《高等数学上册 第3版》 刘金林 习题及答案 第3章（导数应用）习题解答

习题解答

习题3.1

1.验证罗尔定理本函数/(x)=xln(2—幻在区间［0,1］上的正确性.

解:因为/(x)=xln(2-工)在区间［0J上连续，在(0,1)内可导，且

/(0)=/(I),所以由罗尔定理知，至少存在一点4£(0,1)，使得

re)=in(2-g)-1=o.

2-4

X

而/'(x)=ln(2—x)--=知/'(0)=1112>0,/71)=-1<0,由连续函

2-x

数的介值定理知，确实存在自£(0,1)使得re)=ln(2—J)-一三二0.

2g

2.证明对函数/(X)=px2+/+，•在区间［%,厮+©］上应用拉格朗

日中值定理时所求得的〈总是位于区间［%,而+入门的中点.

2

证明：因为函数/(x)=px+办+厂在闭区间［%,玉)十八月上连续,在

开区间“0，/+-)内可导，由拉格朗日中值定理，至少存在一点

(x0,x0+Ar)，使得/(公+©)-/(%)=/'(。)叔，即

22

［p(x0+Ax)+q(x。+Ax)+r］-［px0+qx0+r］=Qpg+q)\x.

化简上式得：

Ar

［〃(2Xo+Ax)+q］=2〃J+4，故€=/十5.

3.函数/。)=/送(用=/+］在区间化2］上是否满足柯西中值定

理的条件？若满足条件，求出定理中的

解容易验证/(x)=J,g(x)=x2+］在区间［1,2］上满足柯西中值定

理的条件.

而/⑵-/⑴J©

又f(x)=3x2,gf(x)=2x即

g⑵—g⑴g'G)

23-13_3^2化简上式得：L=%,故&=匕

22=

(2+1)-(1+1)^7329

4.不用求出函数/(用的导数，说明方程/'(幻=0有几个根？并指出

它们所在的区间.

(1)/(x)=(x—l)(x—2)(%—3)(%—4)

解容易验证/*)在区间［1,2］上满足罗尔定理的条件，因此存在

。w(l,2)为了'(x)=0的根；类似地/(X)在区间［2,3］、［3,4］上也满足罗

尔定理的条件，因此分别存在(2,3)、4£(3,4［为/'")=0的根.由

于/'*)得最高次数为3,因此/'。)=0只有三个根.

(2)/(x)=exsinx

解容易验证/(x)=e'sinx在区间［〃乃,(〃+1)万|上满足罗尔定理的

条件，因此存在4£(〃7,5+1)/)为/'(幻=0的根(无数个)；其中

7?=0,±1,±2,.

5.设实数4，q,…，。〃满足〃0+&•+&■+…+乌一=0,证明方

23〃+1

2

程/+a1x+a2x+…+a〃x”=0在(0,1)内至少有一个实根.

证明：作辅助函数f(x)=4/+幺/+&丁++卫五川，则fQ)

23n+\

在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且/(0)=0,

/(1)=4+"+&++—=0.所以/.(1)满足罗尔定理的条件.乂

237?+1

2

f\x)=a()+a］x+a2x+.•+altx"»由罗尔定理知，至少存在一点

&£(0,1)使得((4)=0.即方程&+。3+生/+…+4/"=0在

(0,1)内至少有一个实根.

6.利用中值定理证明下列不等式：

(1)arctana-arctanb<a-h(0<Z?<tz)；

证明⑴设/(x)=arctanx,则於)在仍，a］上连续，在(b,a)内可导，由

拉格朗日中值定理，存在全(瓦。),使

j(a)-fib)=ff(^(a-b\即arctana-arctanb=丁二(。一〃)，

而0<—二<1,所以aretcina-arctanb<a-b.

l+T

(2)〃b"-'(a-b)<an-bn<〃优”(a-b)(0<b<a,〃>1)；

证明(2)设凡则/U)在阻上连续，在(Ea)内可导，由拉格朗日

中值定理，存在"3,〃)、使

Aa)-f(b)=ff^(a-b\即惦〃」3-母

因为nbn-\a-b)<n^n-\a-b)<iuf-\a-b),

所以汕"」(a-b)<an-bn<na,vA(a-b).

