2025年中考数学冲刺专项训练（全国）专题18 新定义问题在五种题型中的应用（解析版）

专题18新定义问题在五种题型中的应用

压轴题密押

通用的解题思路：

新定义类坐标系内代数综合问题，是在已有的数学知识基础上，从坐标、代数式、或者函数图象以及几何

图象出发，给出一个新定义，要求学生理解并应用这个定义来解决相应的数学问题。它突出考查自主学习

能力、数学阅读能力、数学抽象概括能力以及对新定义的实际应用能力。

解答此类问题，首先，认真阅读题目，结合简单示例，理解题干新定义的核心特征，如位置关系、数量关

系、变化运动特征等;其次，要根据题意，画出辅助图形，完成文字语言、符号语言和图象语言的互化，让

语言互化走在思维的最前端;最后，注意归纳结论，为后续问题做好指向。

此类新定义，名字新，但是内容一般是由我们学过的知识按照一种新的模式进行的组合，这就需要在分析

的基础上进行转化。将新定义转化为熟悉的知识和熟悉的方法，才能有效地解决问题。

压轴摩预测

题型一：数与式中的新定义问题

1.(2024•宣化区一模)对于三个实数a,b,c,JI]M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用而〃{a,b,

c}表示这三个数中最小的数.例如：也{1,2,9}=1+：9=4,加闾,2,-3}=-3,〃而{3,1,1}=1.请

结合上述材料，解决下列问题：

(1)〃而?{sin30°，cos60°，tan45°)；

(2)若M{—2x,x12,3}=2,求/的值.

【分析】(1)根据特殊角的三角函数值，以及定义的新运算，即可解答；

(2)根据定义的新运算可得一2、+3*+3=2,然后进行计算即可解答.

【解答】解:(1)加〃{sin30°,cos60°»tan45°)

,,11

=rnm{—,—»1n)

1

=—;

2

(2)x2,3}=2,

—2x+x~+3.

3

整理得：，-2x-3=(),

(x-3)(x+1)=0,

x—3=0或x+l=O,

x=3或x=-l,

「.X的值为3或-1.

【点评】本题考查了一元二次方程的解，实数大小比较，特殊角的三角函数值，理解定义的新运算是解题

的关键.

2.（2023•章贡区校级模拟）给出如下定义：我们把有序实数对（。"，c）叫做关于x的二次多项式冰2+云+。

的特征系数对，把关于x的二次多项式〃/+瓜+。叫做有序实数对（a,b,c）的特征多项式.

（1）关于x的二次多项式3/+2x-1的特征系数对为_（3二--1）_；

（2）求有序实数对（1,4,4）的特征多项式与有序实数对（1,4,4）的特征多项式的乘积；

（3）若有序实数对（p,q、-1）的特征多项式与有序实数对（加，〃，-2）的特征多项式的乘积的结果为

2x+xi-\0x2-x+2,直接写出（42一2g-1）（2/〃一〃一1）的值为.

【分析】（1）根据特征系数对的定义即可解答；

（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；

（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x=-2即可得出答案.

【解答】解：（1）关于工的二次多项式3/+2x-l的特征系数对为（3,2,-1）,

故答案为：（3,2»-1）；

（2）•.•有序实数对（1,4,4）的特征多项式为：X2+4X+4,

有序实数对（1,-4，4）的特征多项式为：x2-4x+4,

.•.（/+4X+4）（X2-4X+4）

=/-4?+4x2+4x3-16x2+16x+4x2-16x+16

=？-8X2+I6；

（3）根据题意得（px，+夕工一1）（〃a2+nx-2）=2.r4+x3-1Ox2—x+2,

令x=-2,

则（4〃一2^-1）（4〃?一2〃-2）=2x16-8-10x4+2+2,

...(4〃-29一1)(46—2〃-2)=32—8—40+2+2,

(4〃-21-1)(4〃？一2〃-2)=-12,

(4〃-2q-\}(2m-/7-I)=-6,

故答案为：-6.

【点评】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值-2是解题的关键.

3.(2022•湘潭县校级模拟)阅读下列材料，并解决相关的问题.

定义：如果一个数的平方等于-I,记为/=-1,这个数i叫做虚数单位.那么形如。+初(4,b为实数)的

数就叫做复数，a叫这个复数的实部，8叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加I,减，乘

法运算类似.例如计算：(2+0+(3-4/)=5-3/.

(1)填空：z3/4=—;

(2)计算：

①(2+i)(2T)；

②”了.

