中考数学一轮总复习重难考点强化训练-专题01 平面直角坐标系与函数概念(知识串讲+12大考点)(全国版)解析版_第1页
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文档简介

专题01平面直角坐标系与函数概念考点类型知识一遍过(一)平面直角坐标系中点的坐标特征(1)各象限点的特征:第一象限(+,+);第二象限(—,+);第三象限(一,一);第四象限(+,一).(2)特殊位置点的特征:若点P在x轴上,则b=0;若点P在y轴上,则a=0;若点P在一、三象限角平分线上,则a=b;若点P在二、四象限角平分线上,则a+b=0.(3)坐标的对称点特征点P(a,b)关于x轴的对称点P’(a,一b)点P(a,b)关于y轴的对称点P’(一a,b)点P(a,b)关于原点的对称点P’(一a,一b).(4)点P(a,b)、点M(c,d)坐标关系变化①点P到y轴的距离为,到y轴的距离为.到原点的距离为.②将点P沿水平方向平移m(m>0)个单位后坐标变化情况为:点P沿水平向右方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a+m,b);点P沿水平向左方向平移m(m>0)个单位后坐标为(a-m,b);③将点P沿竖直方向平移n(n>0)个单位后坐标变化情况为:点P沿竖直方向向上平移n(n>0)个单位后坐标为(a,b+n);点P沿竖直方向向下平移n(n>0)个单位后坐标为(a,b-n).④若直线PM平行x轴,则b=d;若直线PM平行y轴,则a=c;⑤点P到点M的距离:PM=⑥线段PM的中点坐标:()(二)函数及自变量的取值范围(1)常量与变量:在某一变化过程中,始终保持不变的量叫做常量,数值发生变化的量叫做变量.(2)函数的定义:一般的,在某个变化过程中如果有两个变量x、y,对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应,那么x是自变量,y是x的函数.(3)函数的表示方法:①解析式法;②图象法;③列表法.(4)函数解析式(用来表示函数关系的数学式子叫做解析式)与变自量的取值范围:(5)描点法画图像的一般步骤:列表、描点、连线(6)函数自变量取值范围①函数表达式是整式,自变量的取值是__全体实数__;②函数表达式是分式,自变量的取值要使得__分母不等于0__;③函数表达式是偶次根式,自变量的取值要使得__被开方数__为非负数;④来源于实际问题的函数,自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.函数的有关知识及其图象:(三)函数图像的分析与判断分析实际问题判断函数图象的方法:①找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图象中找对应点;②找特殊点:即交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化;③判断图象趋势:判断出函数的增减性,图象的倾斜方向.考点一遍过考点1:用坐标表示位置典例1:(2022下·河北邯郸·七年级统考期末)象棋在中国有着三千多年的历史,由于用具简单,趣味性强,成为流行极为广泛的益智游戏.如图,是一局象棋残局,已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为4,3,−2,1,则表示棋子“炮”的点的坐标为(

A.3,3 B.3,2 C.0,3 D.1,3【答案】D【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置,建立起平面直角坐标系,进而得出答案.【详解】解:∵表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为4,3,−2,1,∴可得平面直角坐标系如图所示:

∴棋子“炮”的点的坐标为:1,3.故选:D.【点睛】此题主要考查了坐标确定位置,正确得出原点的位置是解题关键.【变式1】(2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试)若正整数x,y满足,x2−y2=64A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】由平方差公式可知x2−y2=【详解】解:∵x2−y∴x+y=32x−y=2或x+y=16解得x=17y=15或x=10∴满足条件的正整数对x,y的个数是2,故选:B.【点睛】本题考查平方差公式的应用、解二元一次方程组,应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同是解题的关键.【变式2】(2023下·四川泸州·七年级统考期末)如图是某校的平面示意图,图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形,每个主要位置恰好落在整格点,若实验楼的坐标为−1,3,校门的坐标为−6,0.则图书馆的坐标是(

A.−3,−3 B.−2,−3 C.0,−3 D.1,−3【答案】B【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置,进而建立平面直角坐标系即可解答.【详解】解:由实验楼的坐标为−1,3,校门的坐标为−6,0,可建立如图所示坐标系:

