线上。设镜像电荷为q′，与球心距离为d′。仿照上面的做法，可得到(3.5.10)由于d<a，所以必有|q′|>|q|。也就是说，这种情况下，镜像电荷的电荷量大于点电荷q的电荷量。当点电荷位于接地导体球壳内时，球壳外的电位φ=0，球壳内的电位函数表达式与式(3.5.7)相同，感应电荷分布在导体球壳的内表面上，其电荷面密度为导体球壳上的总感应电荷为(3.5.11)(3.5.12)

2．点电荷对不接地导体球面的镜像

为使导体球面为等位面，所加的电荷－q′应均匀分布在导体球面上，这样可以用一个位于球心的镜像电荷q″=－q′来替代，如图3.5-9所示。图3.5-9点电荷与不接地导体球面的镜像球外任一点P的电位函数就为式中(3.5.13)(3.5.14)3.5.3导体圆柱面的镜像

1．线电荷对导体圆柱面的镜像

一根电荷线密度为ρl的无限长线电荷位于半径为a的无限长接地导体圆柱面外，且与圆柱的轴线平行，线电荷到轴线的距离为d，如图3.5-10所示。图3.5-10线电荷与接地导体圆柱在用镜像法解此问题时，为使导体圆柱面成为电位为零的等位面，镜像电荷应是位于圆柱面内部且与轴线平行的无限长线电荷，设其线密度为ρl′，由于对称性，镜像电荷必定位于线电荷ρl与圆柱轴线所确定的平面上，设镜像电荷ρ1′距圆柱的轴线为d′，如图3.5-11所示。图3.5-11线电荷与导体圆柱的镜像空间任意一点P的电位函数应为ρl和ρl′在该点产生的电位之和，即由于导体圆柱接地，所以当ρ=a时，电位应为零，即上式对任意的f都成立，因此将上式对f求导，可得到所以有(3.5.15)由式（3.5.15）可求得关于镜像电荷的两组解(3.5.16)

和

由此，导体圆柱面外的电位函数为故(3.5.17)导体圆柱面上的感应电荷面密度为导体圆柱面上的感应电荷面密度为(3.5.19)(3.5.20)

2．两平行圆柱导体的电轴

图3.5-12表示半径都为a两个平行导体圆柱的横截面，它们的轴线间距为2h，单位长度分别带电荷ρl和－ρl。由于

两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面上的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度较大，而相背的一侧电荷密度较小。图3.5-12平行导体圆柱截面根据线电荷对导体圆柱的镜像法，可以设想将两导体圆柱撤去，其表面上的电荷用线密度分别为ρl和－ρl且相距为2b的两根无限长带电细线来等效替代，如图3.5-13所示。实际上是将ρl和－ρl看成是互为镜像。带电细导线所在的位置称为带电圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。图3.5-13两无限长细电荷电轴的位置由式(3.5.16)确定。在此d′=h－b，d=h+b，故有

(h－b)(h+d)=a2

由此解得这样，导体圆柱外空间任意一点的电位函数就等于线电荷密度分别为ρl和－ρl的两平行双线产生的电位叠加，即3.5.4介质平面的镜像

1．点电荷对电介质分界平面的镜像

如图3.5-14所示，介电常数分别为ε1和ε2的两种不同

介质，各均匀充满上、下无限大空间，其分界面是无限大平面；在电介质1中有一个点电荷q，与分界平面距离为h。图3.5-14点电荷与电介质分界平面在点电荷q的电场作用下，电介质被极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任意一点的电场由点电荷q与极化电荷共同产生。依据镜像法的基本思想，在计算电介质1中的电位时，用置于介质2中的镜像电荷q′来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看做充满介电常数为ε1的均匀介质，如图3.5-15所示。图3.5-15介质1的镜像电荷在计算电介质2中的电位时，用置于介质1中的镜像电荷q″来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看做充满介电常数为ε2的均匀介质，如图3.5-16所示。图3.5-16介质2的镜像电荷介质1和介质2中任意一点P的电位函数分别为(z≤0)(3.5.23)(3.5.22)所设置的镜像q′和q″的量值，需通过介质分界面上的边界条件来确定。在介质分界面z=0处，电位应满足边界条件将式（3.5.22）和式（3.5.23）代入上式，得由此解得镜像电荷q′和q″分别为(3.5.24)将式（3.5.24）分别代入式（3.5.22）和式（3.5.23），得(3.5.25)(3.5.26)

2．线电流对磁介质分界平面的镜像

如图3.5-17所示，磁导率分别为μ1和μ2的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在介质1中有一根无限长直线电流I平行于分界平面，且与分界平面相距h。此时，在直线电流

I产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在不同磁介质的分界面上有磁化电流分布。图3.5-17线电流与磁介质分界平面依据镜像法的基本思想，在计算磁介质1中的磁场时，用置于介质2中的镜像线电流I′来代替分界面上的磁化电流，

并把整个空间看做充满磁导率为μ1的均匀介质，如图3.5-18所示。在计算磁介质2中的磁场时，用置于介质1中的镜像线电流I″来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看做充满磁导率为μ2的均匀介质，如图3.5-19所示。图3.5-18磁介质1的镜像线电流图3.5-19磁介质2的镜像线电流因为设定电流沿y轴方向流动，所以矢量磁位只有y分量，即A=eyA，则磁介质1和磁介质2中任意一点P(x,z)的矢量磁位分别为(3.5.28)(3.5.27)所设置的镜像线电流I′和I″的量值需通过磁介质分界面上的边界条件来确定。在磁介质分界面z=0处，矢量磁位应满足边界条件将式（3.5.27）和式（3.5.28）代入上式，得由此解得镜像电流I′和I″分别为(3.5.29)上式与式（3.5.24)类似，将式（3.5.29）分别代入式（3.5.27）和式（3.5.28），得