(3)试一试：请利用以前学习的有关知识将3化简成“+方的形式.

1-/

【分析】(1)根据尸=-1,进行计算即可解答；

(2)①利用平方差公式，进行计算即可解答；

②利用完全平方公式，进行计算即可解答；

(3)分子和分母同时乘(l+i),进行计算即可解答.

【解答】解：(1)v?=-l,

/.i=f2•/=-1•/=—/,f*=(f2)2=(—I)2=1,

故答案为：-i,1；

(2)®(2+z)(2-z)

=4-f2

=4-(-1)

=4+1

=5：

②Q+i)2

=4+4Z+/2

=4+4/・+(—)

=3+4/；

1+2/+/2

]-i2

l+2/+（-l）

=-2i

2

=i.

【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键.

4.（2022•沙坪坝区模拟）如果一个三位自然数M的各个数位上的数字均不为0,且满足百位上的数字等

于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”.

例如：扭=321,•••3=2+1,，321是“沙磁数”.

又如：M=534,丁5工3+4,「.534不是“沙磁数”.

（1）判断853,632是否是“沙磁数”？并说明理由;

（2）若用是一个“沙磁数”,将M的十位数字放在M的百位数字之前得到一个四位数/,在M的末位

之后添加数字1得到一个四位数字4,若力-3能被11整除，求出所有满足条件的M.

【分析】（1）根据新定义进行解答；

（2）设"=该二万，求得力、B,再根据《0为整数求得1、力的值，便可得出结果.

【解答】解:⑴・・・8=5+3,

...853是“沙磁数”；

:6。3+2,

二.632不是“沙磁数”；

（2）设.”=〃1（4一力），则）=bab（a一份=10（）0〃+100“+10）+a-b=10"+1009b，

B=ah(a-b)\=100()。+1006+10〃-10"+1=1010a+90b+1,

.•”—8=—909a+919b—1,

•••八8能被11整除,

-909a+919Z?-1-la+6/>-1日蚣物

-----------------------=-82tz+836+-----------------是整数，

II11

，加6b7是整数,

11

•・・Lbvq9,。、b为整数,

.•.。=7,8=1或。=4,8=3或。=8,。=4或。=9,8=7,

.•・M=716或431或844或972.

【点评】本题考查了新定义，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，解题的关犍是理解“沙磁数”的

定义.

5.(2022•渝中区校级模拟)材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整

除；

材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数m可以被9整除，且小的百位上的数字比十位

上的数字大2,则称加为“够二数”；将用的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数宝交换，得到

的数为“，产(〃?)='"-〃'-1818,例如：加=8424,v8+4+2+4=18=9x2,4-2=2,.•.8424是''够

999

一*”—、8424-4248+1818,

一数'，户(8424)=---------------------------=6.

999

(1)判断1314,6536是否是“够二数”，请说明理由,如果是“够二数”，请计算尸(⑼的值:

(2)若一个四位正整数〃=砺是“够二数”，且」—为5的倍数，请求出所有的“够二数”〃的值.

尸(〃)

【分析】(1)根据新定义“够二数”进行解答便可：

(2)根据新定义“够二数”及数学推理解.

【解答】解：(1)1314是“够二数”，6536不是“够二数”.理由如下:

­.-1+3+14-4=9=9x1,3-1=2,

.•.1314是“够二数”，

•••6+5+3+6=20=9x2+2,

二.6536不是“够二数”，

L/W1314-4131+1818,

F(\314)=---------------------------=-1：

999

(2)•.•一个四位正整数〃=砺是“够二数”，

a+b+c+cl=9x,其中x是正整数，且xwO,贝U%-c=2,

:.b=c+2,则1vcv7,

=dcba,

abed-dcha=1818

1()()()«+100/?+\0c+d-\00()，-100c-l()/j-r/+1818

999a+90b-90c-9994+1818

llla+106—10c—llld十202

111

将/>=c+2代入，

~、111"11Id+222

：.c=5,b=7,

---二5y

'a-d+2-

a+2c+2+d=9x

：.(a-d+2)y=1,

•••)•是整数，

：.a-d+2=±1,即a="-1或。=d-3,

当”=4一1,

a=d-\

,其中XHO,且是整数,

q+d+12=9x

a+d+\2=9xta,d是整数，

xw1,

当I时，M3■解得；不符合题意舍去.

当x=3时，\a=d=1,解得，a=7，符合题意，此时〃=7758.

a+d+12=27[d=8

同理，当。=4一3,n=6759.