则图书馆的坐标是−2,−3.故选B.【点睛】本题主要考查了坐标确定位置,正确得出原点位置并建立直角坐标系是解题关键.【变式3】(2022下·湖北恩施·七年级统考期中)如图,已知∠AOC=30°,∠BOC=150°,OD平分∠BOA,若点A可表示为(2,30°),点B可表示为(3,150°),则点D可表示为(

)A.(4,75°) B.(75°,4) C.(4,90°) D.(4,60°)【答案】C【分析】根据角平分线的性质得出∠AOD=∠BOD=60°,进而得出∠DOC的度数,利用A,B两点坐标得出2,4代表圆环上数字,角度是与CO边的夹角,根据∠DOC的度数,以及所在圆环位置即可得出答案.【详解】解:∵∠BOC=150°,∠AOC=30°,∴∠AOB=120°,∵OD为∠BOA的平分线,∴∠AOD=∠BOD=60°,∴∠DOC=∠AOD+∠AOC=60°+30°=90°,∵A点可表示为(2,30°),B点可表示为(3,150°),∴D点可表示为:(4,90°).故选:C【点睛】此题主要考查了点的坐标性质以及角平分线的性质,根据已知得出A点,B点所表示的意义是解决问题的关键.考点2:求点的坐标典例2:(2023上·四川达州·八年级校考期中)如图所示的象棋盘上,若“帅”位于点1,−3上,“相”位于点3,−3上,则“炮”位于点()

A.−1,1 B.−1,2 C.−2,0 D.−2,2【答案】C【详解】此题主要考查了建立平面直角坐标系,根据“帅”与“相”所在位置的坐标可建立直角坐标系,然后写出“炮”所在位置的点的坐标即可,解题的关键是正确理解平面直角坐标系中,点与有序实数对一一对应.【点睛】根据“帅”位于点1,−3上,“相”位于点3,−3上可建立如图的直角坐标系,

,∴“炮”位于点−2,0,故选:C.【变式1】(2023上·四川德阳·八年级统考期中)如图,在△ABC中,点A的坐标为0,1,点B的坐标为0,4,点C的坐标为4,3,且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是(

A.−4,3 B.−4,2C.−4,2或−4,3 D.4,2或−4,2或−4,3【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的性质,直角坐标系中的轴对称问题,根据对称性分情况讨论即可,掌握数形结合的思路是解题的关键.【详解】解:当△ABD1≌△ABC时,△ABD和

∴点D1的坐标是−4,3当△ABD2≌△BAC,过D2作D△ABD2边AB上的高D2G与△BAC的边∴D2G=CH=4,∴OG=2,∴点D2的坐标是−4当△ABD3≌△BAC过△ABD3边AB上的高D3G与△BAC的边∴D3G=CH=4,∴OG=2,∴点D3的坐标是4综上所述,点D的坐标是D1−4,3,D2故选:D.【变式2】(2022下·上海嘉定·七年级校考期末)如图,卡通形象“大白”深受大家喜爱,将“大白”放在平面直角坐标系xOy中,如果右眼B的坐标是−3,3,那么这只“大白”的左眼A的坐标是(A.−2,3 B.−3,4 C.【答案】C【分析】根据右眼B的坐标是−3,3,向左平移一格即可得出点【详解】解:∵B的坐标是−3,3,左移1个单位得到点∴A−4故选:C.【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定,从平移角度考虑点的坐标更简便.【变式3】(2022上·陕西宝鸡·八年级统考期中)在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形,如图所示,点B在y轴上,且坐标是0,2,点C在x轴上,则点D的坐标为(

A.2,1 B.3,1 C.1,3 D.1,2【答案】B【分析】如图,作辅助线;证明△OBC≌△ECD,得到DE=OC,CE=OB;求出OC、OB的长度,即可解决问题.【详解】解:如图,过点D作DE⊥x轴于点E;