/c、工2一项八一M〃、%、

(3)一,<tanx2-tanx}<-、(0<内〈占〈一)；

cos'$~cos"x2~2

证明(3)设/(x)=tanx,则/(x)在［内，二连续，在(X，/)内可

导，由拉格朗日中值定理,存在炎(王，士)，使

)-/(%)=广-仙

即tanx-tan玉=———(马一玉)，

2cos'J~

222

cosX]cos百cosx2’

XX

LL22~\与L小万、

所以0＜tanx2-tanx[＜-（0＜项＜%，＜一）.

cos--cosx2~2

(4)ex>ex(x>1).

证明(4)设，(力=，，则f(x)在［1,划上连续，在(1,x)内可导，由

拉格朗日中值定理，存在"(1,x),使

fM-/(l)=r«)(x-1),即：产一e=4(》一1),

因为所以/>c,从而

ex-e>e(x-1)=ex-e

所以ex>ex(x>1).

7.(1)证明：arcsinx+arcco&¥=—(-1<x<1)；

2

证明设/(x)=arcsinx+arccosx,因为

f\x)=,——J三0,(-1<x<1)

所以/(x>C,其中C是一常数.取x=0,得到

/(O)=arcsin0+arccos0=0+—=—；

又/(-1)=arcsin(-1)+arccos(-1)=-y+^=y，

7171

/(I)=arcsin1+arccos1=—+0=—

22

71

因此arcsinx+arccosx=—(-1<x<l)；

2

(2)若在区间(a,b)内有/'(x)=g'(x),证明在此区间内

f(x)=g(x)+C(C为任意常数).

证明:设尸(x)=/(%)-g(x),因为

FXx)=/'")-g'。)三0,所以F(x)三C,其中。是一常数.

因此/(x)=g(x)+C(C为任意常数).

8.若函数/(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，且

/U|)=f(X2)=/(x3)»其中。＜为＜冗3＜6，证明：至少存在一

点欠（再，为），使得广©=0.

证明：由题意可知/（x）在区间值,%］上连续，在（X，%）内可导，且

/（为）=/（电）・由罗尔定理，存在。£（X|，W），使/'（。）=。.类似地也

存在$£（外，丹）,使尸（$）=0.进一步,可知/（功在区间/使21上满

足罗尔定理条件，因此存在专£©,乙）（=（3,&），使得/〃e）=o.

9.设函数/（X）在闭区间m/i上满足罗尔定理的条件，且/（幻不恒

等于常数，证明：在（。，坊内至少存在一点使得了‘（4）>（）.

证明：因为/（〃）=/（》），且/（X）不恒等于常数，所以至少存在一点

c£（a,b）,使得

/⑹//（。）=/S）.不妨设/⑹>/（〃）=/（〃），显然/0）在闭区间

［。工］上满足拉格朗日中值定理，于是至少存在一点。£（4,c）u（。,》），使

得

（©JO/⑷〉0.

c-a

同理可证/（c）<f（a）=f（b）的情形.

10.设函数/（幻在闭区间［。,回上连续，在开区间（。,。）内可导，且

/（〃）=/0）=0,证明：至少存在一点自£（。，力，使得

/©+"C）=0.

证明：设2X）=T/（X）,显然尸。）在闭区间&切上满足罗尔定理,

于是至少存在一点4£（。,切，使得/’修）=0,而尸（x）=/3+M7x），

从而/c)+4re)=o.

11.设函数/(X)在闭区间仅，加上连续，在开区间(。泊)内可导

(0<a<b),证明：至少存在一点4£(。，。)，使

—=守©)1*.

a

证明：令g(x)=lnx,易见/(x)、g(x)在闭区间［。乃］上连续,在开

区间(出〃)内可导，且,(X)=LHO,因此f(x)、g(x)满足柯西中值定

X

理，于是至少存在一点4£(凡〃)，使得干也)小1)二斗豆.即

g(b)-g(a)g(J)

a

12.证明：若函数/(x)在(一8,+8)内满足关系式/")=/(©,

且/(0)=1,那么/(力=".

证明：作辅助函数F(x)=""(x),易见尸(X)在(一8,+00)内连续可

导，并且

F(x)=""'(x)—""(X)三0,

所以尸(幻三C,其中C是一常数，即""(x)=C,/(x)=CZ.又由

/(0)=1知C=l.所以

f(x)=ex.

13.假设函数/(x)在x=。的某邻域内具有〃阶导数，且

/(0)=/'(0)=…=丁”7(0)=0,试用柯西中值定理证明：

一/("(0<^<1).

x"/?!

证明：已知/（x）在x=0的某邻域内具有〃阶导数，在该邻域内任意

取一点x,由柯西中值定理得

/*）=/（划一/（0）=八"

其中。介于之间.