【点评】本题考查了数的运算和数学推理，根据条件进行推理是解题的关键

6.（2024•兴宁区校级模拟）广西是全国水果大省，是能实现水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大产区.2024

年伊始，伴随广西11车沙糖桔运往哈尔滨，一场特殊的“投桃报李”引发全国关注，沙糖桔一跃成为春节

期间的网红水果.小明爸爸开的水果店准备购进一批沙糖桔，有两个商家可供选择，上初三的小明让爸爸

各买一箱，标记为力，B,准备运用所学的统计知识帮助爸爸进行选择.小明在4,8两箱水果中各随机

取10个，逐一测量了它们的直径，测量结果如下(单位“〃)：

数据统计表

抽取序号12345678910

月箱沙糖桔直径4.54.44.64.54.44.54.64.64.54.4

8箱沙糖桔直径4.44.34.44.74.44.84.54.24.84.5

统计量平均数众数中位数

A4.5b4.5

Ba4.4C

根据题目信息，回答下列问题:

(1)a=4.5>h=,<

(2)由折线图可知，s；—(填“"=”或)

(3)爸爸告诉小明沙糖桔一级果外观要求：大小均匀，直径在〜5cm之间.请帮助小明用合适的统计

量评价这两箱沙糖桔是否符合一级果要求，以及选择哪箱沙糖桔更好，并写出依据.

折线统计图

（分析】（1）〃=44+今3+4.4+4.7+4.4+4.8+4.5+42+4.8+4.5,力箱抽取的10个砂糖桔测得的直径

10

数值哪个出现次数最多，即为对8箱抽取的10个砂糖桔测得的直径从大到小排列，取最中间两数的平

均值,即为c；

(2)由折线图可知，/箱砂糖桔直径比8箱砂糖桔直径波动小，所以/箱砂糖桔直径的方差比8箱砂糖桔

直径的方差小；

(3)A、8两箱砂糖桔直径均在4c加〜之间，符合一级果要求，比较方差，选择方差小的，直径相差

较小.

.皿依、或，/,、4.4+4.3+4.4+4.7+4.4+4.8+4.5+4.2+4.8+4.5,广

［解答］解：(1)4=-------------------------------------------------------------------------=4.5,

1()

8=4.5,

4.4+4.5,

c=----------=4.45,

2

故答案为：4.5,4.5,4.45；

(2)由折线图可知，力箱砂糖桔直径比8箱砂糖桔直径波动小，即

故答案为：<；

(3)4、8两箱砂糖桔直径均在4c〃?〜5c〃?之间，符合一级果要求，

.•.选择“箱砂糖桔更好，直径相差较小.

【点评】本题考查了折线统计图、众数、中位数、平均数，关键是掌握平均数公式.

7.(2023•丰润区二模)一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数

为“和谐数”.

(1)最小的三位“和谐数”是110,最大的三位“和谐数”是一：

(2)若一个“和谐数”的个位数字为矶0),十位数字为力S..L人>。且。、6都是自然数)，请用含a,

6的代数式表示该“和谐数”；

(3)判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例.

【分析】(1)设个位数字为x(x.0),百位数字为M»>0)，则十位数字为x+y，则“和谐数”为：

100v+10(.v+y)+x=l10^+1lx,由此可得结论；

(2)按题意列代数式即可；

(3)由110y+llx=U(10y+x)可得结论.

【解答】解：(1)设个位数字为x(x...O),百位数字为y(y>0),则十位数字为x+y,

/.“和谐数”为：100.y+l0Cv+j')+x=110^+llx,

当x=(),y=l时，有最小的三位“和谐数”是110,

当x=0,y=9时，有最大的三位“和谐数”是990,

故答案为；110,990；

(2)100(6-a)+10/j+a=100/)-100a+10Z?+a=110/7-99a,

.•.该“和谐数”为:1106-990；

(3)能，理由：

由(1)得“和谐数”为：l()Oy+l()(x+y)+x=ll()y+Ux,

•.•ll()y+llx=ll(10j/+x),

任意一个三位“和谐数”能被II整除.

【点评】本题属于新定义问题，涉及到列代数式、整式加减等问题，正确理解新定义是解决本题的关键.

8.(2022•九龙坡区校级模拟)对于任意一个四位数/〃，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位

上的数字与十位.上的数字之和的2倍，则称这个四位数加为“倍和数”、例如：

加=6132,•.•6+2=2x(l+3),「.6132是倍和数”；

〃?=1374,・・・1+4/2x(3+7),.7374不是“倍和数”；

(1)判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由.