∵四边形ABCD为正方形,∴∠BCD=90°,而∠BOC=90°,∴∠OBC+∠OCB=∠OCB+∠DCE,∴∠OBC=∠DCE;在△OBC与△ECD中,∠OBC=∠ECD∠BOC=∠CED∴△OBC≌△ECD(AAS∴DE=OC,CE=OB;由题意得:BC2=OB2∴OC=1,DE=1,CE=2,∴点D的坐标为(3,1).故选:B.【点睛】该题以平面直角坐标系为载体,以坐标与图形的关系、全等三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成;对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求.考点3:判断点所在的象限典例3:(2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中)下列结论正确的是(

)A.点P−1,2023B.点M在第二象限,且到x轴和y轴的距离分别为4和3,则点M的坐标为−4,3C.平面直角坐标系中,点Px,y位于坐标轴上,那么D.已知点P−5,6,Q−3,6,则直线【答案】C【分析】本题考查了点所在的象限、点到坐标轴的距离、点的坐标与图形,熟练掌握点的坐标特征是解题关键.根据点所在的象限、点到坐标轴的距离、点的坐标与图形的特点逐项判断即可得.【详解】解:A、点P−1,2023B、点M在第二象限,且到x轴和y轴的距离分别为4和3,则点M的坐标为−3,4,则此项错误,不符合题意;C、平面直角坐标系中,点Px,y位于坐标轴上,那么xy=0D、已知点P−5,6,Q−3,6,则直线故选:C.【变式1】(2023上·北京·九年级北京八中校考期中)已知二次函数y=ax2+bx+c

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】直接根据函数图象,可以判断开口方向,对称轴的位置和抛物线与y轴交点位置,记忆方法:开口向下,a<0,开口向上,a>0,b的符号结合对称轴位置即可判定,c的符号可直接读取.【详解】由题可知,抛物线开口向下;∴a<0;∵对称轴x=−b2a>0∴b>0;∵抛物线交y轴负半轴;∴c<0;∴a<0,bc<0;∴点(a,bc)位于第三象限;故选C【变式2】(2023上·福建福州·八年级校考阶段练习)在平面直角坐标系中,点Pa,b关于y轴对称的点Q−2,3,点P所在的象限是(A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】先根据点坐标的轴对称变换可得P2,3【详解】解:∵在平面直角坐标系中,点Pa,b关于y轴对称的点Q∴P2,3又∵点P的横坐标2>0,纵坐标3>0,∴点P所在的象限是第一象限,故选:A.【点睛】本题考查了点所在的象限、点坐标的轴对称变换,熟练掌握点坐标的轴对称变换规律是解题关键.【变式3】(2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末)点Ax,y满足二元一次方程组x−2y=5x+4y=−13的解,则点A在第(A.一 B.二 C.三 D.四【答案】C【分析】先解方程组,后根据点的坐标特征,确定位置即可.【详解】∵x−2y=5x+4y=−13解得x=−1y=−3∴A−1,−3故选C.【点睛】本题考查了解方程组,点的坐标与象限,熟练掌握解方程组,坐标与象限的关系是解题的关键.考点4:象限点的应用——含参典例4:(2023上·安徽黄山·九年级统考期中)若抛物线y=−2x+m−12−3m+6的顶点在第二象限,则mA.m<1 B.m<2 C.m>1 D.1<m<2【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质,能够熟练的利用二次函数的顶点式,得到顶点坐标是解题的关键,利用y=−2x+m−12−3m+6,可得顶点坐标为1−m,−3m+6【详解】解:∵y=−2x+m−1∴顶点为1−m,−3m+6,∴顶点在第二象限,∴1−m<0,−3m+6>0,∴1<m<2,故选:D.【变式1】(2023下·山东德州·七年级校考期中)已知点M25−5a,9−3a在第四象限,化简a−52+A.8 B.2a C.2 D.−2【答案】C【分析】根据题意列出不等式组求出a的范围,然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案.【详解】解:由题意可知:25−5a>∴3<∴a−5<∴原式=5−a+a−3=2,故选:C.【点睛】本题考查二次根式的性质与化简,解题的关键是熟练正确求出a的范围,本题属于基础题型.【变式2】(2023上·四川达州·八年级校考期中)已知点P2,−3与点Qx,y在同一条平行于y轴的直线上,且Q在第四象限,它到x轴的距离为5,则Q关于A.2,−5 B.2,5 C.−2,5 D.−2,−5【答案】D【分析】本题考查了点的坐标特征,以及点到坐标轴的距离,根据平行于于y轴的直线上的点横坐标相同,得到x=2,再根据点到坐标轴的距离以及点的象限特征,得到y=−5,最后利用关于y轴对称的点纵坐标不变,横坐标互为相反数,即可得到答案.【详解】解:∵点P2,−3与点Qx,y在同一条平行于∴x=2,∵Qx,y在第四象限,它到x∴y=−5,∴Q2,−5∴Q2,−5关于y轴的对称点坐标为−2,−5故选:D.【变式3】(2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校中学部校考期中)已知P点坐标为(a,2a−6),且点P到两坐标轴的距离相等,则a的值是(