3.6唯一性定理

设区域V内的解不是唯一的，那么至少存在两个位函数满足同样的泊松方程，即令j0=j1－j2，则有由于将上式在V内积分并利用散度定理，有由于故式（3.6.1）变为

3.7工程应用

1.电场力与磁场力的应用

1）静电除尘

静电除尘装置的结构是：将棒状或丝状高压放电电极两端绝缘，并悬挂在接地平板集尘极之间或接地圆筒形集尘极的轴心上，在高压放电极上施加负高压，当达到电晕起始电压以上时，高压极表面就出现紫色的光点，同时发出嘶嘶声，含有粉尘或烟雾的气体通入时，粉尘及烟雾等粒子因负离子作用而直接带电，在电场作用下它们被吸附在集尘极并堆积起来，被净化的气体从中抽出。所堆积的粉尘，在敲打集尘极时脱落，并加以清除。静电除尘与一般的用离心力分离、清洗、过滤等除尘方法相比，具有较高的除尘效率，一般可达95％以上，高的可达99

％以上，可捕集0.01μm以上的微粒，除尘粒径范围大，尘埃可为干式或湿式。装置的压力损失较小，维护简便,所花费用较少,能处理腐蚀性气体或尘埃,可进行高温排气处理,一般达350℃,特殊设计可达500℃；另外，静电除尘耗电少，处理气量大,对于发电容量为100万千瓦的火电厂，处理烟气量可达每小时数百万立方米。但对于处理气量较小的装置，初始成本较高；对于各种不同的粉尘，必须调节除尘条件，当处理可燃性气体时，必须设有防爆措施。

2）静电喷涂

静电喷涂是利用静电吸附作用将聚合物涂料微粒涂敷在接地金属物体上，然后将其送入烘炉以形成厚度均匀的涂层。电晕放电电极使直径（5～30）μm的涂料粒子带电，在输送气力和静电力的作用下，涂料粒子飞向被涂物，粒子所带电荷与被涂物上的感应电荷之间的吸附力使涂料牢固地附在被涂物上。一般经(2～3)s，涂层即可达(40～50)μm厚。静电喷漆是在高压静电场作用下，使从喷枪喷出来的漆雾带上电荷，这种带电的漆雾，向带异号电荷的工件表面吸附，沉积成均匀的涂膜。静电喷涂的漆液利用率甚高，可达80%～90％左右，主要用于汽车、机械、家用电器等行业。喷洒农药的静电喷雾机和静电喷粉机均装设静电喷头,利用数百到数千伏的高压直流电源通电到喷头,使药液或药粉颗粒带电，而喷洒对象则由静电感应而引发出相反极性的电荷，从而使药液或药粉颗粒在静电场作用下喷向喷洒对象。利用静电作用能显著提高命中率，减少药剂损失和对环境的污染，并可将药剂喷洒到目标的背面以增强防治效果。

3）静电纺纱

静电纺纱是在纺纱过程中利用静电场对纤维的作用力，使纤维得到伸直、排列和凝聚，是属于自由端纺纱范畴的一种新型纺纱技术。现在世界上仍处于理论探讨和试验阶段，尚未达到工业生产规模。我国现已建立了中试车间，并能稳定地进行几十个品种的生产。

4）静电植绒

静电植绒是利用静电场作用力使绒毛极化并沿电场方向排列，同时被吸着在涂有黏合剂的基底上成为绒毛制品。其装置由两个平行板电极构成。其中下电极接地，并在其上放置基底材料和短纤维，上电极板施加高压直流电，两电极间形成强电场。以仿麂皮绒产品为例，其工作过程是：将（35～60）kV高压电源的负极接入装有绒毛的金属网框上，涂有黏合剂的基底材料置于金属托架上,并接入电源的正极,使金属网框和金属托架之间形成静电场。经过整形处理后的绒毛通过金属网孔以后，进入电场被极化，并使其转动而平行于电场方向，沉于基底而被粘

附,形成植绒物品。目前其主要产品类型有纤维制品（如地毯、坐垫、人造皮毛和印花绒布等）、塑料制品（如装饰布、保护用吸声布及赋有表面弹性的制品等）、金属制品（如装饰材料、保护材料和隔热材料等），以及其他用于装饰的木制壳体和纸制壳体等。

5）静电复印

静电复印是利用光电导敏感材料在曝光时按影像发生电荷转移而存留静电潜影，经一定的干法显影、影像转印和定影而得到复制件。其所用材料为非银感光材料。静电复印有直接法和间接法两种。前者将原稿的图像直接复印在涂敷氧化锌的感光纸上,又称涂层纸复印机;后者将原稿图像先变为感光体上的静电潜像，然后再转印到普通纸上，故又称普通纸复印机。按显影剂形态是干粉还是液体又可分为干式和湿式两类。目前世界各国生产的静电复印机以干式间接法静电复印机为主。

常用的复印材料有氧化锌、硒、硫化镉等无机光电导材料以及聚乙烯咔唑(PVK)、三硝基芴酮(TNF)等有机光电导材料。静电制版是利用静电复印原理，使具有光电导性能的纸版成为静电照相版。与传统的照相制版相比，静电制版速度快、工序少、成本低、操作简便、节约白银。

6）静电火箭发动机

静电火箭发动机的特点是比冲高、寿命长（可启动上万次，累计工作上万小时），但推力很小，适用于航天器的姿态控制、位置保持和星际航行等。静电火箭发动机的工质（如汞、铯、氢等）从储存箱经过电离室电离成离子，在引出电极的静电场力作用下加速形成射束。离子射束与中和器发射的电子耦合形成中性的高速束流，喷射而产生推力。推力通常为（0