(2)当一个，，倍和数”“千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等

于8时，记这个“倍和数”/〃的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为7(〃。，记百位上的数字与

十位上的数字之差的绝对值为砍小)，令G(m)=如上,当G(/〃)能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和

R5)

数”m.

【分析】根据新概念判断即可

【解答】(1)m=1047,

-/l+7=2x(0+4),

.•.1047是0”倍和数”

m-4657,

•.•4+7#2x(6+5),

・•.4657不是”倍和数“

(2)设“倍和数"m=ab(4-b)^-a),(其中La.8,Q、6.4且〃，b为整数).

.•.尸(机)=|2Q—8|,R(m)=\2b-4\,G(〃?)=咨

R(m)\b-2\

・・•/〃千位数上的数字与个位上的数不相等，

・・6/工49

・••G(m)能被3整除，

'.5")=声3=次("为整数)’

与刍=〃|力一2|,

•••La,8,

4,

.•.|"4|=3,

a=1或7,

.•.K|b-2|=1,

/.|Z?-2|=1,

，力=1或3,

故满足条件的所有“倍和数”，为：1137,1317,7131,7311

【点评】本题考查了代数式中的新题型，结合概念的整除即可解答

9.(2022•两江新区模拟)材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为

“巧数”.

材料二：一个四位数/=而满足各个数位数字都不为0,且它的千位数字与百位数字组成的两位数7,

以及十位数字与个位数字组成的两位数万均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”.若0=%-应，

q=ad-bef贝!J记尸(N)=g-p.

(1)请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍；

(2)若$,/都是“双巧数”，其中s=3()l()+100x+10y+z,/=1100w+400+10/7+2r,(LJ,z,人9,

Ly„8,L,弭5,L.4,且x,y,z,/〃，〃，/•均为整数)，规定K(s,/)=箫，当Rs)+/。)=12

时，求K(s,/)的最大值.

【分析】(1)设出两位数，根据这个两位数是“巧数”得出y=2x,最后根据这个两位数是完全平方数，

即可得出结论；

(2)先根据这个两位数是“巧数”得出〃7=2〃，进而表示出新的两位数和三位数，再根据这个三位数与这

个两位数的差为一个完全平方数得出10(9c+a)是完全平方数，即可得出结论.

【解答】解：(I)设两位数的个位数字为y,十位数字为x,(Lx.9,1..为9),

则这个两位数为(10x+y),

♦.•这个两位数是“巧数”，

.1.4(x+p)=1Ox+y,

y—2x，

即：这个两位数为10.r+^=1OA+2x=12x,

当x=2时，y=4,这个两位数是24：

当x=3时，y=6,这个两位数为36；

(2)S=3010+lOO.r+10v+z=3000+100x+10()-+1)+z,

Pi=(30+y+l)—(l()x+z)=31+y—10."z,

4=(30+z)-(10x+y+l)=29+z-10x-y,

f(S)=q「P[=(29+z-1Ox-y)-(31+y-]Ox_z)=-2+2z-2y；

/=11OOw+400+10〃+2r=1OOOw+100(4+〃?)+10〃+2〃，

Pi=(10〃？+〃)-(40+1Oni+2r)=/?-40-2r>

%=(lOw+2r)-(40+1Ont4-n)=2r-40-/1»

f(i)=%-〃？=(27--40-n)-(n-40-2r)=4r-2〃，

t)=f(s)=-2^z-2y=z-y-}f

f(t)4-2〃2r-n

v,/(5)+/(/)=12,BP-2+2z-27+4r-2/?=12,解得2,•一〃=7—z+y，

f(s)z-y-\

T^1-z+y

•/s都是“双巧数”，

.•.10(y+l)+z=4(v+l+z),解得2y+2=z,

.吟八/⑸z-y-\2y+2-y-\y+1,.6

..A(5>t)=----=--------=------------=----=-1+----

/(/)7-z+y7-2y-2+y5-y5-y

若要使K(s")最大,

则其分母最小，分子最大.

「LN9,

LK3,且），为正整数，

/.1•取3,

/.K（s,0的最大值为2.

【点评】此题主要考查了数字问题，两位数和三位数的表示，新定义，掌握新定义“巧数”得出y=2x是解

本题的关键.