)A.2 B.6 C.2或6 D.−2或−6【答案】C【分析】根据到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程再解方程即可.【详解】解:∵P点坐标为(a,2a−6),且点P到两坐标轴的距离相等,∴|a|=|2a−6|,∴a=2a−6或a=6−2a,解得:a=6或a=2,故选:C.【点睛】本题考查了点的坐标,是基础题,列出绝对值方程是解题的关键.考点5:坐标与图形典例5:(2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,A0,−2,B2,−4,(1)在图中作出△ABC关于x轴对称的△A(2)求△ABC的面积;(3)在x轴上求作一点P,使得PA+PB的值最小.画出图形,不写画法.【答案】(1)画图见解析(2)5(3)画图见解析【分析】本题考查作图—轴对称变换,轴对称最短问题,解题的关键是:(1)利用轴对称变换的性质作出A,B,C的对应点A1,B1,(2)利用割补法列式计算;(3)作点A关于x轴的对称点A1,连接BA1交x轴于点P,连接PA【详解】(1)解:如图,△A(2)S△ABC(3)如图,连接A1B,交x轴于点.【变式1】(2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,1),B(2,0),C(4,3).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A(2)已知点P为x轴上一点,若△ABP的面积为32,求点P(3)若△ABD是第一象限内以AB为直角边的等腰直角三角形,请直接写出点D的坐标.【答案】(1)见解析(2)点P的坐标为−1,0(3)点D的坐标3,2或1,3【分析】本题主要考查轴对称变换,等腰直角三角形的判定,以及三角形的面积:(1)直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案;(2)先确定△ABP的高为1,根据面积为12,由三角形面积公式可得底边长为3,从而可确定点P(3)先作出以AB为腰的等腰直角三角形,从而可确定点D的坐标【详解】(1)如图,△A(2)如图,点P的坐标为−1,0或(3)如图,点D的坐标3,2或1,3【变式2】(2023上·江苏·八年级专题练习)在平面直角坐标系xOy中,对于P,Q两点给出如下定义:若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值,则称P,Q两点为“等距点”.下图中的P,Q两点即为“等距点”.(1)已知点A的坐标为(−3,1),①在点E(0,3),F(3,−3),G(2,−5)中,为点A的“等距点”的是;②若点B的坐标为B(m,m+6),且A,B两点为“等距点”,则点B的坐标为;(2)若T1(−1,−k−3),T【答案】(1)①E、F;②(−3,3)(2)1或2【分析】本题主要考查了坐标与图形性质,此题属于阅读理解类型题目,首先读懂“等距点”的定义,而后根据概念解决问题,难度较大,需要有扎实的基础,培养了阅读理解、迁移运用的能力.(1)①找到x、y轴距离最大为3的点即可;②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点,再根据“等距点”概念进行解答即可;(2)先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点,再根据“等距点”概念进行解答即可.【详解】(1)①∵点A(−3,1)到x、y轴的距离中最大值为3,∴与A点是“等距点”的点是E、F.②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有(3,9)、(−3,3)、(−9,−3),这些点中与A符合“等距点”的是(−3,3).故答案为①E、F;②(−3,3);(2)T1①若4k−3≤4时,则4=−k−3或解得k=−7(舍去)或k=1.②若4k−3>4时,则解得k=2或k=0(舍去).根据“等距点”的定义知,k=1或k=2符合题意.即k的值是1或【变式3】(2023上·四川成都·八年级校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,已知三点分别是A0,5,B−5,3,(1)试在图中作出△ABC关于x轴对称的△A1B(2)在图中作出点P,使PB+PC的值最小,且点P在y轴上.