/~Xr~0H—〃端-0/

又了©)./'©)-八0)—尸C)

其中&介于之间•

谭t〃(久-_0。)n(n-l)^-2Q4

依此类推，得

C〃T）_《1）一/（'1）（。）_

其中S介于0&I之间.

〃喝i一叫心一0）-加

记多二夕¥（0＜。＜1）,因此/'”）（&）=/""（6x）（0＜夕＜1）.

xn〃！n\

习题3.2

1.利用罗必达法则求下列极限:

(1)limg-%("0)；

J,y/x-y/a

1

解：原式=lim3y=——=.

f13

2y[x

sinx-sina

(2)lim----------

fx-a

丘〃h—cosx

解：原式=hm----=cosa.

x->a|

/c、..ln(l+x)-x

(3)hm------——；

1。COSX-1

—1

解：原式=lim±H—=lim——-——=lim---=1.

so-sinxv->0(l+x)sinx(l+x)x

…「Insinx

(4)hm------------r

喈(%一2x)2

解：原式=lim—————=-lim~CSCX=--

一四2(4一2幻・(-2)4..£28

22

,「、1.ln(l+x2)

(5)lim-----------

secr-cosx

2x

解：原式=lim-----上匕2------

10secxtanx+sinx

x..cos2x..2,

==lim-----lim------——lim----7=1.

sinxJ。1+cos-xio1+x"

.Insin3x

(6)ltim-------

1。+Insinx

3cos3x

解：原式=同皿工=3lim竺汉包£

x>o+cesx1->o*sin3xcosx

sinx

sinxcosx,

=3lim-----=3lim-------=1.

—o'sin3xXTO*3cos3x

z_...x+x2+…+x"一〃

(7)hm------------------

ix-1

l+2x+3x2+〃x"T,3

解：原式二hm-------------------=1+2+

,V->11

(8)limInx-ln(x-1)：

x->r

1

s..In(x-l)

解：原式=hm：---=hm-^~

x->r1XT1——1

Inxxln2x

Ain2xIn2x+2\nx八

=-lim------=-lim------------=0.

fx-1I'I

2

(9)limx(ex-1)

.V—>0O

22

ex-(-------)2

exiH

解：原式=lim---=lim-----—=limex-2=2

A->X1X->001KT8

AX2

(10)lim(-----)；

ax-l\nx

解:原式=lim巫上=]im一见J

-(DEXiinx+d)，

x

xlnxlnx+11

=hm-----------=hm---------=—

xlnx+(x-l)Ilnx+1+12

K

cos-X

(11)lim(l-x)2；

.r->r

cos-Aln(l-i)limcos-xln(l-v)

解：原式二lime2;「，又

..乃i/[、「In(l-x)2..i_v

hmcos—xln(l-x)=hm-------=——hm-------------

2x->l_7tjrx->l-717t

sec—xsec—xtan—x

222

2TC

ccos-—X

"im------2_

乃,f(l-x)sin^x

c71.71

2cos—xsin—x

=lim----------------------

x->r.71、7l71

-sin—Z(11-x)—cos—x

所以，原式=e°=l.

___i_

(12)limW-D

xf0+

InxInx

-----------Inn-----------

解：原式=limJnM-D=eD+ln(/-l),又

x->o+

\nx「v

hm-------=hm——

-o+In(，-1)D-ex

p*-I1pJ

lim--=lim---=1,

XTO'xeAXTO,ex+xex

所以，原式=/=e.

(13)lim(-),anv；

10'X

-limtanxlnx

解：原式五e-,又

1

,,,「Inx

limtanxlnx=lim-----=lim——^―

.v->0*COtXXTO--CSC'X

sin".v_2sinxcosx八

=-hm-----=-lim------------=0,

XTO'xA->O+1

所以，原式=e°=l

(14)lim(l+x)cct2^；

x70

解：原式s.rin,、l>mcot2Aln(l+x)

=limeM2xln(l+.r)=0go，又

A-->0

1

..C1八、「ln(l+x)£

limcot2xln(l+x)=lim-J---i--m--叶x

ioX->Otan2x2msec-2x2

所以，原式=&

72XJ.

1-Y-€~

(15)lim-----------

a。sin42x

2.2.2

解：原式二lim'—=lim~X+X^'=limX(e"~1)

D4sin2xcos2xD4siir2xr->o4sinlx

x*(—x2)1

=lim-------=----.