10.（2022•江津区一模）一个三位数〃入将小的百位数字和十位数字相加，所得数的个位数字放在〃?之后,

得到的四位数称为，〃的“如虎添翼数”，将加的“如虎添翼数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到

四个新的三位数，把四个新的三位数的和与3的商记为尸例如：〃7=297,•.・2+9=11,「.297的“如

虎添翼数”〃是2971,将2971的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：971、271、291、

297,则尸(〃)=丝山口也“IO.

(1)258的“如虎添翼数”是2587,2(258)=：

(2)证明任意一个十位数字为。的三位数用，它的“如虎添翼数”与用的个位数字之和能被II整除；

(3)一个三位数s=100x+10y+103(x..y且x+y…9),它的“如虎添翼数”£能被17整除,求尸⑸的最大

值.

【分析】(1)根据概念进行计算从而作出判断；

(2)令M=100〃+人然后根据概念并结合整式的加减运算进行分析证明；

(3)将s=l()()x+l()j，+103变形为s=100(x+l)+l()y+3,然后结合概念表示出s的如虎添翼数，并结合整

除的概念及x,y的取值范围分析其最值.

【解答】解：⑴・・・2+5=7,

・•.258的如虎添翼数为2587,

将2587的任意一个数位上的数字去掉后可以得到新的三位数：587；287；257；258；

L..U。、587+287+257+258

F(258)=-------------------=463,

故答案为：2587：463：

(2)令必=100a+双La.9,Q,九9,且“，。均为整数)，则百位数字和十位数字的和为a,

:.M的如虎添翼数为1000a+10〃+a=1001a+10〃，

其如虎添翼数和其个位数字之和为1001。+\Ob+b=1001a+11/?,

.•.(1001a+l仍)+ll=91a+b,且a,b均为整数,

二任意一个十位数字为0的三位数M,它的“如虎添翼数”与M的个位数字之和能被II整除；

(3)s=100x+10^+103=100(x+1)+1Oy+3,

百位数字和十位数字相加得x+7+1,

当x+y+L.10时，

s的如虎添翼数为：

/=1000(%+1)+lOOy+30+x++1-10

=1001x+101y+l021

=17(59x+6y+60)-2x-y+l,

x在千位,

・•.X对/(s)的大小影响较大，

.•.X应取更大值，

由S是个三位数，则X+L9，

.•.X,8,即x最大取8,

•.•x=8时，s的如虎添翼数能被17整除，则2x+y-l=2x8+y-l=15+y能被17整除，

y=2,

5=100,V+10v+103=100x8+10x2+103=923,

的如虎添翼数为9231,

231+931+921+923”小

/.F(s)=---------------------------=1002,

即尸(S)的最大值为1002.

【点评】本题属于新定义题目，理解新定义概念，掌握整式加减的运算法则是解题关键.

11.(2022♦开州区模拟)一个自然数能分解成4x8,其中4,B均为两位数,4的十位数字比8的十位

数字少I,且4,8的个位数字之和为10,则称这个自然数为“双十数”.

例如：•.•4819=61x79,6比7小1,1+9=10二4819是“双十数”；

又如：v1496=34x44,3比4小1,4+4工10,.二1496不是“双十数”.

(1)判断357,836是否是“双十数”，并说明理由：

(2)自然数N=4x8为“双十数”，将两位数4放在两位数8的左边，构成一个新的四位数例如：

4819=61x79,M=6179,若力与8的十位数字之和能被5整除，且M能被7整除，求所有满足条件的自

然数N.

【分析】(1)直接利用题目中的解题方法进行求解即可；

(2)首先表示出M,利用力与8的十位数字之和能被5整除，将/与8的十位数字所有情况列出来，再

利用M能被7整除来排除，从而得到所有满足条件的自然数N.

【解答】解:(1)---357=17x21,

1比2小1,7+1=8,

「.357不是双十数.

836=22x38,

2比3小1,2+8=10,

.•.836是双十数.

（2）•.•自然数N=/x8,两位数力放在两位数8的左边构成一个新的四位数M,

设4的十位数字为a,个位数字为6,

.•.£的十位数字为。+1,个位数字为10-8，

•••力与8的十位数字之和能被5整除，

。+。+1=5或。+。+1=10或"。+1=15,

①当a+a+1=5时，

a=2,

.•./的十位数字为2,4的十位数字为3,

能被7整除,

仅当6=4时，M=2436时满足条件，

“24x36=864,

②当a+a+l=10时，

。=2不满足条件，

2

.•.这种情况舍去，

③当a+a+l=15时，

a=7,

••J的十位数字为7,4的十位数字为8,

••・V能被7整除，

当3=1时，A/=7189时满足条件，

N=71X89=6319,

当，）=8时，〃=7882时满足条件，

4=78x82=6396,

综上，满足条件的自然数自的值为864,6319,6396.