(3)已知点D−2a−1,3a+1,且直线BD∥y轴,求D【答案】(1)B1(2)见解析(3)D【分析】本题考查了坐标的对称及其作图,线段和最小值的作图,平行坐标轴的点的坐标计算,(1)根据横不变,纵坐标相反,确定对称点,后依次连接即可.(2)作出点B关于y轴的对称点M,连接CM,交y轴于点P,点P即为所求.(3)根据直线BD∥y轴,得到−2a−1=−5,计算即可.【详解】(1)∵A0,5,B−5,3,∴A10,−5,B1画图如下:则△A1B(2)∵A0,5,B−5,3,∴点B关于y轴的对称点M5,3连接CM,交y轴于点P,则点P即为所求.(3)∵D−2a−1,3a+1,B−5,3,直线∴−2a−1=−5,解得a=2.故点D−5,7考点6:坐标规律典例6:(2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末)如图,有一系列有规律的点,它们分别是以O为顶点,边长为正整数的正方形的顶点,A10,1、【答案】(7【分析】本题考查了规律型-点的坐标:通过特殊到一般解决此类问题,利用前面正方形的边长与字母A的脚标数之间的联系寻找规律.根据已知条件得出坐标之间每三个增加一次,找出第20个所在位置即可得出答案.【详解】解:∵∴数据每隔三个增加一次,20÷3得6余2,故第20个数据坐标一定有7,且正好是3个数据中中间那一个,依此规律,点A20的坐标为(7故答案为:(7,【变式1】(2023下·七年级课时练习)如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与坐标轴平行,从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次为A1,A2,A3,A4,…,则顶点【答案】(506,-506)【解析】略【变式2】(2023上·黑龙江佳木斯·九年级统考期末)如图,在平面直角坐标系中,正六边形ABCDEF的边AB与y轴正半轴重合,顶点C在x轴正半轴上,AB=2,将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转,每次旋转90°,那么经过第2023次旋转后,顶点E的坐标为.【答案】−3,2【分析】本题考查了正多边形的性质,旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题,根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置,求出点E的坐标,再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2023次后顶点E的坐标即可.【详解】解:延长ED交x轴于点Q,如图,在正六边形ABCDEF中,AB=BC=CD=DE=2,∴∠BCO=∠DCQ=30°,∴BO=DQ=1∴OC=QC=3∴OQ=OC+QC=23,EQ=ED+DQ=2+1=3∴点E的坐标为23将正六边形ABCDEF绕坐标原点O顺时针旋转,第一次旋转90°后,点E的坐标为3,−23;第二次旋转90°后,点E的坐标为−23,−3,第三次旋转90°后,点E的坐标为−3,23,第四次旋转90°后,点由此可得点E每旋转四次即回到原来位置,即四次一循环,2023÷4=505⋯⋯3,所以,正六边形经过第2023次旋转后,点E的坐标为−3,23故答案为:−3,2【变式3】(2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习)如图,弹性小球从P2,0出发,沿所示方向运动,每当小球碰到正方形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第一次碰到正方形的边时的点为P1,第二次碰到正方形的边时的点为P2…;第n次碰到正方形的边时的点为Pn,则【答案】0,2【分析】本题考查的是点的坐标、坐标与图形变化-对称,根据轴对称的性质分别写出点P1的坐标为、点P2的坐标、点P3【详解】由题意得,点P1的坐标为5,3点P2的坐标为3,5点P3的坐标为0,2点P4的坐标为2,0点P5的坐标为5,3∵2023÷4=505⋯3,∴点P2023的坐标为0,2故答案为:0,2.考点7:函数的定义典例7:(2024下·全国·八年级假期作业)下列是关于变量x,y的关系式:①4x−3y=2②y=x;③y=5x;④2x−y2=0.其中A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.②④【答案】B【解析】略【变式1】(2023上·安徽合肥·八年级合肥38中校考阶段练习)下列各曲线中,能表示y是x的函数的是(

