（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第07课 直线与圆的位置关系（原卷版）

第第页第07课直线与圆的位置关系1.圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2.点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系．(2)三种情况圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内．3.常用结论(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF＞0.))(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．相离相切相交图形量化方程观点Δeq\a\vs4\al(＜)0Δeq\a\vs4\al(＝)0Δeq\a\vs4\al(＞)0几何观点deq\a\vs4\al(＞)rdeq\a\vs4\al(＝)rdeq\a\vs4\al(＜)r(2)圆的切线方程的常用结论①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.考向一圆的方程【例1】(1)已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长为6，则圆C的方程为_________；(2)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________________；(3)若一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq\r(7)，则该圆的方程为___________________．【变式1-1】已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0所得的弦长为eq\r(6)，则圆C的方程为________.方法总结：求圆的方程的方法：(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.考向二与圆有关的最值问题【例2】（1）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．（2）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求eq\f(y,x)的最大值和最小值．（3）已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．【变式2-1】若实数x，y满足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．(1)eq\f(y,x－4)；(2)3x－4y；(3)x2＋y2.【变式2-2】已知点，点，R是圆上动点，则的最小值为__________．方法总结：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法：一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．考向三与圆有关的轨迹问题【例3】已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【变式3-1】已知点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A、B，且，则动点P的轨迹的长度为____________．【变式3-2】在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq\r(2)，在y轴上截得线段长为2eq\r(3)．(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，求圆P的方程．方法总结：求与圆有关的轨迹问题的方法：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．考向四直线与圆的位置关系【例4】直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为()A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切【变式4-1】已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则（）A.且与圆相交B.且与圆相离C.且与圆相离D.且与圆相交方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考向五圆的弦长问题【例5】(1)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A.6B.2eq\r(11)C.12D.16(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为()A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B.3x＋4y－12＝0或x＝0C.4x－3y＋9＝0或x＝0D.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0【变式5-1】直线与圆交于、两点，则（）A. B. C. D.【变式5-2】若斜率为的直线与轴交于点，与圆相交于点两点，若，则______.【变式5-3】已知P，Q为圆上的两个动点，点，且，则坐标原点О到直线PQ的距离的最大值为（）A. B. C. D.2方法总结：弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).考向六圆的切线问题【例6】已知点P(eq\r(2)＋1，2－eq\r(2))，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长.【变式6-1】在平面直角坐标系中，过直线上任一点做圆的两条切线，切点分别为、，则下列说法正确的是（）A.四边形为正方形时，点的坐标为B.四边形面积的最小值为1C.不可能为钝角D.当为等边三角形时，点的坐标为【变式6-2】已知圆：，过直线：上的一点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（）A. B. C. D.方法总结：求圆的切线方程应注意的问题求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.直线与圆的位置关系随堂检测1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A．eq\f(1,4)<m<1B．m<eq\f(1,4)或m>1C．m<eq\f(1,4)D．m>12、圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标和半径分别是()A．(2,3)，3B．(－2,3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13D．(2，－3)，eq\r(13)3.“”是“点在圆外”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4.直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交但不过圆心5.过点P(2,4)作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝06.若直线是圆的一条对称轴，则A． B． C．1 D．7.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．8.过点与圆相切的两条直线的夹角为，则A