【点评】本题主要考查数与式里的新定义问题，解题的关键是明确题干所给条件，利用己知条件进行推理

排除即可求解.

12.（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N,若N能被它的各数位上的数字之和

加整除,则称N是加的“和倍数”.

例如：•••247+(2+4+7)=247+13=19,247是13的“和倍数”.

又如:•.•214+(2+1+4)=214+7=30……4,214不是“和倍数”.

(1)判断357,441是否是“和倍数”？说明理由：

(2)三位数4是12的“和倍数”，a,b,。分别是数4其中一个数位上的数字，^a>b>c.在a,b,

c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为厂(A),最小的两位数记为G(A),若“”)+G(4)为

16

整数，求出满足条件的所有数力.

【分析】(I)根据“和倍数”的定义依次判断即可；

(2)根据“和倍数”的定义表示厂(A)和G(A),代入尸(4)+GQ)中,根据尸(4)+GQ)为整数可解

1616

答.

【解答】解:(1)V3574-(3+547)=3574-15=23……12,

.•.357不是“和倍数”：

•.•441+(4+4+1)=441+9=49,

.•.441是9的“和倍数”；

(2)由题意得：a+b+c=12,a>b>c,

由题意得：F(A)=ab,G(A)=ch,

,F(/)+G(/)正+法10〃+6+10c+方10(a+c)+26

-16-16-16-16~

-a+c=\2-h,生处也2为整数，

16

产(力)+G(力)\0(\2-b)+2b120-8/)112+8-8/?)I八八

/.-----------=-------------=-------=----------=7+—(1—n),

161616162

\'\<b<9,

:.b=3,5,7,

Q+c=9,7,5,

4=8a=7

①当b=3,a+c=9时.<b=31舍)，­b=3,

c=1c=2

则)=732或372；

a=6

②当6=5,a+c=7时，«b=5,

c=1

则4=516或156；

③当b=7,〃+c=5时，此种情况没有符合的值；

综上，满足条件的所有数力为：732或372或516或156.

【点评】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键.

13.(2022•铜梁区模拟)对于任意一个四位数N,如果N满足各个数位上的数字互不相同.且个位数字不

为0,N的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2倍、则称这个四位数N为“双减数”，

对于一个，，双减数，，、=两，将它的千位和百位构成的两位数为茄，个位和十位构成的两位数为互，

规定：尸(%)=弛二也.

12

70_QO

例如：N=7028.因为()-2=2x(7-8),所以7028是一个“双减数”贝尸(7028)=当声=-1.

(1)判断3401,5713是否是“双减数”，并说明理由；如果是，求出RN)的值；

(2)若“双减数”历的各个数位上的数字之和能被11整除，且2必)是3的倍数，求历的值.

【分析】(1)根据“双减数”的定义判断并求值即可；

(2)设M=1000a+1006+10c+d,根据“双减数”的性质可推导得：a=d+3,b=c+6,再分两种情况

讨论即可：①当。+8+c+d=ll时，②当。+方+c+d=22时.

【解答】解：⑴V4-O=4=2x(3-1),7-1=6工2x(5-3),且满足各个位上的数字互不相等，且个位

数字不为0，

.•.3401是“双减数，5713不是“双减数”.

34-10

二.尸(3401)=I2=2.

v7-l=6,5—3=2,不满足“双减数”的定义,

二.5713不是“双减数”.

(2)设M=1000a+1006+10c+d,由题意可知:产(M)是3的倍数，且M各个数位上的数字之和能被11

整除，且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍.

二.F(M)=曲=3k(k均为整数)①，a+A+c+d=1为正整数)②，b-c=2(a-d](3).

,.--10</>-c<10,

-5<a-d<5,

由①知，10Q+d-(10d+c)=36A,

:.\0(a-d)+(b-c)=36k,

:.\2(a-d)=36k,

a—d=3k、

=或4=1,即。­/=-3或。-4=3.

当。-1=-3时，b-c=-6,

二.。=4-3,b=c-6,

代人②得，d-3+c-6+c+d=ll〃，

当°-d=3时、b-c=6,

a=d+3tb=c+6,

代人②得，d+3+c+6+c+d=ll〃，

根据“双减数”的性质可得：a+b+c+d的最大值为3(),最小值为6,

:.6..a+b+c+d„30>

：.a+b+c+d只能取11或22.