.D4(2X)332

3

(16)lim(2A+3X+5V)-V；

X->+8

3

lim-ln(2x+3x+5x)

-ln(2v+3x+5v)

>4*00X

解：原式:limex

.V->4-o0

3

lim-ln(2x+3v+5v)

XT+00X

cr2-2+3—3+575

=3lim-----------------------

x*2、+3、+5、

23

(-)rIn2+(-/In3+In5

=3lim---------------------------=31n5,

…令+("

所以，原式=*5=125.

,.1

x~sin—

2.验证极限lim-------工存在，但不能用罗必达法则计算出来.

-0sinx

2.1

x1厂,in一

解：原式二lim—^•limxsin—=l-O=O,所以，极限lim--------工存

¥-*°sinx3。xiosinx

在.但是

(x2sin—)z2xsin--cos—

Iim--------=lim----------..........-

(sinx)"cosx

不存在，不能用罗必达法则.

皿用

3.设/")=，x'，其中g(x)具有二阶导数，并且

0,x=0

g(0)=g'(0)=0,g〃(0)=a，求广(0).

g(x).

解：/(0)_lim/⑴-/⑼=|ini------=lim^2

A->0X—0KT。X—0KT。X~

==-limg，M-g，(0)=-gff(0)=-a.

X2x2i0x-022

习题3.3

1.将多项式/(外=/-5/+2工+4展开成x-3的多项式.

32

解:因为/(3)=-44,r(3)=(4x-15x+2)|x=3=-25

/〃⑶=(12/_30x)lz=18,〃⑶=(24x-30)lz=42,

广）⑶=24

所以/（幻二/一5戈3+2工+4按十一3的品展开的多项式为

=/(3)+/(3)(x-3)+(x-3/+(x-3>+与詈(x-3)4

/>・J・I・

=-44-25*-3)+9。-3尸+7(x-3)3+(x-3)4

2.应用麦克劳林公式，按x的得展开函数/(x)=(f-3x+l)3.

22

解：因为/(0)=1,f\0)=[3(^-3x+1)(2J-3)]|x=0=-9

/'"(0)=[6(X2-3X+1)(2X-3)2+6(X2-3X+1)2]|厂。=60,

2

r(0)=[6(2x-3尸+36(x—3x+l)(2x-3)]|v_0=-270,

(4)2

/(0)=172(2x-3)+72,-3x+1)1|x=0=720,

/⑸(O)=[288(2x-3)+72(2x-3)]|“o=-1080,/⑹(0)=720

所以按x的事展开的多项式为

/(X)=(X2-3X+1)3

=/（。）+八。）》专为+空八/⑸(0)4玉+.必6

4!5!6!

=l-9x+30/-45/+3(1?_9x5+x6

3.求函数/（幻=5缶21的2〃阶带有拉格朗E型余项的马克劳林公

式.

解：因为/(x)='-'cos2x,从而

22

£,、22^In-l

—X4+—X64-..+(-l)，，-，-------

•4!6!(2〃)！

22ncos[20x+(2n+l)-]

2r2«+l(o〈e〈i)

(2n+l)!

4.求函数/(x)=arcsinx的带有拉格朗口型余项的3阶马克劳林公

式.

9x15x3

(4)

/(x)=(13严(14产

从而/(x)的3阶马克劳林公式为

L/⑷(公)4

/(x)=/(0)++I人r

-+Z32)X3

139(夕()+6(。X)34

=x+-AT----------1rX(0<6><1)

3!4![1一(以)2『2

5.求函数/(X)=Inx按无-2的事展开的带有皮尔诺型余项的〃阶泰

勒公式.

解：因为/(”)*)=(T)〃[”—"J⑺(2)=・(一1尸5-1)!

x2n

所以Inx=/⑵+/'(2)(x-2)+3—21+空3++

q^(x-2)〃+a(x—2)〃]

n\

=ln2+"2T(x-2了+21—+

22-3-23

彳品。-2)〃+如-2)〃].

6.求函数/(x)=xer的带有皮尔诺型余项的〃价马克劳林展开式.

解：因为/⑺(％)=(〃+x)，，f")(O)=%从而

M=/（o）+r（o）x+与之2

=x+x1+-X3+---+——!——x"+o(x)n.

2!(〃-1)!

7.求常数A。、％、&的值以及R(x)的表达式，使下式成立

1

----=%+A(4+1)+A)(x十7十R(x).

x+2

解：设/(幻=一，则")(幻=>察7,/(-1)=1，

x+2(x+2)

r(-i)=-i,r(-i)=2,r(-n=-6,

所以~^—=/(—1)+r(-D(x+l)+(x+1)?+R(x)

x+22!