)A.

B.

C.

D.

【答案】D【分析】根据函数的概念即可解答.【详解】解:由函数的定义:在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么就说y是x的函数.则只有D选项符合题意故选:D.【点睛】题主要考查了函数的概念,在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一本的值与其对应,那么就说y是x的函数.【变式2】(2022上·山东聊城·九年级统考期末)下列式子:①y=3x−5x②y=12③y=x−1④y2=x⑤y=x.其中A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】B【分析】根据以下特征进行判断即可:①有两个变量;②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;③对于自变量的每一个确定的值,函数值有且只有一个值与之对应,即单对应.【详解】解:①y=3x−5x,y是x的函数;②y=12,y不是③y=x−1,y是x④y2=x,当x取一个值时,有两个y值与之对应,故y不是⑤y=x.y是x所以其中y是x的函数的个数是3,故选:B【点睛】本题主要考查的是函数的概念,掌握函数的定义是解题的关键.【变式3】(2022下·山东济南·七年级济南育英中学校联考期中)弹簧挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下面的关系:x(kg)012345y(cm)1010.51111.51212.5下列说法不正确的是(

)A.x与y都是变量,且x是自变量,y是因变量 B.物体质量每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cmC.所挂物体质量为7kg时,弹簧长度为13.5cm D.y与x的关系表达式是y=0.5x【答案】D【分析】由表中的数据进行分析发现x与y满足一次函数关系,根据图表求出表达式,然后逐个分析四个选项,可得出最终结果.【详解】∵根据图表观察x与y满足一次函数关系,∴设y=kx+b,代入(0,10)和(2,11)两点,得:b=102k+b=11解得:k=0.5b=10∴y与x的关系表达式是y=0.5x+10,A、y随x的增加而增加,x是自变量,y是因变量,故A选项正确,不符合题意;B、由图表知,物体质量每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm,故B选项正确,不符合题意;C、由表达式知,当x=7时,y=13.5,即所挂物体质量为7kg时,弹簧长度为13.5cm,故C选项正确,不符合题意;D、y与x的关系表达式是y=0.5x+10,D选项错误,符合题意.故选:D.【点睛】本题考查了一次函数的概念,属于基础题,能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况,同时求出表达式是解题的关键.考点8:函数的关系式典例8:(2023下·天津滨海新·八年级统考期末)若点Px,0是x轴上的一个动点,它与x轴上表示3的点的距离是y,则y关于x的函数解析式为(

A.y=x−3 B.y=3−x C.y=−x−3 D.y=【答案】D【分析】根据距离的非负性判断即可.【详解】根据题意,y关于x的函数解析式为y=x−3故选D.【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离,距离的非负性,熟练掌握距离的非负性是解题的关键.【变式1】(2023下·陕西榆林·七年级统考期末)如图,在△ABC中,已知BC=8,BC边上的高线AD=5,动点C′由点C沿CB向点B移动(不与点B重合),设CC′的长为x,△ABC′的面积为S,则S