当a+b+c+d=ll时，可得d+e=l或d+e=10；

d=TId=0

当d+C=l时，d与C的值可能为，(舍去)，

c=0c=1

d=\

c=0

a=l+3=4,b=()+6=6,

.-.A/=4601；

a=1〃=0

当d+c=10时，。+/)=1,则《或|(舍去)，

b=0b=I

Q=1

,此时，c=6,d=4.

b=0

/.A/=1064；

3111

当a+8+c+d=26时，可得d+c=—（舍）或d+c=—（舍）.

22

.•.M=46（）l或1064.

【点评】此题考查了新定义下的实数运算问题，解题的关键是根据新定义的运算规则求解.

14.（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数初，如果〃［的百位数字等于个位数字与十位数字之和，”

的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数〃?为“和谐数”.例如：〃?=7431,满足

1+3=4,2x3+l=7,所以7431是“和谐数”.例如：〃?=6413,满足1+3=4,但2xl+3=5/6,所

以6413不是“和谐数”.

（1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；

（2）若m是“和谐数”，且/〃与22的和能被13整除,求满足条件的所有“和谐数”m.

【分析】（1）根据“和谐数”的定义直接进行判断即可；

（2）设机的个位数为〃，十位数为6,根据〃，是“和谐数”，则〃？的百位数为千位数为26+。，再

根据用与22的和能被13整除,即可解答.

【解答】解：（1）•.•加=8624,6=2+4,8=2x2+4,

」.8642是“和谐数”；

•.•/〃=9582,5工8+2,

二.9582不是“和谐数”；

（2）设机的个位数为a,0..a,9,十位数为b,Q.6,9,且a、b为整数,

•••m是"和谐数”，

m的百位数为aI6（0,.a4b、、9）,千位数为2b+a（0<2b49）,

.-./»=I（）00（2Z>+a）+100（a+b）+]0h+a=\\0\a+2\\0b，

•.•加与22的和能被13整除,

.•.1101a+2U0b+22=13（84a+162b）+9a+46+22能被13整除，

.-.9a+46+22能被13整除，

•.•乃+&9,且a、6为整数，

9-2b

/.4-----，

2

.•.Q只能取0，1,2,3,4,

二.b=l时，。=0或6=2时，a=l或6=3时，。=2或6=4,a=3或6=5,。=4或b=6,a=5（不合题

意舍去）或b=7,a=6（不合题意舍去）或6=8,a=7（不合题意舍去）或6=9,a=8（不合题意舍

去），

:.a+b=\,2b+a=2或a+6=3,26+a=5或〃+8=5,28+a=8或。+方=7,2b+a=l\（不合题意舍

去）或o+b=9,2b+a=\4（不合题意舍去），

m的值为2110或5321或8532.

【点评】本题是一道新定义题目，考查了有理数整除的相关性质，利用代数式的值进行相关分类讨论，得

出结果，解题的关键是能够理解定义.

15.（2022•南川区模拟）对于一个三位数的正整数P,满足各个数位上的数字都不为零，它的百位数字减

去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么称这个数，为“平衡数”，对于任意一个“平衡数”,

将它的前两位数加上后两位数所得的和记为〃?；将它的百位数字和个位数字构成的两位数加上交换这个两

位数所得到的新两位数的和记为〃；把小与〃的差除以9所得结果记为：尸(尸).例如P=246,因为

2-4=4-6,所以246是一个“平衡数”，所以〃?=24+46=70,“=26+62=88,则叫二选=一2.

9

(1)计算：户(258),尸(741)；

(2)若$、，都是“平衡数”其中s=10x+y+502,/=10。+/)+200,(LX.9),L盟7,La9,LA9,

x、y、〃、力都是整数)，规定〃=也，当22($)+尸(/)=一1时，求左的最小值.

F«)

【分析】(1)根据新定义进行计算即可.

(2)根据新定义，结合已知条件，用一个字母表达〃，再根据这个字母的取值范围即可得出答案.

【解答】解：(1)F(258)=25+58-(28+82)=-3,

H74DJ4+477I+⑺=3.

