（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第04课 正弦定理、余弦定理（原卷版）

第第页第04课正弦定理、余弦定理1、正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．正弦定理的常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA).2、余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理的常见变形(1)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；(2)cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；(3)cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).3、三角形的面积公式(1)S△ABC＝eq\f(1,2)aha(ha为边a上的高)；(2)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．考向一运用正余弦定理解三角形【例1】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，成等差数列.（1）求角B的大小；（2）若，求的值.【变式1-1】记的内角的对边分别为，．（1）证明：；（2）若，求．【变式1-2】已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二利用正、余弦定理判定三角形形状【例2】（多选）在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（）A．，，则的外接圆半径是4B．若，则C．若，则一定是钝角三角形D．若，则【变式2-1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰非等边三角形C.等边三角形D.钝角三角形【变式2-2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【变式2-3】在中，若，则的形状为（）A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形方法总结：判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想．考点三运用正余弦定理研究三角形的面积考向三运用正余弦定理解决三角形的面积、周长【例3】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为eq\f(a2,3sinA).(1)求sinBsinC的值；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．【变式3-1】在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.【变式3-2】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA＋eq\r(3)cosA＝0，a＝2eq\r(7)，b＝2.(1)求c的值；(2)设D为边BC上的一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．【变式3-3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，，求的面积.方法总结：1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考向四利用正弦、余弦定理解决范围问题【例4】在①，②，③．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且．（1）求角C的值；（2）求a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．【变式4-1】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求；（2）若，为边的中点，求的最小值．【变式4-2】在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________.（1）求角；（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.考向五利用正弦、余弦定理解决多边形的问题【例5】已知在四边形中，，，，且，．（1）求；（2）求．【变式5-1】在平面四边形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大小；（2）求四边形ABCD的面积．正余弦定理随堂检测1.在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，C＝120°，则AC等于()A．1B．2C．3D．43.已知△ABC，a＝eq\r(5)，b＝eq\r(15)，A＝30°，则c等于()A．2eq\r(5)B.eq\r(5)C．2eq\r(5)或eq\r(5)D．均不正确4.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，则BC的长为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\r(3)C．2eq\r(3)D．25.若在中，角的对边分别为，则（）A.或 B. C. D.以上都不对6.在中，内角的对边分别是，若，且，则（）A. B. C. D.7.在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.记内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，求面积．9.在中，