A.S=52x B.S=5x C.S=【答案】D【分析】首先设CC′的长为x,得出BC【详解】解:设CC′的长为x,则BC∵S△AB∴s=1故选:D.【点睛】本题考查了求函数关系式,根据实际问题确定函数关系式的关键是读懂题意,建立函数的数学模型来解决问题.【变式2】(2023下·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期中)已知两个变量x和y,它们之间的三组对应值如下表所示:x−202y31−1那么y关于x的函数解析式可能是()A.y=−x+1 B.y=x2+x+1 C.y=1【答案】A【分析】根据函数的定义以及函数图象上点的坐标特征逐项进行判断即可.【详解】解:A.表格中的三组x、y的对应值均满足y=−x+1,因此选项A符合题意;B.表格中x=0,y=1满足y=x2+x+1,但x=−2C.表格中的三组x、y的对应值均不满足y=1D.表格中的三组x、y的对应值均不满足y=−2x,因此选项D不符合题意;故选:A.【点睛】本题考查函数关系式,理解函数的定义以及函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提.【变式3】(2023·重庆·统考一模)油箱中存油40升,油从油箱中均匀流出,流速为0.2升/分钟,剩余油量(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是()A.Q=0.2t B.Q=40−0.2t C.Q=0.2t+40 D.Q=0.2t−40【答案】B【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量,根据等量关系列出函数关系式即可.【详解】解:由题意得:流出油量是0.2t,则剩余油量:Q=40−0故选:B.【点睛】此题主要考查了列函数解析式,关键是正确理解题意,找出题目中的等量关系.考点9:自变量的取值范围典例9:(2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习)函数y=x+22的自变量x的取值范围是【答案】x≥−2/−2≤x【分析】本题考查了函数的自变量、二次根式的被开方数的非负性,熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键.根据二次根式的被开方数的非负性求解即可得.【详解】解:∵x+2≥0,∴x≥−2,即函数y=x+22的自变量x的取值范围是故答案为:x≥−2.【变式1】(2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中)函数y=xx−3的定义域是【答案】x>3/3<x【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围,根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组,解不等式组即可求解,掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键.【详解】解:由y=x∴x−3>0,解得:x>3,故答案为:x>3.【变式2】(2022下·湖北武汉·九年级校考自主招生)已知y=x−10x+6,求自变量x【答案】x>−6且x≠1【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0,零指数幂的底数不等于0列式求解即可.【详解】解:根据题意得:x−1≠0x+6>0解得:x>−6且x≠1,故答案为:x>−6且x≠1.【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围,一般从三个方面考虑:当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时,考虑被开方数为非负.【变式3】(2022·湖北襄阳·统考一模)函数y=1−x+1x+2自变量【答案】−2<x≤1【分析】由分母不为0结合被开方数为非负数可得{1−x≥0【详解】解:由题意得:{1−x≥0由①得:x≤1,由②得:x>−2,所以不等式组的解集为:−2<x≤1.所以函数y=1−x+1x+2故答案为:−2<x≤1.【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围,二次根式有意义的条件,分式有意义的条件,掌握“求解函数自变量的取值范围的方法”是解本题的关键.考点10:函数值计算典例10:(2023上·安徽合肥·八年级合肥38中校考期中)我们有时会将关于x的函数表示为fx=x21+x2,其中f(1)就表示当x=1时的函数值,即f1=12【答案】15/0.2【分析】本题主要考查了数字的变化规律,求函数值,求代数式的值;(1)将x=1(2)根据x=n和1n明确x=n和1n【详解】f(==1故答案为:15(2)f(n)+f(====1,∴f1+f2+f(=f1==n−1故答案为:n−1【变式1】(2022上·上海·八年级校考期中)如果fx=13【答案】−【分析】将x=4代入fx【详解】解:∵fx∴f4故答案为:−3【点睛】本题考查了求函数的值、二次根式的分母有理化,熟练掌握求函数值的方法是解题关键.【变式2】(2022上·浙江杭州·八年级校考期中)若函数y=x2+3x≤44x(x>4),则当函数值y=20【答案】−17或【分析】将y=20分别代入函数解析式,求出x的值,然后根据取值范围得出x的值.【详解】解:当x≤4时,则x2解得:x=±17,∵17>4∴x=−17当x>4时,解得:x=5,符合题意,∴综上所述:x=−17或x=5故答案为:−17或5【点睛】本题主要考查的是求解函数自变量值,属于基础题型.根据取值范围确定自变量的值是解题的关键.【变式3】(2022上·安徽合肥·八年级校考阶段练习)函数y=2x2+4(x≤3)3x(x>3),当函数自变量【答案】61或−1/−1或1【分析】根据函数自变量的范围,将x=−1代入2x2+4,根据【详解】解:当函数自变量x=−1时,∵∴y=2当x≤3时,y=6时,解得:x=1或x当x>3,6=3x解得:∴x=1或x故答案为:40,1或−1.【点睛】本题考查了求函数自变量的值或函数值,根据平方根的定义解方程,注意自变量的取值范围是解题的关键.考点11:实际问题与函数图像典例11:(2022下·甘肃白银·七年级统考期末)金鱼公园是白银市的主要城市公园,是白银市市民和外来游客健身、休闲、娱乐的主要场所.周末小斌在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩,先前进了a千米,休息了一段时间,又原路返回bb<a千米,再前进c千米,则他离起点的距离s与时间t的关系的示意图是(