=l-(x+l)+(x+l)2+/<(x)

因此4=1,/4|=-1,A2=1,

蛆）=工-1+。+1）-（冗+1）2=-立2

x+2x+2

8.应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值，并估计误差:

（1）^30：（2）In1.2；（3）sin18°

解：（1）因为/（幻=后7=（1+幻3

3981

-(--1)(--2)(1-3)

6(幻=33+3（1+》、,介于0,x之间）,

1.

所以

3l+-«---(-)2+—(-)3«3.10724,

3999819

-(--0(--2)(--3)i_]

-2-^——2-----——(1+)4(1)4,（J介于0,g之间），因此

N=4!9

1(1-晨-2)(1-3)匚[

80

333(1+方针<“88x10-5.

4!-3"

(2)In1.2；

解：(2)因为/(x)=ln(l+x)=工一(/

&(x)=_：d.(]+[)「(J介于O,x之间)，所以

inl.2=ln(l+0.2)=0.2---0.22+-0.23«0.18267,而

23

|用=---0.24-------rlK—0.24=4xIO”.

114(i+a4

(3)sin18°；

TT

isinC+4•不)

34

解：(3)因为/(x)*sinx=元---x,Z?3(x)=------j~—x,

(J介于0,尢之间)，

所以sinl8()=sin—«—)3«0.3090,

10103!10

sinQ+4-gjr)

国=---------2-(—)4<-(—/«IJxlO-4.

4!-104!10

9.利用麦克劳林公式求下列极限

一、1.ersinx-x(14-x),八「e2'-cosA/?

(1)lim---------------；(1)hm---------------

•sojrsinx―。x

解：（1）用带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，得

exsinx-x(l+x)

I比33

gd+o(九3)]

「e'sinx-x(l+x)

lim---------------=lim

5x~sinx工->°X3

（2）用带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，得

e于-cos-/?

=(1-—X3H——--X6+(7(X6))-(1--X3+—X6+6>(X6))

24-2!2!4!

=—x6-—X6+^(A6)=—X6+O(X6)

4-2!4!12

高%+。，)

1

=——；----

Z。X612

习题3.4

1.确定下列函数的单调区间：

（1）y=3x-x3；

解：（1）函数y=3x-x3的定义域为X£（-oo,+8）,且

y=3-3x2=3（l-x）（l+x）,令y'=0,得驻点玉=-1,々=1,列表得

X(-8,-1)-1(-1,1)1(1,-HO)

y一0+0一

y/

可见函数在［1,内)内单调减少，在［-1,1］内单调增加.

(2)y=-^r；

1+厂

X1—Y2

解：(2)函数y=-r的定义域为1£(-8,+8),且y=----号

\+x~(1+%~)

令y'=0,得驻点%=-］,毛=1，列表得：

X-1(-1,1)1(…)

y—0+0—

y/

可见函数在(-8,7］、［1,+8)内单调减少，在［-1,1］内单调增加.

8

(3)y=-F-inx；

.3

Q1

解：(3)函数y=-/一Inx的定义域为xe(0,+8),且y'=8f——,

3x

令y'=0,得驻点x=1,列表得；

2

X(0,1/2)1/2(1/2,-KX)

y—0+

/

所以函数在(0,1⑵内单调减少，在［1/2,+8)内单调增加.

(4)y=hx-x2；

解：(4)函数)=而=7的定义域为X£［0,2］,且,=,

y］2x-x2

令y'=0,得驻点x=l,列表得：

X(0,i)i(1,2)

y+0—

y/

所以函数在［。，I］内单调增加，在［1,2］内单调减少.

(5)y=(x-l)(x+l)3；

解：(5)函数》=(x-l)(x+l)的定义域为X£(YQ,+8),且

令y'=0,得驻点玉二-1,W=g，列表得：

y=2(2x-l)(x+l)2,

X-1(-1,1/2)1/2(1/2,+oc)

y—0—0+

yXX/

可见函数在（70,1/2］内单调减少，在［1/2,+00）内单调增加.