(2)•.•s=10x+y+5()2,z=10a+〃+200,(L49,L乂，7,L,a.9，L6,9,x,y,a,b都是整数),

门、_50+x+10x+y+2—(52+y+10y+25)_lH0y-25

9_9

l,、2O+a+\Oa+b-(2O+b+\0b+2)\\a-\0b-2

r(t)=----------------------------=----------，

99

•.•2F(5)+F(/)=-l,

22x-20y-50lla-106-2,

99

整理得22x-20y+ll"105=43，

即11。一1()人一2=41—22x+20y,

4a

F(t)

.kllx-10v-25Ux-IOy-25

""\\a-\0b-2~41-22x+2C^>

•••s是“平衡数”，

5_x=x__y-2>

z.y=2x-l,

mu11X-10(2X-7)-25-9X+451

"

、141-22x+20(2.v-7)-18x-9912'

x^5~

•/L.R7,

/.L2x-7„7,

解得4,%7,

•••x为整数,且工工5,

二.x=4或6或7,

.•.当x=6时，k取得最小值为-1.

【点评】本题考查新定义题型、列代数式、有理数的混合运算，能根据题干中所给的新定义及运算规则完

成计算是解答本题的关键.

16.（2024•唐山一模）数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳

偶和谐式”.

小亮写出如下算式:82-62=7X4；142-122=I3X4；1062-1042=105x4.

发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”.

（1）验证:222-202是“佳偶和谐式”；

（2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；

（3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳

偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题.

【分析】（1）直接根据“佳偶和谐式”的定义，即可求解；

（2）设这两个连续偶数分别为-〃+2,再根据平方差公式，以及“佳偶和谐式”的定义，即可求解；

（3）设任意两个偶数分别为2”，2b,再根据平方差公式，以及“佳偶和谐式'的定义，即可求解.

【解答】解：⑴证明：•.•222-202=21x4,

.•.222-2（尸是“佳偶和谐式”；

（2）证明：设这两个连续偶数分别为〃，〃+2,

则（“+2）2-〃2

=（n+2+〃）（〃+2-n）

=2（2〃+2）

=4（/7+1）,

二.任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；

（3）设任意两个偶数分别为2〃，2b,

・•・3）2-伽）2

=(2a+2b)(2a-2b)

=4(a+b)(a-b),

・•・任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，

该命题是真命题.

【点评】本题主要考查的是因式分解的应用和命题与定理，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

题型二：函数中的新定义问题

1.(2023•益阳)在平面直角坐标系xQv中，直线/:y=a(xI2)(4>0)与x轴交于点力,与抛物线

交于8,C两点(8在C的左边).

(1)求力点的坐标；

(2)如图1,若4点关于x轴的对称点为9点，当以点力，夕，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实

数”的值：

(3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如(-2,1),(2,0)等均为格点.如

图2,直线/与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分(不包含边界)中的格点数恰好是26个，求a的取值

范围.

【分析】(1)解方程。(工+2)=0；

(2)表示出点力，夕，C的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；

(3)直线/与抛物线石所围成的封闭图形(不包含边界)中的格点只能落在y轴和直线x=l上，各为13

个，分别求出”的范围.

【解答】解：(1)令y=q(x+2)=0,得》=一2,

力点的坐标为(-2,0)；

(2)联立直线l'.y=a(x+2)与抛物线E:y=ax2

y=a(x+2)

y=ax2

A2—x-2=0»

，x=-l或x=2,

.•"(-1,4),C(2,4A),

•••B点关于x轴的对称点为B,点，

5,(—1,—tz)»

/.AB'2=(-2+1)2+(0+a)2=a2+],

AC2=(2+2)2+(4d-O)2=16«2+]6,

BC?=(2++(4a+a)2=25/+9,

若/CAB，=90。,则彳晓+4C?=叱2,即/+i+i6/+i6=251+9,所以a=l,

若/4*C=90。，则/*2+*。2=力。2,即/+]+25/+9=16/+16,所以口=半，

若乙4。8'=90。，则4c2+3，。2=/*2,即16/+16+25/+9=/+1,此方程无解.

二.Q=1或a=.

5

(3)如图，直线/与抛物线上所围成的封闭图形(小包含边界)中的格点只能落在y轴和直线x=l上,

,/D(0,2a)>E(l,a),广(1,3a),

OD=EF=2a,

•.•格点数恰好是26个，

落在y轴和直线x=l上的格点数应各为13个，

11

落在y轴的格点应满足13<2&14,即一<47,

2

①若曰<〃<7,则即葭<羟<7,所以线段上的格点应该为(1,7),(1,8)……(1,19),

/.19<3a.20

1920

—<a.—

33

1320

一<a,—

23

②若a=7,拄=7，加=21,所以线段“产上的格点正好13个，

,1320T)

综上，一