A.

B.

C.

D.

【答案】D【分析】根据前进时离起点的距离s增加,休息时离起点的距离s不变,返回时离起点的距离s减少,再前进时路程增加,即可求解.【详解】解:由题意得,离起点的距离s先增加,然后不变,再减少,最后又增加,故选:D.【点睛】本题考查函数图象,理解题意,掌握路程与时间的关系是解题的关键.【变式1】(2023上·辽宁锦州·八年级统考期中)小明和小张是邻居,某天早晨,小明7:40先出发去学校,走了一段后,在途中停下吃早餐,后来发现上学时间快到了,就跑步到学校;小张比小明晚出发5分钟,乘公共汽车到学校.如图是他们从家到学校已走的路程y(米)和小明所用时间x(分钟)的函数图象.则下列说法中不正确的是(

)A.小张乘坐公共汽车后7:48与小明相遇B.小张到达学校时,小明距离学校400米C.小明家和学校距离1000米D.小明吃完早餐后,跑步到学校的速度为80米/分【答案】A【分析】本题考查了函数图象,根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得.【详解】解:A、小张乘公共汽车的速度为:1000÷15−5360÷100=3.6(分),故小张乘坐公共汽车后7点48分36秒与小明相遇,故此选项符合题意;B、小张到达学校时,小明距离学校1000−360−80×15−12C、由图象可知,小明家和学校距离1000米,故此选项不符合题意;D、小明吃完早餐后,跑步到学校的速度为:1000−360÷故选:A.【变式2】(2022下·福建福州·八年级统考期中)函数y=x−1的图像大致是(A.B.C. D.【答案】C【分析】根据画图像的基本步骤,画图判断即可.【详解】∵函数y=x,故选C.【点睛】本题考查了图像的画法,熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键.【变式3】(2023·黑龙江绥化·统考模拟预测)一段笔直的公路AC长20千米,途中有一处休息点B,AB长15千米,甲以15千米/时的速度匀速跑至点B,原地休息半小时后,再以10千米/小时的速度匀速跑至终点C;乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C,下列选项中,能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)函数关系的图象是()A.

B.

C.

D.

【答案】A【分析】分别求出甲乙两人到达C地的时间,再结合已知条件即可解决问题.【详解】解;由题意得:甲跑到B地所花费的时间为:15÷15=1h,甲在B地休息的时间为0.5h,甲从B地跑到C地花费的时间为:20−15÷10=0.5乙跑到C地所花费的时间为:20÷12=5由此可知正确的图象是A,故选:A.【点睛】本题考查函数图象,路程、速度、时间之间的关系,解题的关键是理解题意求出两人到达C地的时间,属于中考常考题型.考点12:动点问题典例12:(2023上·河北邢台·九年级校考阶段练习)如图,四边形ABCD是菱形,边长为42,∠A=45°.点P从点A出发,沿A→D→C方向以每秒2个单位长度的速度运动,同时点Q沿射线BA的方向以每秒1个单位长度的速度运动,当点P运动到达点C时,点Q也立刻停止运动,连接PQ.△APQ的面积为y,点P运动的时间为x(0≤x≤8)秒,则能大致反映y与x之间的函数关系的图像是(

A. B.C. D.【答案】

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