（6）y=x-2sinx（0<x<2/r）；

解：（6）函数y=x—2sinx的定义域为xw［0,27］,且

3333

(7)y=yl(2x-a)(a-x)2(a〉0)；

解：(7)函数y=一a)(a—x)?(a>0)的定义域为XW(TO,+QO),

2(%-，)9

且)/=]--------、，•令y'=0,得驻点玉=7。，另外

q(2x-a)2(x-a)3

—为函数的不可导点.列表得:

a（£即）2a仔,〃）

Xs,a(4,+8)

2T

y+不存在+0—不存在+

y//X/

可见函数在（口，［4+8）内单调增加，在［一，0内单调减少.

3

(8)y=(x-\)x3；

2

5尤-2

解：(8)函数y=(、-1)炉的定义域为xw(-8,+8),且y'二

3近

2

令y'=0,得驻点再=y,另外马=0为函数的不可导点.列表得:

(0,1)2(2,+8)

X0

So)55

y+不存在—0+

y、0/

22

可见函数在(-8,0］,+8)内单调增加，在10,矿内单调减少.

2.证明下列不等式：

(1)当x>l时，2>3—；

x

证明：(1)设f(x)=26-3+1，则/⑶在［1,+8)内连续.因为

X

\jx广

所以/(幻在(1,内)内是单调增加的，从而当冷1时/㈤y⑴=0,即

2Vx-3+->0

x

亦2A>3--.(x>0)

x

JI2

(2)当0<x<一时，一R<sinx<x；

271

证明：(2)设/(x)=x-sinx,则/(幻在［0,兀⑵内连续，在(0,兀/2)内

可导.因为

//(x)=l-cosx>0

所以/'(幻在(0,兀/2)内是单调增加的，从而当A>0时/⑴叶(0)=0,即

sinx<x.

«inx2

再设g(x)=-_——,则g(x)在(0H2)内可导,并且

x兀

，/、ACOSx-sinxcosx(x-tanx)八

g(x)=------;-----=-----------v。

XX

7T

所以g⑴在(0,兀⑵内是单调减少的，从而当0<x<5•时，有

7t

g(x)>g(不)=0,即

sinx2.2.3]“Ar,"八7tj.

---->—,亦?—x<sinx.综上所叙：当0cx<一时，有

X71n2

2

—x<s\nx<x.

71

(3)当x>0时，ln(l+x)>arctanx.

1+x

证明：(3)设/(x)=(l+x)ln(l+x)-arctanx,贝Uf(x)在[0,+oo)内连

续.因为

x~

/。)=ln(l+x)+----->0

1+x

所以/(X)在(0,+oo)内是单调增加的，从而当人>0时/(力»\0)=0,即

(1+x)ln(l+x)—arctanx>0

arctanx

亦ln(l+x)>(x>0)

1+x

(4)当0cxe至时，tanx>x+-x3；

23

证明：(4)设/(x)=tanx—x-gi,则/⑴在［o,兀⑵内连续.因为

/r(x)=sec2x-i-x2=tan2x-x2=(tanx-x)(tanx+x),

令g(x)=tanx-x,山g'(x)=sec2x-l=tanx>。可知g(x)在[0,K/2)

是单调增加的，

即g(x)=tanx-x>g[O)=O.从而/'(x)>。，xe(O,y),于是/(x)在

TTTT

[0,兀/2)内是单调增加的，有/(x)>/(0)=0,XG(0,-).即当0cx〈一

22

时，tanx>x+-x3.

3

(5)当x〉4时，x2<2V；

证明：(5)设/(1)=/ln2—21n/,/w[4,x],因为

£“、[c2In42Ine2八

f⑺=ln2——>------>-------=0,

r2424

故当x>4时，f(x)单调增加，从而/(x)>/(4)=0,即

xln2-21nx>0,

亦即x2<T,(x>4).

⑹当加、〃为正整数，且IvmVAi时,(1+〃?)”>(1+〃)'".

证明：(6)设/(幻Jna+x),则/(无)在Ovx<+8上连续，且

X

X

:。)=ln(1+X)1=――2-----，令g*)=-T---ln(l+戈)，

x」x21+x

V

由g，(x)=k--ln(l+x)=­!—7--!—="9<0

可知g(处在(0,+9)是单调减少的，即ga)<g(o)=o.从而

f\x)<0,X£(O,+8),于是在(0,+00)是单调减少的.因此当加、n

为正整数，且1V"ZV〃时，有

ln(l+/?7)〉ln(l+〃)

mn

亦即(1+6)”>(1+〃尸.

x

3.设常数2>0,讨论方程Inx=-—女在(0,+8)内实根的个数.

e

解：设/*)=lnx-2+A,则/(x)=2"—令/(灼=0,得驻点

exe

x